1、13-1 可能内力与可能位移,13-2 应变能与余能应变能,13-3 势能驻值原理,13-4 势能原理与位移法,13-5 势能原理与矩阵位移法,13-6 势能驻值原理,13-7 余能原理与方法,13-8 分区混合能量驻值原理,13-9 卡氏定理和克罗蒂-恩格塞定理,13-10 势能和余能偏导数定理,13-11 分区混合能量偏导数定理,13-12 小结,第13章 能量原理,13-1 可能内力与可能位移,静力可能内力：平衡内力几何可能位移：协调位移,两套右手坐标系(如图)：整体坐标（x，y）建立结点联结条件和边界条件时采用；局部坐标（s，n）建立杆件微分方程时采用， s轴为杆件的轴线。,1. 静力
2、方程 各杆的平衡微分方程 杆端的静力边界条件 结点的静力联结条件,（1）杆件的平衡微分方程：采用局部坐标,分析杆件微段ds的平衡可得：,FN、FQ、M为截面的轴力、剪力、弯矩； p、 q、 m为轴向、横向、力偶荷载的集度。,（2）杆端的静力边界条件：采用整体坐标,杆件结构中：杆端的静力边界条件为,（在沿x方向为自由的杆端处）（在沿y方向为自由的杆端处）（在沿方向为自由的杆端处）,FPx、 FPy、 FP分别为在杆端给定的集中荷载分量。,（3）结点的静力联结条件,刚结点J处有杆件、相交，结点J的静力联结条件为：,刚结点J处,静力可能内力：满足全部静力条件的内力。 可能内力与真实内力的关系为：,静
3、定结构：静力条件的解是唯一的，静力可能内力只有一种， 可能内力就是真实内力。,超静定结构：静力条件的解不是唯一的，静力可能内力有无穷多 种，只有其中一种是真实内力。静力可能内力表达 为：,3. 静力可能应变：应用物理条件由静力可能内力导出的应变。,4. 几何方程：,杆件的广义应变：轴线应变截面平均切应变曲率,（1）杆件的应变位移关系：采用局部坐标， 分析微段ds的变形,忽略切应变，=0，则,（2）杆端的位移边界条件：采用整体坐标系。,（在沿x方向有支承的杆端处）（在沿y方向有支承的杆端处）（在沿方向有支承的杆端处）,（3）结点的位移联结条件(如图),刚结点J处,uxJ、uyJ、J为结点J处各杆
4、端的公共位移结点位移,几何可能位移：结构中能满足全部位移边界条件和位移联结 条件的位移。,超静定结构：多余约束截断处的位移要连续和协调，即：,超静定结构可能位移存在的条件即变形协调条件,静定结构：没有多余约束，对任意给定的应变，满足位移边界 (联结)条件的可能位移总是存在的。,6. 几何可能应变：对存在的几何可能位移进行微分而导出的应变。,结构的可能位移可表达为,i是位移法的基本未知量，结构的可能位移有无穷多种；真实的位移是其中之一，由位移法典型方程解出的。,1. 弹性杆件的物理方程：线弹性情况,刚度形式,柔度形式,2. 杆件的应变能密度v：杆件单位杆长的应变能。,拉伸应变能密度剪切应变能密度
5、弯曲应变能密度,将(a)代入得,13-2 应变能与应变余能,3. 杆件结构的应变能：杆件e的应变能 为：,杆件结构的应变能为：,用位移表示为：,对薄杆，可忽略剪切变形：,4. 杆件的应变余能密度vc：杆件单位杆长的应变余能。,拉伸应变余能密度剪切应变余能密度弯曲应变余能密度,图(a)、 (b)为FN与的关系曲线，vn表示曲线与横坐标轴之间的面积，vCn表示曲线与纵坐标轴之间的面积。即,对FN来说， vn和vCn互为余数。将(b)代入得,5. 杆件结构的应变余能VC,杆件e的应变余能,杆件结构的应变余能VC,对于线弹性情况将(b)式代入得：,6. 具有初应变时的情况,设杆件具有初应变：0、0、0
