倒立摆系统的控制器设计.docx

1、倒立摆系统的控制器设计- 1 -目录摘 要 - 5 -1 倒立摆系统概述 - 6 -1.1 倒立摆的种类 .- 6 -1.2 系统的组成 .- 6 -1.3 工程背景 .- 6 -2 数学模型的建立 - 7 -2.1 牛顿力学法系统分析 .- 7 -2.2 拉氏变换后实际系统的模型 .- 10 -3 开环响应分析 - 11 -4 根轨迹法设计 - 13 -4.1 校正前倒立摆系统的闭环传递函数的分析 - 13 -4.2 系统稳定性分析 .- 13 -4.3 根轨迹设计 - 14 -4.4 SIMULINK 仿真 .- 17 -5 直线一级倒立摆频域法设计 - 18 -5.1 系统频域响应分析

2、- 18 -5.2 频域法控制器设计 .- 19 -5.2.1 控制器的选择 .- 19 -5.2.2 系统开环增益的计算 .- 20 -5.2.3 校正装置的频率分析 .- 20 -5.3 Simulink 仿真 .- 24 -6 直线一级倒立摆的 PID 控制设计 - 25 -倒立摆系统的控制器设计- 2 -6.1 PID 简介 .- 25 -6.2 PID 控制设计分析 .- 25 -6.3 PID 控制器的参数测定 .- 26 -7 总结与体会 - 29 -7.1 总结 .- 29 -7.2 体会 .- 29 -参考文献 - 30 -摘 要倒立摆是一种典型的非线性，多变量，强耦合，不稳

3、定系统，许多抽象的控制概念如系统的稳定性、可控性、系统的抗干扰能力等都可以通过倒立摆直观的反应出来；倒立摆的控制思想在实际中如实验、教学、科研中也得到广泛的应用；在火箭飞行姿态的控制、人工智能、机器人站立与行走等领域有广阔的开发和利用前景。因此，对倒立摆系统的研究具有十分重要的理论和实践意义。本文首先将直线倒立摆抽象为简单的模型以便于受力分析进行机理建模，然后通过牛顿力学原理进行分析，得出相应的模型，进行拉氏变化带入相应参数得出摆倒立摆系统的控制器设计- 3 -杆角度和小车位移、摆杆角度和小车加速度、摆杆角度和小车所受外界作用力、小车位移与小车所受外界作用力的传递函数，其中摆杆角度和小车加速度

4、之间的传递函数为：(1)0 2()0.75.1.6sGVs即我们在本次设计中主要分析的系统的传递函数。然后从时域角度着手，分析直线一级倒立摆的开环单位阶跃响应和单位脉冲响应，利用 Matlab 中的 Simulink 仿真工具进行仿真，得出结论该系统的开环响应是发散的。最后分别利用根轨迹分析法，频域分析法和 PID 控制法对倒立摆系统进行校正。针对目标一：调整时间 ，最大超调量 ，选取参数利0.5(2%)st误 差 带 %10p用根轨迹法进行校正，得出利用超前校正环节的传递函数为：(2)13.47(.8)()5csGs针对目标二：系统的静态位置误差常数为 10；相位裕量为 50 ；增益裕量等于

5、或大于 10 分贝。通过频域法得出利用超前校正环节的传递函数为：(3)189.6(.5)()0csGs针对目标三： 调整时间 ，最大超调量， ，设计或调误 差 带 ）%2(ts %15p整 PID 控制器参数，得出调整后的传递函数为：(4)150()2cGss倒立摆系统的控制器设计- 4 -关键词：直线一级倒立摆 根轨迹分析 频域分析 PID 控制1 倒立摆系统概述1.1 倒立摆的种类悬挂式、直线、环形、平面倒立摆等。一级、二级、三级、四级乃至多级倒立摆。1.2 系统的组成倒立摆系统由倒立摆本体，电控箱以及控制平台（包括运动控制卡和 PC 机）三大部分组成。1.3 工程背景 机器人的站立与行走

