1、介绍一组优美的圆锥曲线焦半径公式吴文尧（浙江省宁波市北仑中学吴文尧工作室 ，）我们通常把圆锥曲线上的点与圆锥曲线的焦点的连线段称为圆锥曲线过点的焦半径在解答有关圆锥曲线涉及焦点的问题时 ，经常需要计算焦半径的长 ，且 “工程量 ”往往较大 ；如何简化其计算过程 ，缩短解题长度是大家共同的心愿本文介绍一组优美的求圆锥曲线焦半径的计算公式 ，供大家参考一 、公式介绍众所周知 ，在极坐标系中圆锥曲线的极坐标方程为，其中为圆锥曲线的离心率 ，为焦点到相应准线的距离 ，事实上 ，其中的即为圆锥曲线的焦半径 ，即其极坐标方程也可以看成是圆锥曲线统一的焦半径公式 ，但在具体的使用过程中 ，这个公式不是很便捷
2、 ，下面利用圆锥曲线的性质对这个公式进行 “再加工 ”（）时 ，曲线为抛物线设是过抛物线（）的焦点的弦 （点在轴上方 ），直线的倾斜角为，则 ， ，所以 当时 ， （抛物线的通径的长 ）（）时 ，曲线为椭圆 ，其极坐标方程为设是椭圆（）过焦点（左或右焦点 ）的弦 ，直线与轴的夹角为（），若，则 ， ， 当时 ， （椭圆的通径的长 ）；当时 ， （椭圆的长轴的长 ）（）时 ，曲线为双曲线 ，其极坐标方程为设是双曲线（，）过焦点（左或右焦点 ）的弦 ，直线与轴的夹角为（），且 （），两点同在双曲线的左支 （或同在双曲线的右支 ）时 ， ， 当时 ， （双曲线的通径的长 ）（），两点不同在双曲线的左
3、支 （也不同在右支 ）时 ， ， 当时 ， （双曲线的实轴的长 ）二 、公式的应用用于求焦点弦所在直线的斜率数学通讯 年第 期 （上半月 ）辅教导学 由于前面给出的焦半径公式都与直线的倾斜角相关联 ，因此在求焦点弦所在的直线的斜率时 ，可运用焦半径公式及题设条件得到一个关于直线倾斜角的方程 ，然后求出其倾斜角的某一三角函数值 ，进而求出其斜率例 （年高考全国 （）数学理科第题 ）已知椭圆的离心率为槡，过右焦点且斜率为（）的直线与相交于、两点若，则（）（） （）槡 （）槡 （）解答设直线的倾斜角为，则 ， ，由可得，即槡，所以槡，故选 （）评注本题的常规解法通常是写出直线的方程 ，然后把直线方程
4、代入椭圆的方程 ，再运用韦达定理 ，把条件翻译成关于的方程 ，从而得到结论 ，其运算量显然较大 ；若利用椭圆的定义解之 ，则对数学能力的要求较高而本解法容易操作且运算简单例 （年高考浙江省数学理科试卷第题 ）设，分别为椭圆的左 、右焦点 ，点，在椭圆上 ，若 ，则点的坐标是分析要得到点的坐标只须确定直线的方程 ，即只须确定其倾斜角的大小 ，所以问题的本质与例相同解答设直线与轴的夹角为，则 槡槡由于 ，所以直线与轴的夹角也为，故 槡槡所以槡 槡槡 槡，解得槡， 槡，故点恰为短轴的端点 ，所以（，）评注焦点作为过圆锥曲线焦点的弦的定比分点 ，设置问题情景很容易与平面向量知识相结合 ，所以也容易得到
5、高考命题组专家的青睐 ，这类问题与焦半径直接相关联 ，所以对于这类试题 ，运用这组焦半径公式解之可谓 “专业对口 ”用于求圆锥曲线的离心率对于第一类问题的逆向问题 ，即已知圆锥曲线的某一焦点弦所在直线的斜率及焦点分过焦点的弦所成的比 ，求曲线的离心率 ；运用焦半径公式很容易建立一个关于，的方程 ，然后求其离心率例 （年高考辽宁省数学理科试卷第题 ）设椭圆：（）的左焦点为，过点的直线与椭圆相交于，两点 ，直线的倾斜角为，（）求椭圆的离心率 ；（）如果，求椭圆的方程解答（）设椭圆的焦距为，则 ， ，由可得 ，即 ，故（）由 （）可知， 槡 槡， ，所以， 槡，椭圆的方程为评注在圆锥曲线的有关运算中
