1、塁樊方法 年第期 中学数雜轉考旬对个數学 问題 ， 可从不 同的 角 度思考。 合理利 用二次齐次式解？ ？圓锥曲线收值隨， 会举得， 收魏 。？：式在賴线的妙两 赵维浩（ 山东省滕州市第二中学）著名教育家波利亚曾说 ： “没有一道题是可以解丰汰中捆？决針全十美的， 总剩下些工作要做， 经过充分的探 而，讨总结 ，总会有点滴的发现， 总能改进这个解答 ， 而且得 一 ，所求直线方程为 。在任何情况下 ， 我们都能提高 自 己对这个解答的理解类比推广： （ ） 已知直线 交椭圆水平。”也就是说数学解题过程潜藏着丰富的智慧，认，真分析解题过程的每一步， 并领悟其内涵 ， 就会给你￥ ） 于 ，两点
2、， 是坐标原点 ， 若的解题宝库增添新的财富 。 本文讨论的二次齐次式）， ，以 ：；， 为常数）就是数学解题过程中 ；（以 ） 则 该 直线方程 的 斜率 为的一朵“奇葩” ， 它常见于解题过程之中 ， 并未被多数。人所重视。 其实 ， 在解题过程中若能合理构造并巧妙；应用二次齐次式有时会给我们解题教学带来方便 这（ ） 已知直线 ； 交双曲线既可以简化解题过程：又可以培养学生思维的灵活（ ， ）于 ， 两点， 是坐标原点 ，若“性 ？ 不愧为小巧 、 灵活 胃功的题方法。 （技 ） ， 则 该 直 线方 程 的 斜 率 为下面是笔者在这方面的尝试 ，以飨读者。；） 打破常规另辟蹊径，（ ）
3、 已知直线 交抛物线 例 已知直线 ： 交椭圆 ； 于（ ）于 两点， ？ 是坐标原点 ，若 （关 ） ， 则该直线方程的斜率为 。两？、 ， 是她原点 以 ，求线述三个推广巾 ， 点腾殊点 ， 若该点不为坐标原点 ， 而是圆锥曲线上的点又如何呢？分析 ： 此类问题常用的方法就是直线方程与圆锥方程联立转化为关于工 或 的二次方程， 但由 类比迁移触类旁通 可以联想 的二次方程的丽例 知椭圆 过点，）两个焦点为之和形式。（ ， ） ， （ ！ ， ） ？解 ： 设求椭圆 的方程；（ ） ， 是椭圆 上的两个动点 ， 如果直线 的斜率与 的斜率之和为 ， 证明直线 恒过了， 化为 父 （） ：定点
4、， 如果直线 的斜率与 的斜率之积为 ，证明直线 恒过定点 。， 因 ，方程两边隱以 ， 得 （）下酬两种方法求解。年第期思想方法 一中学数学教学参考（上旬通性通法 ：（ ）椭圆 的方程为专苦。将椭圆方程替鲁 化为 （ （ ）设 （ ：，） ， （ ， ：） ，直线方程 ： ， ）由：得 （ ） ？ 以（ ）（厂）（ 工（厂音） 。 。由 韦 达 定 理 得 ，所以， （ ）卜） 是（工 是 。 。力一音 吾音由题意可知 ， 即，工厂工 即（音）（厂音） （ ）？ ，（厂音），故 （ ） （办一 ？则 （ ） （ ）（ ） （ ） （ ）， （即 （ 是 ）工 工（办一）（： ： ） ，（ 一
5、 ） （！） （一 音 这是一个关于的一元二次方程。去分母化简得 从 一 姑 ，舨 ）卜出 ） ，故欲解 决问题 ， 由 韦达定理 ， 得（ ） （ ）（），立（ 卜 ） 十 （ 一） 。以二，所以一（ ）是故 香或 鲁。工卜） ，故 当 时， 直线 的方程 ， 、贝； ：（）。）恒过定点所以 ，直线恒过定点 一士， 一 。当 时 ，直线 的方程 故欲解决问题， 由韦达定理，得（， ）恒过定点（ ，）与 点重合， 不符吾 音音合题意 ， 舍去。 工广工（音）综上所述，直线恒过定点（去 由此可以看出利用通法来解需要很强的代数恒所以， 丄。等变形能力 。齐次方程法 ：设直线的方程为： ， 即 ：导