6、类似双倒立摆系统。在火箭等飞行器的飞行过程中为了保持其正确的姿态要不断进行实时控制。通信卫星要保持其稳定的姿态使卫星天线一直指向地球，使它的太阳能电池板一直指向太阳。为了提高侦察卫星中摄像机的摄像质量必须能自动地保持伺服云台的稳定消除震动。多级火箭飞行姿态的控制也可以用多级倒立摆系统进行研究。倒立摆系统是机器人技术、控制理论、计算机控制等多个领域、多种技术的有机结合。倒立摆系统的控制器设计- 5 -2 数学模型的建立2.1 牛顿力学法系统分析通过以上假设，将倒立摆抽象为如图所示的系统 FMmxdxbtl图 直线一级倒立摆模型 M 小车质量 1.096 Kg m 摆杆质量 0.109 Kg b

7、小车摩擦系数 0.1N/m/sec l 摆杆转动轴心到质心长度 0.25m倒立摆系统的控制器设计- 6 - I 摆杆惯量 0.0034 kgm2 F 加在小车上的力 x 小车位置 摆杆与垂直向上方向的夹角 摆杆与垂直向下方向的夹角FNPxdxbtmg2It图 小车及摆杆受力分析N 和 P 为小车与摆杆相互作用力的水平和垂直方向的分量 。首先对小车水平方向所受的合力和对摆杆水平方向的受力进行分析，得到系统的第一个运动方程。对小车水平方向所受的合力进行分析，得到如下方程：（2-1-1）2dxMFbNtt对摆杆水平方向的受力进行分析，得到如下面方程：（2-1-2）2(sin)dmxlt即：cosin

8、i倒立摆系统的控制器设计- 7 -（2-1-3）222N =m+ lcosml()sindxdttt把这个表达式代入式(4-1)中，得到系统的第一个运动方程：（2-1-4）222()cos()sindxddMbllFtttt然后通过对摆杆垂直方向上的合力进行分析，得到系统的第二个运动方程。对摆杆垂直方向上的合力进行分析，得到方程如下：（2-1-5）2(cos)dPmglt（2-1-6）22sin()cosdlmldtt力矩平衡方程如下：（2-1-7）2sincosdPlNlIt此方程中力矩的方向，如图所示 , 则 ，故cosin,sin等式前面有负号。合并这两个方程，约去 P 和 N，得到第二

9、个运动方程：（2-1-22()sincosddxImlglmltt8）设 （ 是摆杆与垂直向上方向之间的夹角） ，假设 与1（单位是弧度） 相比很小，即 ，则可以进行近似认为 。用 u 来代1 2cos1,in,()0dt表被控对象的输入力 F，线性化后两个运动方程如下3：倒立摆系统的控制器设计- 8 -（2-1-9）2222()()ddxImlglttxMbu假设初始条件为0，对式(3-9)进行拉普拉斯变换，得到：（2-1-10）222()()()ImlsglsmlXsXbU由于输出为角度 ，求解方程组的第一个方程，可以得到：（2-1-11）2()()Ilgssm（2-1-12）2()lXs

10、Isgl令 v = x，则有： （2-1-2()mlVsIs13）把上式代入方程组的第二个运动方程，得到： 2 22 2()()()()()()()ImlgImlgMsbslsU（2-1-14）整理后得到传递函数： 22432()()()lssqbImlMglbmlUsq（2-1-15）其中 。2()qMmIll倒立摆系统的控制器设计- 9 -2.2 拉氏变换后实际系统的模型本系统采用以小车的加速度作为系统的输入，把上述参数代入，可以得到系统的实际模型。摆杆角度和小车位移的传递函数：（2-2-1）2()0.751.60ssX摆杆角度和小车加速度之间的传递函数为：（2-2-2）2()0.75.1

11、.6sVs摆杆角度和小车所受外界作用力的传递函数：（2-2-332().3560.81792.304ssU）倒立摆系统的控制器设计- 10 -3 开环响应分析当输入为小车加速度时，分析摆杆角度与小车位置的脉冲响应和阶跃响应。由式（2-2-1 ） 、 （2-1-2）或者通过受力分析物理公式均可得到小车位移和小车加速度的传递函数：（3-1 ）2()1XsV利用 Matlab 中的 Simulink 仿真工具进行仿真，仿真系统的结构如图倒立摆系统的控制器设计- 11 -摆杆角度的单位脉冲、阶跃响应，小车位置的单位脉冲、阶跃响应如下图摆杆角度的阶跃响应 摆杆角度的脉冲响应小车位置的阶跃响应 小车位置的

