1、第 1 页 共 10 页2019 年普通高等学校招生全国统一考试 1数 学(理科)一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1设集合 ， ，则下列运算正确的是（ ）|13Ax2|log1BxA B C D BAABABR2如图所示是一个长方形，其内部阴影部分为两个半圆，在此圆形中任取一点，则此点取自阴影部分的概率为（ ）A B C D 383163183163已知条件 ： ，条件 ： ，则 是 成立的（ ）p20xxq0xpqA充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 4已知数列 是公比为 的等比数列，且 ，
2、 ， 成等差数列，则公比 的值为（ ）naq1a32A B C 或 D 或 122125若 的展开式中的二项式系数和为 ， 的系数为 ，则 为（ ）6()xyS24xyPSA B C D 15410406如果一个几何体的三视图如图所示（单位长度： ） ，在此几何体的表面积是（ ）cmA B2(04)cm2cC D 47已知函数 是定义在 内的奇函数，且 是偶函数，()fxR(1)fx若 ，则 为（ ）(12f017A B C D 228如图是一个算法的流程图，则输出 的值是（ ）SA15 B 31 C63 D127 第 2 页 共 10 页9设函数 对任意的 ，都有 ，若函数()2cos()f
3、xxxR()()3fxf，则 的值是（ ）()3sin2g ()gA B C 或 D 或 2041310若 ， ，则下列不等式成立的是（ ）01cabA B C D abcabcloglabc11抛物线 的焦点为 ，过 作斜率为 的直线 与抛物线在 轴右侧的部分相交于点 ，24xyF3lyA过点 作抛物线准线的垂线，垂足为 ，则 的面积是（ ）HAFA B C D 343812已知递增数列 对任意 均满足 ， ，记 （ ） ，则数列na*N*nana123nba*N的前 项和等于（ ）nbA B C D 212n132n12n二、填空题：本大题共4小题，每小题5分13已知向量 ， ， ，则 (
4、,4)(,)D(,)Amn14设实数 满足 则 的取值范围是 ,xy20,x23xy15已知 是双曲线 ： 的一个焦点， 为坐标原点， 是双曲线 上一点，FC21(0,)xabOMC若 是等边三角形，则双曲线 的离心率等于 MO16如图，在三棱锥 中， ， ，平面 平面 ，ABD2CABDBADB为 的中点， ， 分别为线段 ， 上的动点（不含端点） ，且 ，则三棱锥BDPQOPCQ体积的最大值为 PC第 3 页 共 10 页三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17已知在 中， 所对的边分别为 ，且有 ABC, ,abcosc2cos0BbAC（1）求角 的大小；（2）当 时，求
5、 的最大值cABCS18如图，底面 是边长为 3 的正方形， 平面 ， ， ， 与平DDEABCFDE3AFBE面 所成角为 ABC60（1）求证： 平面 ；BE（2）求二面角 的余弦值F19为了解学生对“两个一百年”奋斗目标、实现中华民族伟大复兴中国梦的“关注度” （单位：天） ，某中学团委组织学生在十字路口采用随机抽样的方法抽取了 80 名青年学生（其中男女人数各占一半）进行问卷调查，并进行了统计，按男女分为两组，再将每组青年学生的月“关注度”分为 6 组： ，0,5)， ， ， ， ，得到如图所示的频率分布直方图5,10),)15,20),5)2,30（1）求 的值；a（2）现从“关注度
6、”在 的男生与女生中选取 3 人，设这 3 人来自男生的人数为 ，求 的分布25,30 列与期望；（3）在抽取的 80 名青年学生中，从月“关注度”不少于 25 天的人中随机抽取 2 人，求至少抽取到 1 名女生的概率第 4 页 共 10 页20已知椭圆 的焦点分别为 ， ，离心率 ，过左焦点的直21(0)xyab1(,0)Fc2(,)12e线与椭圆交于 两点， ，且 ,MN8|322sinsinsinMNNMF（1）求椭圆的标准方程；（2）过点 的直线 与椭圆有两个不同的交点 ，且点 在点 之间，试求 和(4,0)Dl ,AB,DBAOD面积之比的取值范围（其中 为坐标原点） BOO21已知