6、仏， ， ， ， 、 巧？（ ）， （，从而一 。所以 ， 直线过定点，一罚）从而进一步推广为以下命题：题思想方法 年第）期 ，中学数学教学参考比甸，用齐次方程的方法来解不但简便还会达到一箭（ ）若这两条直线的斜率之和等于 （ 为常双雕的目 的。数） ，则？， ， 中 占（ ） 当 关 时 ，直线 恒过一个定点， 且定点命题过椭圆会 ）定点， ， 不是椭圆顶点）作两条直线分别交椭圆于 ， 两点，使这两条直线的斜率之和等于 ； 为常（ ） 当 时， 直线 的斜率为定值一。数） ， 则（ ） 当 时 ，直线 恒过一个定点 ，且定点（ ）若这两条直线的斜率之积等于 （ 为常 数）， 则为 厂，； （
7、 ） 当 关一时 ， 直线 恒过一个定点， 且定当 时 ，直线 的斜率为定值 、证明略。点为 一命题 过椭 圆￥菩（ ）定点（ ）当 ￥时， 直线 的斜率为定值一 。不是椭圆顶点）作两条直线分别交椭圆于命题 若点 是拋物线 两点， 使这两条直线的斜率之积等于 （ 为常（ ）上的一点， 过点 引直线 和 与抛物线交数） ，则于 ， 两点 。（ ） 当 时 ， 直线 恒过一个定点 ，且定点（ ）若 ， 则 仙 土、 办 （） 若 “ 厂， 则 直线 恒过定为（ ，占 （ ， 当￥时 直线灿的斜率为定值一 。（ 若， 则 直线 恒过定证明略。 点以 一 ）对双曲线与抛物线亦有此结论 。”。，由此可以
8、看出 ，对一个数学问题应从不同的角度命题 过双曲线厂（ ）一定人手探究，关键是我们如何去进行等价化归 ， 找到点 不是双曲线顶点）作两条直线分别交于种最有效的解题途径。 正所谓解题有法 ，但无定法 ，双曲线 ，两点。贵在得法 。（上接第 页 （？； ） ，从而有 考虑的零点个数进行分类讨论 ，再结合线性规划知识加以讨论，教师可以引导学生建立恰当的分类标准， 培养 到 仰，所以实数 “ 的正负性进行讨论 ， 当学生严谨的逻辑思维能力 。 但画图比较烦琐 ， 建议教？ ， ：时 ，二 当一； ， 时，师可以借助“几何画板”作出可行域，是一个注重学生实际的解决方案。 接下来做法与学生 的解答笔者听完
9、这节课也进行了深人反思 。 本节课所￥胃 。用的解题思想是将两个相关参数的问题转化为两个教学时 ，对一些有难度的题目 ，要能从学生的角相互独立参数的问题 ，进而转化为单变量函数问题， 度出发， 分析出现错误的原因 ，从简单人手，提炼数学利用基本不等式 、 导数等手段来求最值 ， 从而使问题本质， 形成 自然流畅的解题方法， 这样既可以一题多得到解决。 其实用独立量来表示所求的思维根源是解 ，开阔学生思考问题的切人点，也可以多题一解，提向量问题中基底法，数列问题中的基本量法。 譬如等炼数学的通用方法 。 从而提升学生数学思维能力 ，培差数列中 等的表示。 事实上 ， 年髙考数学养学生改编试题的创新能力 ， 摆脱枯燥乏味的题海浙江卷文科第 题也可以选择 ） 的两个零战术 。点 作为独立量 ，不妨设 ， ， 则由韦达定注 ： 本文的撰写得到金克勤老师、李柏青老师的理知 ； ， ，代人条件 得 悉心指导 ，在此表示感谢。