6、 ，“最苦 、最累 ”的活是把直线方程代入椭圆 （双曲线 ）方程 ，再利用韦达定理解决相关的问题 ，运用焦半径公式可以很好地回避做这件很辛苦的事用于求过焦点的弦的长求圆锥曲线的弦长是圆锥曲线中最常规的问题 ，我们也有所谓的圆锥曲线的弦长公式可以利用 ，但都不可回避的是必须做 “把直线方程代入曲线方程 ”这件事对于求圆锥曲线过焦点的弦的长 ，利用焦半径公式可 “一望而解 ”例 （由年全国高中数学学竞赛湖北省预赛试题改编 ）已知直线与椭圆：辅教导学 数学通讯 年第 期 （上半月 ）交于，两点 ，过椭圆的右焦点作倾斜角为的直线交弦于，交椭圆于点，试用表示四边形的面积图 分析由于当确定时 ，直线与的夹
7、角也随之确定 ，所以本题的关键是计算过椭圆右焦点的弦的长解答把代入椭圆方程：可解 得（槡 ，槡 ），（槡 ，槡 ），所以 槡 槡 由于直线的倾斜角为，所以 槡， 槡， 槡 槡， ，所以四边形的面积槡 （）槡 用于圆锥曲线的综合问题对于圆锥曲 线 的 “触 焦 ”问 题 ，文 已 较系统介绍其解题的基本对策 ，其不足之处是没有提及圆锥曲线的焦半径公式的角度形式 ，事实上在解决有关圆锥曲线中具有挑战性的 “触焦 ”问题时 ，运用这组公式往往能收到意想不到的效果例 （自编题 ）已知点为椭圆（）的一个动点 （不在长轴上 ），为其左 、右焦点 ，直线和椭圆相交于点，直线和椭圆相交于点，且 ， 求证 ：为
8、定值 （用，表示之 ）分析易见 ，当点确定时 ，整个图形也随之确定 ，的值也随之确定 ，的值 “照理 ”可用点的坐标（，）表示之 ，即可表示成关于的函数 ，若真的为定值 ，则这个函数必为常数函数但要把，表示成的函数是件很不容易的事 ，注意到题设的主条件是焦点分焦点弦所得的比为（），所以可以利用焦半径公式解之图 证明不妨设点在轴 上 方 ， 如 图， 在中 ，设， ， 令 ， ， ，则，由正弦定理可知 ：（），所以（），化简可得，由椭圆的焦半径公式可得 ， ， ， ，所以 ， ， ，（）（）（）（）（）（）（）数学通讯 年第 期 （上半月 ）辅教导学 （），所以 （定值 ）评注本题若将直线方程代
9、入曲线方程来解决 ，其运算量可想而知 ，很难到达理想的彼岸上述解法的可取之处是选择焦点三角形的内角，为目标函数的变量 ，即先把表示成关于，的函数 ，再利用和的关系式化简得到定值事实上 ，对于双曲线也有类似的性质 ，大家不妨试一试参考文献 ：吴文尧圆锥曲线 “触焦 ”问题解题对策数学通讯 ，（，）（收稿日期 ：）解题研究要注意学生的可受性冯晓玲（山东省莱州市实验中学 ，）读完张乃贵老师发表在数学通讯年第期上半月 （学生 ）页的文章 一个最值问题的探究 （以下简称文 ），受益匪浅张老师按照特殊化调整简解推广的思路示范了一个最值问题的探究思路 ，但是 ，令笔者感到忧虑的是 ：这样的探究方式学生能接受
10、吗 ？为叙述方便 ，重述文 的问题和问题如下问题 已知二次函数（）（）对 于 任 意 实 数都 有（），求的最小值问题 已知二次函数（）（）对 于 任 意 实 数都 有（），求的最小值一 、几个疑问文 为了能够探寻到问题而精心设计的问题这个台阶究竟能够给学生带来多少启发 ？；这两步变换对学生的数学素养要求较高 ，学生能够想到吗 ？文 是利用已经求出的的最小值为而得到了简洁解法 ，也就是说 ，如果学生求不出的最小值也就不能甚至很难得到简洁解法 ？利用简洁解法我们得到了问题的推广 ，同样的问题是 ，学生得不到简洁解法就不能甚至很难得到 推 广 吧 ？ 学 生 怎 么 能 想 到 由 槡推广到 槡？ 最后推广的是分母中的系数 ，分母中能不能得到推广呢 ？对学生来说 ，这些疑问都决定了问题探究的可行性 ，即学生能不能接受 ，能不能学会 ？辅教导学 数学通讯 年第 期 （上半月 ）