6、 内力引起的应变：、 、 ,初应变对应变能没影响，对应变余能密度和应变余能的影响为：,总应变为,线弹性情况,7. 用能量密度偏导数表示的物理方程,（1）刚度形式的物理方程：用v的偏导数表示有,（2）柔度形式的物理方程：用vC的偏导数表示有,将(c)式代入即得线性物理方程,将(d)式代入即得线性物理方程,如有初应变,将(e)式代入即得线性物理方程,8. v与vC的区别， V与VC的区别,没有初应变、材料为线弹性： v与vC在数值上相等。,（1）有初应变时， v与vC在数值上不相等；（2）材料为非线弹性时， v与vC在数值上不相等；（3） v是应变的函数， vC是内力的函数；（4）应变能V由结构应
7、变分布函数确定，在位移法、势能法中 应用； 应变余能VC由结构内力分布函数确定，在力法、余能法中 应用。,例13-1 图(a)为一线弹性对称横桁架。考虑对称变形：结点B只有竖 向位移，没有水平位移。试求各杆的应变及桁架的应变能。,解（1）杆AiB的应变，如图(b)。设： AiB的杆长为li，截面面积为Ai得,AiB杆的伸长量AiB杆的轴向应变,（2）桁架的应变能,AiB杆的应变能为,桁架的应变能为,例13-2 一线弹性等截面薄梁AB，梁两端发生的位移如图。试求梁的曲率和弯曲应变能V。,解（1）梁的挠曲线和曲率 梁挠曲线微分方程为：,解为,由位移边界条件确定待定常数,求得挠曲线方程为,式中,（2
8、）梁的弯曲应变能,梁的曲率为：,即得,注意：V是杆端位移的二次函数，叠加原理不成立。,例13-3 如图线性弹性悬臂梁AB在自由端作用荷载，其初始曲 率为0。试求梁的应变与能VC。,解：任一截面x处的弯矩为,应变余能(只考虑弯曲应变余能),求得,势能驻值原理与位移法对应；余能驻值原理与力法对应。弹性结构小位移的平衡问题：能量的驻值是极小值。,1. 结构的势能EP,V结构在可能位移状态下的应变能。,对于刚架，只考虑弯曲应变能，用挠度v表示为：,VP结构的荷载势能：FP在其广义位移D上所 作虚功总和的负值。,结构的势能用位移表示为,13-3 势能驻值原理,2. 势能驻值原理：用下列图式表示,若结构的
9、位移满足几何条件，其相应的内力又满足静力条件，则此位移就是结构的真实位移。势能原理又可表述为：,在所有可能位移中，真实位移使势能为驻值；反之，使势能为驻值的可能位移就是真实位移。,3. 基于势能原理的解法：以能量形式表示的位移法。,（1）考虑几何条件：确定结构各种几何可能位移状态，含待定 的位移参数i位移法的基本未知量；（2）考虑物理条件：求出在可能位移状态下结构的势能EP；（3）应用势能驻值条件：求出基本位移参数i，以能量形式表 示的静力方程位移法的基本方程。,例13-4 试用势能原理解图示桁架的位移和内力。设材料为线性弹 性，各杆截面A相同。,解（1）确定几何可能位移：结构对称变形 结点D
10、的竖向位移基本位移参数 各杆的伸长量和应变可求得：,（2）结构的势能,势能,（3）势能驻值条件,（4）求内力,例13-5 试用势能原理求图示刚架的位移和内力。,解：忽略横梁的轴向变形，柱顶的 水平位移为基本未知量。,柱端剪力为,柱的应变能为,刚架的应变能是各柱应变能的和,刚架的势能为,势能驻值条件,求得,1. 位移法计算步骤的回顾,（1）i为基本未知量，位移法基本体系的各杆挠度为：,（2）引入物理条件，由位移导出相应内力，各杆弯矩为：,（3）引入平衡条件，建立位移法基本方程：,写成矩阵形式,13-4 势能原理与位移法,令图(b)中的力系在图 (a)中的变形上作功，得,同理，可导出k21、k11