7、函数 ()ln()afxR（1）判断函数 在区间 上零点的个数；2,e（2）当 时，若在 （ ）上存在一点 ，使得 成立，求实数a1,.7180x001()mfx的取值范围m请考生在第 22、23 题中任选一题做答如果多做，则按所做的第一题计分做答时请写清题号22 （本小题满分 10 分） 选修 44：坐标系与参数方程在平面直角坐标系 中，已知曲线 ： （ 为参数） ，以原点 为极点， 轴的正半xOyC3cos,inxyOx轴为极轴建立极坐标系，直线 的极坐标方程为 l2s()14（1）求曲线 的普通方程和直线 的直角坐标方程；C（2）过点 ，且与直线 平行的直线 交曲线 于 两点，求点 到
8、两点的距离之积(1,0)Ml1lC,ABM,AB23 （本小题满分 10 分） 选修 45：不等式选讲已知函数 ()2fxx（1）在给出的平面直角坐标系中作出函数 的图象，并写出不等式 的解集（不要求写出解()fx()3fx题过程） ；（2）若不等式 对任意的 恒成立，1()(0,)fxmnR求 的最小值mn第 5 页 共 10 页2019 年普通高等学校招生全国统一考试 1数 学(理科) 答案一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12答案 B B A C B A D C D D C D1 【解析】 ， |0x2 【解析】 2(
9、)3416P3 【解析】 ， ， 20xx201x12x ， ，故选 A104 【解析】 ， ， 或 312a21q210q1q25 【解析】二项式 的展开通项 ， 令 ，解得 6()xy6()rrrTCxy64r展开式中 的系数为 24446(2)15P4625PS6 【解析】该几何体为一个正方体和一个四棱锥组成，此几何体的表面积是 21540427 【解析】 ， ， ，函数 的周期为 ()(fxf)(1)fxf(4)(fxf()fx4 (20112f8 【解析】由程序框图可知： 9 【解析】 ， 关于 对称 ，()()3fxf()fx3()2cos()23f ， cos(1sin0S753
10、6n24第 6 页 共 10 页 的值是 或 ()3sin()cos()2cos()233g()3g2410 【解析】 ， 1lgllglabccablgl0ccablolgabc11 【解析】直线 的方程为 ，由 ，且 ，解得 ，l3yx2314yx23xy ， 314AH12AHFS12 【解析】 ， ， 数列 单调递增， ， *naN3na1ana1a1a若 ，则 ，矛盾；若 ，则 ，成立；11213若 ，则 ，矛盾；综上， ，则 311a 12当 ， ， 3ann 3na12212333nnnbab 13n数列 是以 为首项， 为公比的等比数列， 的前 项和等b12 n于 3(1)()
11、nn二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分13 14 15 160,253124813 【解析】 ， ， (,)(,)mnADB,3mn0n14 【解析】由约束条件作出可行域如图，从图可知 由 ，解得 (2,0)20yx(2,6)，313xyxx的几何意义为可行域内的动点与定点 连线的斜率1(,1) , ， 的取值范围是 ,15PAPBk,5yx23xy4,2515 【解析】 是等边三角形， 代入 ，MOF(,)cM21xyab得 ，解得 4280e31e第 7 页 共 10 页16 【解析】易证 平面 ， 设 AOBCD21AO(01)APx，1sin24QCOSx 23PQCOVS
12、21()48x三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17 【解析】 （1）由 及正弦定理，cos2cos0aBbA得 ，sinciinAC即 ，即 ()2sc0ssincC在 中， ， ， ， ，得 BC0i0A2os4（2）由余弦定理，得 ，即 ，222coscabab2(2)abab故 ，当且仅当 时，取等号4()ab4 ，即 的最大值为 12sin2()12ABCSABCS1218 （1）证明： 平面 ， 平面 ， ，DEABCDE又底面 是正方形， ， 平面 D（2） ， ， 两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系 ，A xyz 与平面 所成角为 ，即 ， ，BE6060B
