1、几 何 证 明射 影 就 是 正 投 影 ， 从 一 点 到 过 顶 点 垂 线 垂 线 的 垂 足 ， 叫 做 这 点 在 这 条 直 线 上的 正 投 影 。 一 条 线 段 的 两 个 端 点 在 一 条 直 线 上 的 正 投 影 之 间 的 线 段 ， 叫 做 这 条 线 段 在 这直 线 上 的 正 投 影 ， 即 射 影 定 理 。直 角 三 角 形 射 影 定 理直 角 三 角 形 射 影 定 理 ） ： 直 角 三 角 形 中 ， 斜 边 上 的 高 是 两 直 角 边 在 斜 边 上 射 影 的比 例 中 项 。 每 一 条 直 角 边 是 这 条 直 角 边 在 斜 边
2、上 的 射 影 和 斜 边 的 比 例 中 项 。公 式 如 图 ， Rt ABC 中 ， BAC=90， AD 是 斜 边 BC 上 的 高 ， 则 有 射 影 定 理如 下 ：（ 1） （ AD） =BDDC，2（ 2） （ AB） =BDBC ，（ 3） （ AC） =CDBC 。证 明 ： 在 BAD 与 ACD 中 ， B+ C=90， DAC+ C=90， B= DAC， 又 BDA= ADC=90， BAD ACD 相 似 ， AD/BD CD/AD， 即 （AD） 2=BDDC。 其 余 类 似 可 证 。注 ： 由 上 述 射 影 定 理 还 可 以 证 明 勾 股 定 理
3、。 由 公 式 （ 2） +（ 3） 得 ：（ AB） +（ AC） =BDBC+CDBC =（ BD+CD)BC=（ BC）2 2即 （ AB） +（ AC） =（ BC） 。22任 意 三 角 形 射 影 定 理任 意 三 角 形 射 影 定 理 又 称 “第 一 余 弦 定 理 ”：设 ABC 的 三 边 是 a、 b、 c， 它 们 所 对 的 角 分 别 是 A、 B、 C， 则 有a bcosC ccosB，b ccosA acosC，c acosB bcosA。注 ： 以 “a bcosC ccosB”为 例 ， b、 c 在 a 上 的 射 影 分 别 为 bcosC、 cco
4、sB， 故 名 射 影 定 理 。证 明 1： 设 点 A 在 直 线 BC 上 的 射 影 为 点 D， 则 AB、 AC 在 直 线 BC 上 的 射 影 分别 为 BD、 CD， 且BD=ccosB， CD=bcosC， a=BD+CD=bcosC ccosB. 同 理 可 证 其余 。1.圆周角定理:一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.2.圆周角定理的推论：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等.弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹的弧的度数的一半.2弦切角定理推论：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角.切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径进一步指
5、出：由于过已知点有且只有一条直线与已知直线垂直，所以经过圆心垂直于切线的直线一定过切点；反过来，过切点垂直于切线的直线一定经过圆心，因此可以得到两个推论：推论 1 经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点推论 2 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心引导学生分析性质定理及两个推论的条件和结论间的关系，总结出如下结论：如果一条直线具备下列三个条件中的任意两个，就可推出第三个(1)垂直于切线； (2)过切点； (3)过圆心相 交 弦 定 理 ： 圆 内 的 两 条 相 交 弦 ， 被 交 点 分 成 的 两 条 线段 长 的 积 相 等几 何 语 言 ：若 弦 AB、 CD 交 于 点 P则 PAPB
6、=PCPD（ 相 交 弦 定 理 ）推 论 ： 如 果 弦 与 直 径 垂 直 相 交 ， 那 么 弦 的 一 半 是 它 分 直 径 所 成 的 两 条 线 段 的 比 例 中项几 何 语 言 ：若 AB 是 直 径 ， CD 垂 直 AB 于 点 P，则 PC =PAPB（ 相 交 弦 定 理 推 论 ）2割线定理：割线定理：从圆外一点引圆的两条割线则有这点到割线与圆交点的两条线段的积相等.要证 PT =PAPB， 可以证明 ，为此可证以 PAPT 为边的三角形与以2PT，BP 为边的三角形相似，于是考虑作辅助线 TP，PB。容易证明PTA=B 又P=P，因此BPTTPA，于是问题可证：直
7、线 ABP 和 CDT 是自点 P 引的O 的两条割线，则 PAPB=PCPD 证明:连接 AD、BC A 和C 都对弧 BD 由圆周角定理，得 A=C 又APD=CPB ADPCBP AP:CP=DP:BP, 也就是 APBP=CPDP切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角圆内接四边形的判断定理定理 1：圆内接四边形的对角互补；定理 2：圆内接四边形的外角等于它的内角的对角。圆幂定理圆 幂 的 定 义 :一 点 P 对 半 径 R 的 圆 O 的 幂 定 义 如 下 ： 2PR所 以 圆 内 的 点 的 幂 为 负 数 ， 圆 外 的 点
8、 的 幂 为 正 数 ， 圆 上 的 点 的 幂 为 零 。圆 幂 定 理 是 相 交 弦 定 理 、 切 割 线 定 理 及 割 线 定 理 (切 割 线 定 理 推 论 )以 及 他 们 推 论的 统 称 。（ 1） 相 交 弦 定 理 ： 圆 内 的 两 条 相 交 弦 ， 被 交 点 分 成 的 两 条 线 段 长 的 积 相 等 。PDCBA如 图 ， AB、 CD 为 圆 O 的 两 条 任 意 弦 。 相 交 于 点 P， 连 接 AD、 BC， 则 D= B， A= C。 所 以 APD BPC。 所 以P（ 2） 切 割 线 定 理 ： 从 圆 外 一 点 引 圆 的 切 线
9、 和 割 线 ， 切 线 长 是 这 点 到 割 线 与 圆 焦 点的 两 条 线 段 长 的 比 例 中 项 。TPBA如 图 ， PT 为 圆 切 线 ， PAB 为 割 线 。 连 接 TA， TB， 则 PTA= B（ 弦 切 角 等 于 同 弧圆 周 角 ） 所 以 PTA PBT， 所 以2B（ 3） 割 线 定 理 ： 从 圆 外 一 点 P 引 两 条 割 线 与 圆 分 别 交 于 A.B.C.D 则 有 PAPB=PCPD。PDCBA这 个 证 明 就 比 较 简 单 了 。 可 以 过 P 做 圆 的 切 线 ， 也 可 以 连 接 CB 和 AD。 证 相 似 。存 在
10、 ： PABCD进 一 步 升 华 （ 推 论 ） ：过 任 意 在 圆 O 外 的 一 点 P 引 一 条 直 线 L1 与 一 条 过 圆 心 的 直 线 L2， L1 与 圆 交 于A、 B（ 可 重 合 ， 即 切 线 ） ， L2 与 圆 交 于 C、 D。 则 PAPB=PCPD。 若 圆 半 径 为 r，则（ 一 定 要 加 绝 对 值 ， 原 因 见 下 ）22()()|PCDRRO为 定 值 。 这 个 值 称 为 点 P 到 圆 O 的 幂 。 （ 事 实 上 所 有 的 过 P 点 与 圆 相 交 的 直 线 都 满 足这 个 值 ）若 点 P 在 圆 内 ， 类 似 可 得 定 值 为 22|R故 平 面 上 任 意 一 点 对 于 圆 的 幂 为 这 个 点 到 圆 心 的 距 离 与 圆 的 半 径 的 平 方 差 的 绝对 值 。 （ 这 就 是 “圆 幂 ”的 由 来 ）