11、、k22。,应用功的互等定理，图(c) 的力系在图 的变形上作的功等于图(a) 的力系在图 (c) 的变形上作的功，得：,同理，可导出其他自由项。,2. 由势能原理推导位移法基本方程,（1）求应变能V,（2）求荷载势能VP,（3）应用势能驻值条件,得,即,由,例13-6 试用势能原理求图(a)所示连续梁的内力，设EI=常数。,解：基本未知量为1。,（1）求应变能V，如图(b)。,（2）求荷载势能VP，图(b)中由1=1引 起沿FP的挠度为：,即,（3）应用势能驻值条件,由,得,求内力略,3. 最小势能原理：在所有可能位移中，真实位移使势能为极小值； 反之，使势能为极小值的可能位移就是真实位移。
12、,数学表示式为,是位移法基本未知量的真实解， 是 的任一非零增量。,注意：本节结论只适用于弹性结构小位移平衡问题。即（1）荷载势能VP是位移参数i的一次式；（2）势能驻值条件是关于i的非齐次线性方程组，有唯一解；（3）满足势能驻值条件的解使势能为极小值。,1. 由应变能导出刚度矩阵：讨论杆件单元e。,单元杆端位移向量为,单元的应变能为,单元杆端力向量为,应用卡氏第一定理得,即,13-5 势能原理与矩阵位移法,（1）局部坐标系中的单元应变能和单元刚度矩阵,单元端点位移向量为,由杆端位移引起的杆内任一点位移为,N1、N2、N3、N4为形状函数（见教材式(13-52)）。,单元的应变能,写成矩阵形式
13、,（2）整体坐标系中的单元应变能和单元刚度矩阵,局部和整体坐标系下杆端位移向量的关系,应变能为标量,可得,（3）整体结构的应变能V和整体刚度矩阵K,即得,2. 由荷载势能导出等效结点荷载向量,等效定义：荷载势能与等效结点荷载势能彼此相等。即： 实际荷载荷载势能等效结点荷载,（1）局部坐标系中的单元荷载势能 和单元等效结点荷载,一般薄杆单元，轴向、横向和力偶荷载集度为p、q、m。则：,将位移表达式代入得,（2）整体坐标系中的单元荷载势能 和单元等效结点荷载,荷载势能是标量,因,可得,即,（3）整体结构的荷载势能 和整体结构的等效结点荷载,单元荷载贡献向量：按单元定位向量重新排列与同阶。,可写为,
14、即,余能驻值原理（余能原理）中，荷载和支座位移是给定量。,1. 超静定结构的余能EC,VC是超静定结构在可能内力状态下的应变余能：,VCd是结构的支座位移余能：,13-6 余能驻值原理,2. 余能驻值原理：可图示为,若超静定结构的内力满足静力条件，其相应的应变又满足变形协调条件，则此内力就是结构的真实内力。余能驻值原理又可表述为：,在所有可能内力中，真实内力使余能为驻值；反之，使余能为驻值的可能内力就是真实内力。,3. 基于余能原理的解法余能法,（1）考虑静力条件：确定超静定结构各种静力可能内力状态， 含待定的内力参数Xi力法的基本未知量；（2）考虑物理条件：求出在可能内力状态下超静定结构的余
15、能 EC；（3）应用余能驻值条件：求出基本内力参数Xi，以能量形式表 示的几何条件力法的基本方程。,例13-7 试用余能驻值原理解图(a)所示超静定体系，设材料为线 性弹性，各杆截面A相同。并与例13-4比较。,解（1）确定静定可能内力如图(b),（2）求超静定结构的余能，VCd=0则,（3）应用余能驻值条件,（4）求内力,得,例13-8 图(a)所示一等截面梁AB，材料为线性弹性。试用余能原理 求此梁由于温度变化和支座位移而产生的内力。,解（1）确定静力可能内力，由图(b)、 (c)得,（2）求结构余能EC，为材料线胀系数， h为梁截面高度，初始曲率为：,（3）应用余能驻值条件,由余能原理推
