1、第三节 牛顿迭代法与弦割法,1、牛顿法基本思想,将非线性方程线性化，以线性方程的解逼近非线性方程的解。,将非线性方程线性化，,取 x0 x*，将 f (x) 在 x0 处做一阶Taylor展开:,， 在 x0 和 x 之间,2. 牛顿迭代法的原理,，可将 (x* x0)2 看成高阶小量，则有：,如何实现？,取,x0,3. 牛顿迭代法的几何解释：,方程 的根 在几何上是曲线 与 x 轴的交,点的横坐标。若 是根 的一个近似，过曲线上横坐标为,的点 作曲线 的切线，则该切线与 x 轴交点的横坐,标即为 。,x0,例2.5：写出求 的牛顿迭代格式；写出求 的牛顿迭代格式,要求公式中既无开方运算，又无
2、除法运算。,解：,等价于求方程 的正根,解法一：,等价于求方程 的根,退化为二分法！,解法二：,等价于求方程 的正根,设 x* 为方程 f (x) = 0的根，在包含x*的某个开区间内 连续，且 ，则存在 x* 的邻域 ，使得任取初值 ，由牛顿迭代法产生的序列 以不低于二阶的收敛速度收敛于x*.,4、牛顿迭代法的局部收敛性定理,其中 ，则,收敛,证明：,牛顿迭代法事实上是一种特殊的不动点迭代,定义1.,-(9),3.5迭代法收敛阶与加速收敛,1、迭代法收敛阶与加速收敛,定理3-6 .,2. Newton迭代法收敛定理,（1）Newton迭代公式在单根情况下至少2阶收敛;（2）,定理 设 f(x
3、*)=0, ,且在 x* 的邻域上 f二次连续可微 ， 则可得,证：将f(x)在 xn 处作2阶Taylor展开,并将解x*代入,注意到n 在xn 及x*之间,及 , 故,所以，Newton法至少二阶收敛.,注意到n 在xn 及x*之间,及 ,故,例3.,为线性收敛,证明:,所以,例4.,至少是平方收敛的,由定义1,注意例4与例3的迭代法是相同的,两例有何区别?,证明:,令,则,所以,由定理2,该迭代法至少是平方收敛的,Newton迭代公式是一种特殊的不动点迭代,其迭代函数为:Newton迭代是局部线性化方法,它在单根附近具有较高的收敛速度.方法有效前提:,Newton迭代法的特征,牛顿迭代法
4、的优缺点,优点： 在单根附近, 牛顿迭代法具有平方收敛的速度，所以在迭代过程中只要迭代几次就会得到很精确解。缺点:1. 重根情形下为局部线性收敛;2. 牛顿迭代法计算量比较大:因每次迭代除计算函数值外还要计算微商值;3. 选定的初值要接近方程的解，否则有可能得不到收敛的结果;,牛顿迭代法的改进,缺点克服: 1. 局部线性收敛-改进公式或加速2.每步都要计算微商值-简化Newton迭代法或弦截法3. 初值近似问题-二分法求初值或”下山算法”,方法一. 若已知重数m(m1),则利用m构造新的迭代公式: 此时, , 至少2阶收敛. 不实用: m往往不确定.方法二. 取 ,再对函数F(x)用Newton迭代:,6. Newton法的改进(I)-重根情形,从而可构造出相应的迭代法格式为,对 构造出相应的牛顿迭代格式，迭代函数为,若已知根的重数为 n，可将迭代格式改为，,收敛比牛顿迭代法慢，且对初值要求同样高。,第五节 弦割法,切线,割线,切线斜率 割线斜率,需要2个初值 x0 和 x1。,基本思想：牛顿迭代法每一步要计算 f 和 ，为了避免计算导数值，现用 f 的差商近似代替微商 ，从而得到弦割法。,x2,收敛速度介于牛顿法和 二分法 之间,