12、脉冲响应从图可知，输入加速度时，摆杆角度及小车位移的阶跃响应和脉冲响应都是发散的。倒立摆系统不稳定，需要进行校正。倒立摆系统的控制器设计- 12 -4 根轨迹法设计4.1 校正前倒立摆系统的闭环传递函数的分析本系统采用小车的加速度作为系统的输入，摆杆角度为输出响应，得出的传递函数： 即式（2-2-2） 。2()0.75.1.6sVs4.2 系统稳定性分析在 MATLAB 中新建一个 m 文件，并进行编程如下： num=0.02725 ; den=0.0102125 0 -0.26705; rlocus(num,den) p=roots(den) 保存后运行文件，由结果可知该系统不存在开环零点，

13、仅有两个绝对值相等的开环实极点 。并绘制出了未校正系统的根轨迹图如下 5.136p倒立摆系统的控制器设计- 13 -可以看出闭环传递函数的一个极点位于右半平面，并且有一条根轨迹起始于该极点，并沿着实轴向左到位于原点的零点处，这说明无论增益如何变化，这条根轨迹总是位于右半平面，即系统总是不稳定的。4.3 根轨迹设计开环传递函数： 2()0.75.1.6sVs设计控制器，使得校正后系统的性能指标满足：最大超调量调整时间1、根据性能指标，计算校正后闭环主导极点的坐标。 由于最大超调量： 有公式 1.021/ep我们可以算出 为 0.591155，取 为 0.69。由 = 得， 。cos37.46%1

14、0p误 差 带 ）2(5.sts10p倒立摆系统的控制器设计- 14 -又调节时间为 0.5s（=2%）nst5.4取 =0.5s 得 =13.043tn由特征根为 s1,2= 12n得期待闭环主导极点 s1,2 =-8.9999.4406j=101.42）（ 10sG2、计算超前校正网络应提供的超前相角 。c=180-101.32=78.58）（ 10s-8Gc3、计算 角、 和 。czp=27.52)(21c=6.2730 )sin(ccz=27.1194 sicncp故校正网络的传递函数为： 194.27306)(sGc4、由幅值条件，计算 Kc根据幅值条件| |=1，可得到 Kc=13

15、5.0775)(dsHG5、控制器的确定得到了系统的超前校正控制器：倒立摆系统的控制器设计- 15 -（4-3-1）194.27)306(0513)(sGc6、校正后系统的验证通过 MATLAB 作图，得校正后根轨迹如图单位阶跃响应如图可知虽然本次校正使系统的性能得到了改善，但是还无法达到我们之前要求到的超倒立摆系统的控制器设计- 16 -调量的性能指标，所以我们需要通过改变校正环节中的各项参数来调整系统，使之能够达到系统设计要求。由于增大 超调量会变小，经过多次尝试，发现当时，满足性能指标。其单位阶跃如图0194.2)5(7135)(sGc倒立摆系统的控制器设计- 17 -4.4 SIMUL

16、INK 仿真建立仿真模型如下：仿真结果如下：由图可看到，系统的超调量较小，调节时间短，性能指标较好，系统校正成功。倒立摆系统的控制器设计- 18 -5 直线一级倒立摆频域法设计5.1 系统频域响应分析系统对正弦输入信号的响应，称为频率响应。在频率响应方法中，在一定范围内改变输入信号的频率，研究其产生的响应。频率响应可以采用以下两种方法进行分析：一种为伯德图，采用两幅分离图，一幅表示幅频特性，一幅表示相频特性；另一种是奈奎斯特图，表示的是当 从0 变化到无穷大时，向量 的矢端轨迹。()Gj奈奎斯特稳定判据使我们有可能根据系统的开环频率响应特性信息，研究线性闭环系统的绝对稳定性和相对稳定性。根据式