16、导力法基本方程 设结构为n次超静定，多余力为基本未知量,基本体系的内力可表示为,（1）应变余能VC用X表示,13-7 余能原理与力法,（3）应用余能驻值条件求X,得,支座反力,（2）支座位移余能VCd用X表示,例13-9 试用余能驻值原理计算图(a)所示超静定梁，并说明在力法 中可采用不同的基本结构分别计算 和MP。,解：取基本结构如图(b)，作MP图。,原结构静定可能内力,取基本结构如图(c)，作 图。,得,即,解得,梁的M图如图(d) 。,例13-10 图(a)为一等截面圆形无铰拱，承受均布水压力q。试用驻 值原理求其内力。,解：按弹性中心法取基本结构如图(b)，力法基 本方程简化为,求荷
17、载作用下的内力时取基本结构如图(c),即,求得,解,（驻值原理验证略）,2. 最小余能原理：适用于超静定弹性结构小位移的平衡问题。,在所有可能内力中，真实内力使余能为极小值；反之，使余能为极小值的可能内力就是真实内力。,数学表示式为,X是多余力的真实解，dX 是X的任一非零增量。,混合能量Em定义为：,(EP)b势能区(b区)的势能； (EC)a余能区(a区)的余能；EJ两区交接处的附加能量,分区混合能量原理： 设结构已分为势能区和余能区。在所有的分区混合可能状态中，真实状态使分区混合能量Em为驻值；反之，使Em为驻值的分区混合可能状态就是真实状态。,1. 基于分区混合能量原理的解法（1）确定
18、结构的各种分区混合可能状态。a区的待定内力参数X、 b区的待定位移参数基本未知量；（2）写出Em。（3）应用分区混合能量驻值条件。,13-8 分区混合能量驻值原理,例13-11 试用分区混合原理计算图示刚架。,解：取半边结构计算如图(a)。,（1）分区混合可能状态：B以上为a区， B以下为b区，如图(b)。,（2）分区混合能量Em为,在交接处B,（3）应用分区混合能量驻值条件 得,解得,2. 由分区混合能量原理推导分区混合法基本方程,（1）a区余能用X1表示：,（2）b区势能用2表示：,（3）交接处J，b区在J点的位移为 a区在J点相应约束力为,（4）应用分区混合能量驻值条件,得,1 卡氏第一
19、定理：设弹性结构的应变能V表示为n个独立变量位移1， 2， n的函数，与位移i相应的约束力记为Fi（i=1，2， ， n），除n个约束力Fi外，结构上没有荷载作用，则：,设只考虑弯曲应变能图(a)所示结构的应变能为,虚设位移如图(b)，曲率的增量为,令图(a)中的力系在图(b)中的虚位移上作虚功，虚功方程为：,解得,将V代入得,13-9 卡氏定理和克罗蒂 恩格塞定理,例13-12 试用卡氏第一定理求图示结构两端竖向反力及两端反力矩。,解：V是独立变量位移A、 B、A、B的函数，则：,由卡氏第一定理,例13-13 图(a)所示桁架发生对称变形时只有结点B的竖向位移。试用卡氏第一定理求当结点B产生
20、竖向位移时在该点所需施加的竖向力FyB。,解：桁架的应变能V为,由卡氏第一定理,若对称桁架在B点有竖向荷载FyB作用，则桁架在B点产生的位移,克罗蒂 恩格塞定理：设弹性结构的应变余能VC表示为n个独 立变量力X1，X2，Xn的函数，且支座位移为零，Di是与Xi 相应的位移，则：,只考虑弯曲应变余能，则图(a)所示结构,虚设力系如图(b)，弯矩的增量,令图(b) 的虚设力系在图(a) 的变形上作虚功，虚功方程为：,将VC代入,得,卡氏第二定理：设结构为线性弹性，而且没有初应变。此时， 应变能V与应变余能VC相等，则,例13-14 试求图示结构B点的转角B和挠度wB。,解：梁的应变余能为：,由卡氏
21、第二定理,4. 讨论,（1）两组、三项能量偏导数定理归结为三个公式：,（2）三个能量偏导数定理，代表变形体虚功原理的两种应用方式,（3）卡氏第一定理与单位支座位移法是相通的。 克罗蒂-恩格塞定理、卡氏第二定理与单位荷载法是相通的。,（4）卡氏第一定理可以推广为势能偏导数定理； 克罗蒂-恩格塞定理可以推广为余能偏导数定理。,1. 势能偏导数定理,（1）势能偏导数定理的表述：设结构有n个支座位移i为独立变量位移，其余支座位移及荷载均为给定常量，结构的势能EP表示为1， 2， n的函数，则：,（2）势能偏导数公式的推导,图(a)所示结构的势能,虚设位移如图(b),令图(a) 的力系在图(b) 的虚位