13、E3DB由 ，可知 ， ， 3D32DAF则 ， ， ， ， ，(,0)A(,)F(,)(3,)(,)C ， 6B06E设平面 的一个法向量为 ，(,)xyzn则 即 令 ，则 0,FEn3260,yxz6(4,26)n 平面 ， 为平面 的一个法向量， ，ACBDCABDE(3,0)CA第 8 页 共 10 页 |613cos,32CAn二面角 为锐角，二面角 的余弦值为 FBEDFBED1319 【解析】 （1） (0.1.038.2)5055a（2）从频率分布直方图可知在 内的男生人数为 人，2, .4女生人数为 人，男女生共 6 人，因此 的取值可以为 1,2,3，.54故 ， ， 1
14、2436()CP21436()5CP304261()5CP 的分布列为1 2 3515数学期望 36()122E（3）记“在抽取的 80 名青年学生中，从月“关注度”不少于 25 天的人中随机抽取 2 人，至少抽到 1 名女生”为事件 ，A在抽取的女生中，月“关注度”不少于 25 天即在 内的人数为 2，5,30在抽取的男生中，月“关注度”不少于 25 天即在 内的人数为 4，2则在抽取的 80 名学生中，共有 6 人月“关注度”不少于 25 天，从中随机抽取 2 人，所有可能的结果有 种，而事件 包含的结果有 种， 2615CA1249C93()15PA20 【解析】 （1）在 中，由正弦定
15、理，得 ，MFN|MNF由椭圆定义，得 ， ，故 22|4a38a又 ， ， ，椭圆的标准方程为 2ec3bac24xy（2）依题意，知直线 的斜率存在且不为 0，l故设直线 的方程为 ，l4xmy与椭圆方程 联立，2143消去 整理，得 ，x2()360由 ，解得 02设 ， ，则 可知 ， 同号，1(,)Axy2(,)B124,36,my1y2令 ，则 ，且 AODBS12|2y0第 9 页 共 10 页将 代入韦达定理，得12y24(1),36,my消去 ，得 ，即 222)634m224(1)03由 ，得 ，即 ，4m2(102 ，且 ，解得 或 121又 ， ，13故 和 面积之比的
16、取值范围为 AODB(,)321 【解析】 （1）令 ， ，得 ()ln0afx2xelnax记 ， ，则 ，()lnHx2,e()1lnH由此可知 在区间 上单调递减，在区间 上单调递增，11(,)且 ， 220e()0e又 ，故当 时， 在区间 上无零点 ()afx2,)当 或 时， 在区间 上恰有一个零点1ae2()f2,)当 时， 在区间 上有两个零点2xe（2）在区间 （ ）上存在一点 ，使得 成立等价于函数1,.7180x001()mfx在区间 上的最小值小于零()()lnmhxmfxx,e22 2(1)1 x当 ，即 时， 在区间 上单调递减，e1()hx,e 的最小值为 ，()
17、hx()由 ，可得 ，0m21 ， 21e21e当 ，即 时， 在区间 上单调递增，()hx,e 的最小值为 ，()hx()由 ，可得 10m2当 ，即 时，可得 的最小值为 ，e1e()hx(1)hm ，0ln()第 10 页 共 10 页 ， ，0ln(1)m(1)2ln(1)2hmm此时 不成立h综上所述，实数 的取值范围是 2(,)(,)1e22 【解析】 （1）由题知，曲线 化为普通方程为 C23xy由 ，得 ，2cos()4cosin直线 的直角坐标方程为 l 20xy（2）由题知，直线 的参数方程为 （ 为参数） ，1l1,2ty代入曲线 ： 中，化简，得 ，C23xy20t设 ， 两点所对应的参数分别为 ， ，则 ，AB1t212t 12|Mt23 【解析】 （1）作图如下：从图中可知，不等式 的解集为 ()3fx(,02,)（2）由（1）知， ，min3)f ， ，mn2即 ，3()2当且仅当 时取等号， ， ， ，0n83n 的最小值为 m