17、（2-2-2）我们已经得到了直线一级倒立摆的数学模型，实际系统的开环传递函数为： 20.75.1.6sVs其中输入为小车的加速度 ,输出为摆杆的角速度 。利用 Matlab 绘制系统的()S()SBode 图（图 5-1-1）如下。 s=tf(s); G0=0.02725/(0.0102125*s2-0.26705); figure;margin(G0)倒立摆系统的控制器设计- 19 - grid on图 5-1-1、直线一级倒立摆系统的 Bode 图图 5-1-2、 直线一级倒立摆系统的 Nyquist 图根据奈奎斯特稳定判据，由根轨迹法中零点、极点的计算可知：系统不存在零点，但存在两个极点

18、，其中一个极点位于S平面的右半部分，另一个位于S平面的左半部分。根据奈奎斯特稳定判据，闭环系统稳定的充分必要条件是：当 由 变化时， 曲线逆时针包围 平面上 点的次数 等于开环传递函GjHGH-1,j0R数右极点个数 。对于直线一级倒立摆，由图11和图12可以看出，开环传递函数在SP右半平面有一个极点。因此， 曲线逆时针包围 点的次数 。而j-,j=1本系统的奈奎斯特图并没有逆时针包围 点一圈即 。因此系统不稳定，需1,j01R倒立摆系统的控制器设计- 20 -要设计控制器来稳定系统。5.2 频域法控制器设计5.2.1 控制器的选择根据图 5-1-1 和图 5-1-2 可以初步观察出，给系统增

19、加一个超前校正就可以满足设计要求，设超前校正装置为：（5-2-1-1）11()ccsTGsKS则已校正系统具有开环传递函数 ， 设cGs（5-2-1-2）020.75.1-6Kss其中 。cK5.2.2 系统开环增益的计算根据稳态误差要求计算增益 K(5-2-2-1）0 20010.75limli 10-6pccs sTKGs可以得到： （5-2-2-2）98cK于是有： （5-2-2-3）120.75().60Gss倒立摆系统的控制器设计- 21 -5.2.3 校正装置的频率分析利用MATLAB画出 的Bode图1Gs图 5-2-3-1 校正装置的 Bode 图可以看出，系统的相位裕量为 。

20、表明只是满足稳态误差时的系统不能满足0=动态性能指标的要求。根据设计要求，系统的相位裕量为 ，因此需要增加的0=5相位裕量为 ，增加超前校正装置会改变 Bode 图的幅值曲线，这时增益交界频率50会向右移动，必须对增益交界频率增加所造成的 的相位滞后增量进行补偿。Gj实际需要增加的相角裕量 为 55。m计算超前校正网络参数 ：= （5-2-3-1）msin1059.1si-倒立摆系统的控制器设计- 22 -（5-2-3-2）dB03.1lg在图中找到 的点，该点的频率就是校正后系统的截止频率，即dBL03.1)(，该频率就是超前校正网络最大超前角 处对应的频率 ，也即是srad/4.28 mm

21、系统校正后的截止频率。计算超前校正网络的另一个参数 T（5-2-3-4）01.59.4281mT，0.91. 954.8T7205918Kc由此得到的校正装置为： 091.)548(7211)( sTscsTsGc 校正后的传递函数为： )(sc26705.-s01 091.)548(2s画出校正后系统的 Bode 图倒立摆系统的控制器设计- 23 -图 5-2-3-2 校正装置的 Bode 图图 5-2-3-3 校正装置的 Bode 图从图 5-2-3-2 和图 5-2-3-3 可知，校正后的系统相角裕量和幅值裕量符合设计要求，根据奈奎斯特判据可知校正后的系统稳定。现在分析系统的动态性能是否

22、满足要求。Matlab 编程如下：倒立摆系统的控制器设计- 24 - num=0.02725*985.782 0.02725*985.782*8.9544; den1=0.0102125 0 -0.26705; den2=1 90.0901; den=conv(den1,den2); sys=tf(num,den); sys2=feedback(sys,1); t=0:0.01:20; step(sys2,t) axis(0 1 0 2);倒立摆系统的控制器设计- 25 -图 5-2-3-4从图可看到，系统的超调量较大，不理想，因此对其进行调整，经过反复试探和分析，得到较好的参数如下：倒立摆系

