1、首 页 课程简介 教师简介 教学大纲 教学计划 学习方法第三章第 1 节 集合的概念和表示法 第 2 节 集合的运算第 3 节 包含排斥原理第 4 节 序偶与笛卡尔积第 5 节 关系其及表示第 6 节 关系的性质第 8 节 关系的闭包运算 1 自反、对称和传递闭包上面所讲的关系的合成和关系的逆都可以构成新的关系。我们还可对给定的关系用扩充一些序偶的办法得到具有某些特殊性质的新关系，这就是闭包运算。定义 3-8.1 设 R 是 X 上的二元关系，如果有另一个关系 R，满足：a)R是自反的(对称的，可传递的)；b)R R；c)对于任何自反的关系 R，如果有 R R，就有 R“ R。则称关系 R为
2、R 的自反闭包。记作r(R)，(s(R),t(R),)对于 X 上的二元关系 R，我们能够用扩充序偶的方法来形成它的自反(对称，传递)闭包，但必须注意，自反(对称，传递)闭包应是包含 R 的最小自反(对称，传递)关系。2 闭包的性质及求法定理 3-8.1 设 R 是 X 上的二元关系，那么a)R 是自反的，当且仅当 r(R)Rb)R 是对称的，当且仅当 s(R)Rc)R 是传递的，当且仅当 c(R)R证明 a )如果 R 是自反的；因为 R R，且任何包含 R 的自反关系 R，有 R R，故 R 就满足自反闭包的定义，即r(R)R反之，如果 r(R)R，根据定义 3-8.1a )，R 必是自反
3、的。b)和 c)的证明完全类似。 下面几个定理介绍了由给定关系 R，求，r(R)，s(R)和 t(R)的方法。定理 3-8.2 设 R 是集合 X 上的二元关系，则r(R) RIx证明 令 RRIx，对任意 xX，因为有Ix，故R，于是 R在 X上是自反的。又 R RIx 即 R R。若有自反关系 R，且 R R，显然有 R Ix，于是R IxR R，故r(R) RIx定理 3-8.3 设 R 是集合 X 上的二元关系，则s(R)RRc第 7 节 复合关系和逆关系第 8 节 关系的闭包运算第 9 节 集合的划分与覆盖第 10 节 等价关系与等价类第 11 节 相容关系第 12 节 序关系证明
4、令 RRR ，因为 R RR ，即 R R，又设R，则R 或R ，即 R，故RR ，所以 R是对称的。设 R是对称的且 R R，对任意R，则R 或R 。当R 则R，当R 时，R，R，因为 R对称，所以R，因此 R R，故s(R)RRc定理 3-8.4 设 R 是 X 上的二元关系，则证明 a)先证 用归纳法。(1) 根据传递闭包定义 R t(R)例题 1 设 Aa，b，c，R 是 A 且的二元关系，且给定 R，求 r(R)，s(R)，t(R)。解 t(R)RIA，s(R)RR ，为了求得 t(R)，先写出从例题 1 中看到给定 X 上关系 R 求 t(R)，有时不必求出每一 ，下面定理指出了计
5、算 t(R)与集合 X 中元素个数的联系。定理 3-8.5 设 X 是含有 n 个元素的集合，R 是 X 上的二元关系，则存在一个正整数 kn，使得例题 2 设 Aa，b，c，d，给定 A 上的关系 R 为R，求 t(R)。3 求传递闭包的算法当有限集 X 的元素较多时，对关系 R 的传递闭包 R+进行矩阵运算，显得很繁琐，为此Warshall 在 1962 年提出了 R+的一个有效算法如下：(1)置新矩阵 A：M；(2)置 i：1；(3)对所有的 j 如果 Aj，i1，则对 k1，2，nAj，k：Aj，k+Ai，k；(4)i 加 1；(5)如果 in，则转到步骤(3)，否则停止。例题 3i1
6、 时，第一列中只有 A1，11，将第一行与第一行各对应元素进行逻辑加，仍记于第一行得：i2 时，第二列中 A1，21，A4，21，分别将第一行、第四行各元素和第二行各对应元素逻辑相加，仍分别记于第一行和第四行得：i3 时，第三列中没有不等于零的元素，A 的赋值不动。 i4 时，第四列中 A1，4A2，4A4，41，将一、二、四这三行和第四行对应元素逻辑相加，仍分别记于一、二、四这三行得：i5 时，A3，51，将第三行与第五行的对应元素逻辑相加，仍记于第三行，由于第五行的元素都等于零，A 的赋值不变。i6，i7 时，由于第六、七列各元素均为零，A 的赋值不变。传递闭包 在语法分析中有很多应用，现
7、以下例说明。例题 4 设有一字母表 VA，B，C，D，e，d，f并给定下面六条规则。AAf， BDde， CeAB， BDe， DBfR 为定义在 V 上的二元关系且 xiRxj，即是从 xi出发用一条规则推出一串字符，使其第一个字符恰为 xj。说明每一个字母连续应用上述规则可能推出的头字符。解 R 的关系矩阵为；则 xi xj表示从 xi出发，经过多次连续推导而得的字符串，其第一个字符恰为 xj的关系，此关系即是上例中计算的 MR+。因此 ，这说明应用给定的六条规则，从 A 出发推导的头字符有 A、B、D 三种可能，而从 B 出发推导的头字符有 B、D 两种可能，而从 D 推出的头字符有 B、D 两种可能，从 C 出发推导的头字符只可能为 e。关系 R 的自反(对称，传递)闭包还可以进一步复合成自反(对称、传递)等闭包，它们之间有如下定理：定理 3-8.6 设 X 是集合，R 是 X 上的二元关系，则a)rs(R)sr(R)b)rt(R)tr(R)c)ts(R) st(R)证明 令 Ix 表示 X 上的恒等关系。
