1、周期数列一、周期数列的定义： 类比周期函数的概念，我们可定义：对于数列 na，如果存在一个常数 T)(NT，使得对任意的正整数 0n恒有 Tn成立，则称数列 na是从第 0项起的周期为 的周期数列。若 1，则称数列 a为纯周期数列，若 20，则称数列 na为混周期数列， 的最小值称为最小正周期，简称周期。设An是整数,m是某个取定的大于1的正整数,若Bn是An除以m后的余数,即Bn=An(mod m),且Bn在0,1,2,.,m-1,则称数列Bn是An关于m的模数列,记作An(mod m)。若模数列An(mod m)是周期的,则称An是关于模m的周期数列。二、 周期数列的性质1、周期数列是无穷
2、数列，其值域是有限集；2、如果 是数列 的周期，则对于任意的 ， 也是数列 的周期。TnaNkTna3、若数列 满足 （ ，且 ），则6是数列的一个周期。21n2n4、已知数列 满足 （ ，且 为常数）， 分别为 的前 项ntnt,tnSn的和，若 （ ， ），则 ， 。rqt0rrnartq特别地：数列 的周期为6，（即： ）则na6 2620135S5、若数列 满足 ，则数列 是周期数列；nsk),(Nn若数列 满足 ，则数列 是周期数列。knn1,a若数列 满足 ，则数列 是周期数列nasa )0(sn。特别地：数列 满足 ，则数列 周期T=2；nn1),(Nnkna数列 满足 ，则数列
3、 周期T=3asa2),(n数列 满足 ，则数列 周期T=2 ；nn1),(kn数列 满足 ，则数列 周期T=3nasan21),(Nnkna6、若数列 满足 a+d=0,则数列 是周期T=2；,1dcbnna例：数列 满足 则数列 是周期 T=2；na,371nan三、周期数列性质的简单应用1、求数列的通项公式（1 ）数列 1，2，1，2，1，2 ， 的通项公式解析：原数列可构造成： ， ， ， ， ， ， 321321321，它的通项公式可以写成： (n N)，)1(nna或者写成： ( n N)，2si(13an又或者写成： (n N)，ncos总结：一般的数列 a，b，a，b，a，b，
4、 它的通项公式可以写成：( n N)abancos)(21)(（2 ） ，0， 1， ，0，1，的通项公式解析：该数列周期为3，我们把它与周期为的函数 xytan进行改造，使它们能发生联系。事实上，当 x分别为 ，0， ， ， ， 34，时， t的值分别为 ，0， ，32 33，0， ，这样 ，0，1， ，0，1，的通项公式可以写成： )2tan(31所以，原数列的通项公式为 (n N)2tan(312bn（3 ）数列 ：1，2，3，4，1，2，3，4， 的通项公式cn解析：将原数列扩大2倍：2， 4， 6， 8， 2， 4， 6， 8，再减去平均数5得到： ， ， 1， 3， ， ， 1，
5、3，分解成两个数列：(1) ， 1， ， 1， ， 1， ， 1， (2) ， ， 2， 2， ， ， 2， 2， (1)的通项公式为 n)1(易得，(2)的通项只要求出 ， ， ， ， ， ， ， ，的通项便可以了111，它与(2)相差一个系数 。2以上数列的符号与正弦函数在四个象限的符号完全一致，它通项：(nN)，)412sin(1cn ， ，2，2， ， ，2，2，的通项为：(nN)，)41sin(2 cn ， ，1，3， ， ，1，3，的通项为：(nN)，)42sin()(3 cnn则原数列 的通项为：n(nN)。)412sin()1(52cnn（4 ） ：1 ，1，1，1，2，2，2
6、，2，3，3，3，3，4，4，4，4，的通项公式n乘以(4)得：， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，881212加上(n+4)得：1，2，3，4，1，2，3，4，1，2，3，4，它的通项公式为：)412sin()1(52 cnn又 化简整理得：4n(nN)。412sin()1(328cnn2、求数列中的项例3 （由第十四届希望杯改编）、已知数列 中， 且对于大于 的正整na5,321a2数，总有 ，则 等于（ ）21nna09A-5 B-2 C 2 D 3解析：由性质（2）知，数列 是以6 为周期的周期数列，而 ，再n 5346209由性质（3）可得 ，故选A5)(32345209
7、aaa例4（上海中学数学杂志2000年的第1 期）、已知实数列 满足 （ 为实数）na1， ( )，求 13nnaN20解： ( )可变形为 我们发现1nn 13nna13nna与三角式 十分相似，因此可把此三角式认为是原递推关系6tan1t)6ta(xx的原型通过运算，发现本题中可取 = ， 显然此数列的t 6)1(tan1周期是6而 ，再由性质（3），得 220 3203、求周期数列的前 项和n例5 、设数列 中， ，且对 ，有 = a21321a， Nn321nna（ ）成立，试求该数列前100项和 321nnan 0S解：由已知条件，对任何自然数 ，有 = N321nna，把式中的 换
8、成 ，得 = 321nnaa 4n两式相减得， 因为4 4321)( nnn a，所以 所以 是以4为周期的周期数列，而321nn)(，再由性质（3），得 540 2015410S例6 （上海 08质检题）、若数列 满足 ， 为 的前nanna2)(NnSa项和，且 ， ，求 208S3S08解析：由 及性质（2 ），可知所以数列 是以6为周期的周期数列nna1 n由 ， ，知 ， ，再结合2321a201321a，可求得 ， ， ；由递推关系式可进一步求得13a01053， ， 因为 ，由性质（3），得0455a64681734628 SS4、求周期数列的极限例7、（06北京）在数列 中， ， 是正整数，且 ，na12a21nna5,43，则称 为“绝对差数列”若“绝对差数列” 中， ， ，数列na 201满足 ， ，分别判断当 时，数列 和b21n3,nb的极限是否存在，如果存在，求出其极限值解析：因为在绝对差数列 中 ， 所以自第20项开始，该数列是na2021a， ， ， ， ， ， ， 即自320a213243526a027第 20 项开始，每三个相邻的项周期地取值3，0 ，3所以当 时， 的极限不存在nn当 时， ，所以 n126nnbalimnb