23、统的控制器设计- 26 -20.757() *10.1.69c sGss图 5-2-3-5从图可看到，此时系统的超调量很小，调节时间短，稳定性好，符合设计要求且性能指标良好。该控制器设计成功。5.3 Simulink 仿真利用 Simulink 建立含有利用频域法得到的超前校正装置的系统结构图进行仿真观察系统的响应情况。仿真结构图如下：图 5-3-1倒立摆系统的控制器设计- 27 -仿真结果如下图：图 5-3-2由图能看到校正后系统的稳定性，快速性和准确性都比较好，符合设计要求。6 直线一级倒立摆的 PID 控制设计6.1 PID 简介PID控制器又称PID调节器，是工业过程控制系统中常用的有

24、源校正装置，目前倒立摆系统的控制器设计- 28 -应用比较广泛的主要有电子式PID控制器和气动式PID控制器。在自控原理中，经典控制理论的研究对象主要是单输入单输出的系统，控制器设计时一般需要有关被控对象的较精确模型。但是很多场合下，不能也没有必要对控制系统建立精确的数学模型，这种情况下PID控制器的优势得以显现：结构简单，容易调节，且不需要对系统建立精确的模型，在控制上应用较广。6.2 PID 控制设计分析我们注意到，PID控制器6设计之初并不需要对被控系统进行精确的分析。为了突出PID控制的这一优势，我们采用实验的方法对系统进行控制器参数的设置，即在Matlab中利用Simulink仿真测

25、试来确定PID控制器的参数。其系统结构框图如下所示: ()fsv()0rs()es ()uPIDcontrle()Gs图 6-2-1 PID控制结构图由于 ，为了方便查看我们将上图进行转换，转换结果如下。()0rsPIDcontrle()Gsfv()us ()cs图 6-2-2 PID 控制等效结构图该图更加方便我们理解PID控制器的作用，系统的输出为倒立摆系统的控制器设计- 29 -() ()()()() ()1 )1(numGs numdePIDdeysFFs FsPIDPIDdeInu 其中各个参数的含义如下： :PID:numde被 控 对 象 传 递 函 数 分 子 项控 制 器 传

26、 递 函 数 分 子 项被 控 对 象 传 递 函 数 分 母 项控 制 器 传 递 函 数 分 母 项通过分析上式便可以评价PID控制器控制的效果，进而得出系统性能的相关指标。主要依据图像所反映出系统性能的欠缺进行有针对性的调节，其中P反映误差信号的瞬时值大小，改变快速性；I反映误差信号的累计值，改变准确性；D反映误差信号的变化趋势，改变平稳性。PID的调节是根据现在的性能指标，和PID三个参数调节的意义进行的调节。（1） 、比例P控制器比例系数 减小，将使系统的平稳性得到改善。但是系统的上升时间变成且系统的稳态精度变差。增大比例系数可以提高系统的稳态精度但是牺牲了系统的平稳性和快速性。（2

27、） 、PD控制器选择合适的Td的值，串联PD控制器可以提高系统的平稳性，加快系统的响应速度，串联的PD校正实际上是对系统的串联超前校正，这样容易放大高频噪声，抗干扰能力下降。（3） 、PI控制器串联PI控制器后是校正后系统成为有一个左实数的零点n+1阶的系统，此外系统的性别提高，能够改善系统过得稳态精度，其中Ti越小积分作用越强。系统的平稳性会越差。PI通常是用于改善系统的稳态性能。倒立摆系统的控制器设计- 30 -6.3 PID 控制器的参数测定通过刚刚的分析，我们已经得出了 PID 控制系统的传递函数如式。（6-3-1）213()cKGss在 Simulink 环境中建立 PID 控制模型，之后可以根据 8.2 中提到的控制规律进行参数选取，进而求得合适的参数。图 6-3-1 PID 控制系统仿真结构图双击 PID 控制器，选择参数进行仿真。经过多次参数选取，得到了比较合适的参数，如图 6-3-2。