22、移上作虚功，虚功方程为：,得,将EP代入,13-10 势能和余能偏导数定理,2. 由势能偏导数定理得出的推论,（1）由势能偏导数定理导出单位位移法：将势能表示为,令,表示i=1引起的,拉伸应变、剪切应变、曲率和与荷载相应的位移。,可得,（2）由势能偏导数定理导出势能驻值原理,在位移法基本体系中，对应结构的n个自由度1， 2 ， ， n，增设了n个附加约束。这些附加约束的约束力F1，F2，Fn可由势能偏导数求出：,用位移法分析原结构时，附加约束实际上并不存在，因而约束力Fi均为零。即,（3）由势能偏导数定理导出卡氏第一定理,设结构除有变量位移i及约束力Fi（i=1，2，n）外， 再没有其他的荷载
23、作用。此时，EP=V，可得：,3. 余能偏导数定理,（1）余能偏导数定理的表述：设结构有n个独立变量荷载或独立变 量Xi，其余支座位移及荷载均为给定常量，结构的余能EC表 示为X1， X2， Xn的函数，则：,（适用于静定和超静定结构）,（2）余能偏导数公式的推导,图(a)所示结构余能为变量Xi的函数：,虚设力系如图(b) ：,令图(b) 的虚设力系在图(a) 的变形状态上作虚功，虚功方程为：,得,将EC代入,4. 由余能偏导数定理得出的推论,（1）由余能偏导数定理导出单位荷载法,令,表示Xi=1引起的轴力、剪力、弯矩和支座反力，可得：,（2）由余能偏导数定理导出余能驻值原理,在力法分析超静定
24、结构时，以多于约束力X1， X2 ， ， Xn代替多余约束，它们是n个独立变量力。结构的余能EC是Xi的函数。,Di是与多余力相应的位移应为零，因而：,（3）由余能偏导数定理导出克罗蒂-恩格塞定理和卡氏第二定理,设结构的支座位移为零，则EC=VC，可得：,如结构为线性弹性且没有初应变，则V=VC，可得：,（1）分区混合能量偏导数定理的表述,设结构分为余能区(a区)和势能区(b区)。a区有n1个独立变量力Xi，余能(EC)a表示为X1，X2，Xn的函数。b区有n2个支座位移j，势能(EP)b表示为1，2，n的函数。结构分区混合能量为：,则,（2）分区混合能量偏导数公式的推导：以图(a)所示结构为
25、例。,13-11 分区混合能量偏导数定理,交界处如图(b)所示。,虚设力系如图(c),令图(c)a区的虚设力系在图(a)a区 的变形状态上作虚功，虚功方程为：,将Em代入可得：,虚设位移如图(d),令图(a)b区的力系在图(d)b区 的虚设位移上作虚功，虚功方程为：,得,将Em代入可得：,（3）分区混合能量偏导数定理的三个推论,1）可导出分区混合能量驻值原理： 将a区的多余约束力Xi看作变量力；b区结构自由度j看作变量位移。与Xi相应的位移Di及与j相应的约束力Fj均应为零。即得：,2）可导出势能偏导数定理： 将整个结构看作势能区，而余能区不存在。Em=EP，即得：,3）可导出余能偏导数定理： 将整个结构看作余能区。Em=-EC，即得：,13-12 小结,1 结构力学中基本的对偶关系；,2 对偶（A）位移法与力法之间的对偶关系；,3 对偶（B）势能法与余能法之间的对偶关系；,4 对偶（）位移法与势能法之间的对偶关系；,5 对偶（）力法与余能法之间的对偶关系；,6 能量方法与传统方法的同中之异；,7 能量偏导数定理与能量驻值定理的对应关系；,从对偶关系对本章加以小结,
