1、常见递推数列通项公式的求法典型例题及习题【典型例题】例 1 bkan1型。（1） 时， 1nna是等差数列， )(1ban（2） k时，设 )(mk mkn1比较系数： bm b 1kan是等比数列，公比为 k，首项为 1kba 11)(nnkb )(1knn例 2 1fkan型。（1） 时， )(1nf，若 )(f可求和，则可用累加消项的方法。例：已知 na满足 1， )1(1an求 na的通项公式。解： )(1nn an1112nan232n123a1a对这（ n）个式子求和得： nn1 na12（2） 1k时，当 banf)(则可设 )()1(1 BAnakBnAa BkAan) bBk
2、)1(解得： 1a， 2)1(kb na是以 BAa1为首项， k为公比的等比数列 1)(nA knn11)(将 A、B 代入即可（3） nqf)（ 0，1）等式两边同时除以 1n得 qakn1令 nqaC则Cqnn1 n可归为 bkan1型例 3 nnf)(1型。（1）若 是常数时，可归为等比数列。（2）若 )(f可求积，可用累积约项的方法化简求通项。例：已知： 31a， 12nna（ 2）求数列 na的通项。解： 12357312321 nn 1an例 4 1nnmk型。考虑函数倒数关系有)1(1makn mkann1令 naC则 n可归为 bn1型。练习：1. 已知 n满足 31， 21
3、nna求通项公式。解：设 )(21mann mnn1 1 是以 4 为首项， 2 为公比为等比数列 1nn 1n2. 已知 a的首项 1， an1（ *N）求通项公式。解： )(21nna)3(32n12annn 21)( 23. 已知 na中， nna21且 1求数列通项公式。解： )1(2342312321 nnnaann )1(21na )1(4na4. 数列 n中， nn12， 21，求 na的通项。解： nna112 11nna设 nb 112nnb nnb21 nn2111nnb232nn3231b21nnb21231 nn21)(1 nnn 1na5. 已知： 1a， 2时，21
4、n，求 na的通项公式。解：设)1(1BABAnnBAnan2121 121解得： 64 3641a 64na是以 3 为首项， 2为公比的等比数列 1)(nn 6431nan【模拟试题】1. 已知 na中， 31，nna21，求 。2. 已知 中， ， （ ）求 na。3. 已知 n中， 1，nn1（ 2）求 。4. 已知 na中， 41， 14nna（ ）求 na。5. 已知 n中， 1，其前 项和 nS与 满足 12nS（ 2）（1）求证： nS为等差数列 （2）求 na的通项公式6. 已知在正整数数列 na中，前 项和 nS满足2)(81n（1）求证： n是等差数列 （2）若 nb30
5、a，求 nb的前 n 项和的最小值【试题答案】1. 解：由nna21，得12na 121nn2a 21)(nn 121nnaa2. 解：由 231na得： )1(3nn 1n 即 n是等比数列13)(a 132)1(nna3. 解：由nn21得 1n na成等差数列，)(an 12nna4. 解： nnnaa)2(421 2)2(1 nnn aa（ 1） 11nn（ ）设nb即)(21bn nb是等差数列 21)(21nan 2a5. 解：（1） 121nnS 11nnS1nS n是首项为 1，公差为 2 的等差数列 2n（2） 1nS )2(38412)(2nnan又 1a )2(3842nan6. 解：（1）21)(8S 1a2n时，2121 )(8)(nnnna整理得： 04)( n是正整数数列 1na 41na a是首项为 2，公差为 4 的等差数列 2（2）310)4(1nnbn n为等差数列 Sn02 当 15n时， nS的最小值为 2513052
