1、两点边值问题的不同迭代法比较及 matlab 实现问题：考虑两点边值问题：.1)(,0(,2yadx容易知道它的精确解为： axey)1(/为了将微分方程离散，把0,1区间 n 等分，令 h=1/n， ，得到差分方1,.2,nihi程，从而得到迭代方程组的系数矩阵 A。211)2()( ahyhyhiii 对 =1，a=1/2,n=100,分别用 jacobi，G-S，超松弛迭代法分别求线性方程组的解，要求 4 位有效数字，然后比较与精确解的误差。对 =0.1， =0.01， =0.001，考虑同样问题。思想：利用书上的迭代公式即可。注意问题：迭代矩阵是 n-1 阶的，不是 n 阶；等号右端向
2、量 b 的最后一项，不是 ah2，而是 ah2-eps-h精确解： axeay)1(/带入 a=1/2, =1代码： clear x=linspace(0,1);truy=(1-0.5)/(1-exp(-1/1)*(1-exp(-x./1)+x.*0.5;figure;plot(x,truy,g,LineWidth,1.5);hold on;Grid图：三种方法的实现Jacobi 法：代码见附录Eps=1结果：迭代次数 k：22273结果与精确解的比较图（绿色粗线是精确解，黑色细线是迭代结果）Eps=0.1结果：迭代次数 k：8753结果与精确解的比较图（绿色粗线是精确解，黑色细线是迭代结果）
3、Eps=0.01结果：迭代次数 k：661结果与精确解的比较图（绿色粗线是精确解，黑色细线是迭代结果）G-S 迭代法：代码见附录Eps=1结果：迭代次数 k：11125结果与精确解的比较图（绿色粗线是精确解，黑色细线是迭代结果）Eps=0.1结果：迭代次数 k：4394结果与精确解的比较图（绿色粗线是精确解，黑色细线是迭代结果）Eps=0.01结果：迭代次数 k：379结果与精确解的比较图（绿色粗线是精确解，黑色细线是迭代结果）超松弛法：代码见附录Eps=1 w=1.56结果：迭代次数 k：3503结果与精确解的比较图（绿色粗线是精确解，黑色细线是迭代结果）Eps=0.1 w=1.56结果：迭
4、代次数 k：1369结果与精确解的比较图（绿色粗线是精确解，黑色细线是迭代结果）Eps=0.01 w=1.56结果：迭代次数 k：131结果与精确解的比较图（绿色粗线是精确解，黑色细线是迭代结果）结果：Jacobi、 G-S、超松弛法，三者都能够取得对精确解的良好逼近，但是，在相同的精度条件下，三者的收敛速度是不一样的，jacobijL(i,j)=-A(i,j);endendendU=zeros(n-1);for i=1:n-1for j=1:n-1if ijL(i,j)=-A(i,j);endendendU=zeros(n-1);for i=1:n-1for j=1:n-1if ijL(i,
5、j)=-A(i,j);endendendU=zeros(n-1);for i=1:n-1for j=1:n-1if ijU(i,j)=-A(i,j);endendendB=D(L+U);g=Db;Lw=(D-w*L)-1)*(1-w)*D+w*U);while 1z=Lw*y+w*(D-w*L)-1*b;if norm(z-y,inf)deltabreak;endy=z;k=k+1;endx=linspace(0,1);truy=(1-a)/(1-exp(-1/eps)*(1-exp(-x./eps)+x.*a;figure;plot(100*x,truy,g,LineWidth,5);hold on;gridhold on;plot(y,b)
