1、矩阵证明题简单应用题能力：1试证：设 A，B，AB 均为 n 阶对称矩阵，则 AB =BA2试证：设 是 n 阶矩阵，若 = 0，则 3A21)(AII3已知矩阵 ，且 ，试证 是可逆矩阵，并求 .)(21I2B1B4. 设 阶矩阵 满足 ， ，证明 是对称矩阵.TI5 设 A，B 均为 n 阶对称矩阵，则 ABBA 也是对称矩阵6设 Ak=0,其中 A 为方阵,k 为大于 1 的某个正整数,证明(E-A )-1=E+A+A2+Ak-1.7若 A 为非退化矩阵,并且 AB=BA,试证： A-1B=BA-1。8设 A B 为 n 阶矩阵，且 A 为对称矩阵，证明 BTAB 也是对称矩阵9设 A
2、B 都是 n 阶对称矩阵，证明 AB 是对称矩阵的充分必要条件是 ABBA10n 阶方阵 A 满足 A2-3A-2E=0，其中 A 给定，证明 A 可逆.11设 A、B 均为 n 阶方阵，且 A2=A,B2=B，证明(A+B) 2=A+B 的充分必要条件是AB=BA=0.12若 A 为非退化矩阵,并且 AB=BA,试证： A-1B=BA-1。13设 A 是 n 阶方阵，且（A+E） 2=0，证明 A 可逆.14设矩阵 A 可逆，证明（A *） - 1=|A- 1|A.参考答案1试证：设 A，B，AB 均为 n 阶对称矩阵，则 AB =BA1证 因为 AT = A，B T = B，(AB) T
3、= AB 得 3 分所以 AB = (AB)T = BT AT = BA 得 5 分2试证：设 是 n 阶矩阵，若 = 0，则 3 21)(AII2证 因为 得 2 分)(2I= = = 3AAI所以 得 5 分21)(II3已知矩阵 ，且 ，试证 是可逆矩阵，并求 .)(BB1B3. 证 因为 ，且 ，即)2(4122 IIAA2， 得 3 分)(I得 ，所以 是可逆矩阵，且 . 得 5 分IB2 B14. 设 阶矩阵 满足 ， ，证明 是对称矩阵.nAI2TAI4. 证 因为= = 得 4 分ITI所以 是对称矩阵. 得 5 分5设 A，B 均为 n 阶对称矩阵，则 ABBA 也是对称矩阵
4、5证 因为 ，且BTT，得 2 分T)()(ATTAB得 5 分B所以 ABBA 是对称矩阵6设 Ak=0,其中 A 为方阵,k 为大于 1 的某个正整数,证明(E-A )-1=E+A+A2+Ak-1.6证：因为 AkO 所以 EAkE 得 2 分又因为 EAk(EA)(EAA2 Ak1) 即 (EA)(EAA2 Ak1)E 所以 (EA)可逆 且 (EA)1EAA2 Ak1 得 5 分7若 A 为非退化矩阵,并且 AB=BA,试证： A-1B=BA-1。7证：因为 A 为非退化矩阵,并且 AB=BA，所以两边右乘 得： ， 得 3 分1B1再两边左乘 得： 得 5 分8设 A B 为 n 阶
5、矩阵，且 A 为对称矩阵，证明 BTAB 也是对称矩阵8证：因为 ATA 所以(BTAB)TBT(BTA)TBTATBBTAB 得 4 分从而 BTAB 是对称矩阵 得 5 分9设 A B 都是 n 阶对称矩阵，证明 AB 是对称矩阵的充分必要条件是 ABBA9证：充分性 因为 ATA BTB 且 ABBA 所以(AB)T(BA)TATBTAB 即 AB 是对称矩阵 得 3 分必要性 因为 ATA BTB 且(AB) TAB 所以AB(AB)TBTATBA 得 5 分10n 阶方阵 A 满足 A2-3A-2E=0，其中 A 给定，证明 A 可逆10证：由 A2-3A-2E=0 可得：A(A-3
6、E)=2E， 得 3 分即E)3(所以 A 可逆，且得 5 分2)3(111设 A、B 均为 n 阶方阵，且 A2=A,B2=B，证明(A+B) 2=A+B 的充分必要条件是AB=BA=0.12若 A 为非退化矩阵,并且 AB=BA,试证： A-1B=BA-1。13设 A 是 n 阶方阵，且（A+E） 2=0，证明 A 可逆.14设矩阵 A 可逆，证明（A *） - 1=|A- 1|A.综合应用题能力：1设 阶方阵 ,其中 是 维列向量, 证明：nTEA0n（1 ） 的充要条件为 ； （2）当 时，矩阵 不可逆。2 11TA2 设 阶方阵 满足 ，证明：2(1) 矩阵 可逆； (2) 矩阵 与
7、 不同时可逆。AEA3如果 ，证明 A2=A 的充要条件是 B2=E。)(1EB4设矩阵 A 可逆 证明其伴随阵 A*也可逆 且(A*) 1(A1)*5设矩阵 A、B 及 AB 都可逆 证明 A1B1 也可逆 并求其逆阵6若方阵 A 满足 ，证明 可逆，并求出 的逆矩阵.O42参考答案1设 阶方阵 ,其中 是 维列向量, 证明：nTE0n（1 ） 的充要条件为 ； （2）当 时，矩阵 不可逆。A2 11TA1证：（1 ） ， 得 2 分TT)(2故 的充要条件为 ； 得 4 分（2 ） 由（1 ）得 ，若 可逆， ，A2 A121)(则 ，矛盾。 得 8 分EA2 设 阶方阵 满足 ，证明：n
8、02(1) 矩阵 可逆； (2) 矩阵 与 不同时可逆。E22证：（1 ） ， ； 得 4 分)( )(1A（2） ， 与 至少有一个为零。0|2|2 EAEA|2|EA得 8 分3如果 ，证明 A2=A 的充要条件是 B2=E。)(21B3证：（必要性） ，)(1,，化简即得：B 2=E。 得 4 分42)(4)(212E（充分性） )(1,2AB得 8 分AA424)(41224设矩阵 A 可逆 证明其伴随阵 A*也可逆 且(A*) 1(A1)*4证：由 A 可逆可知： ，即 也可逆。0|,0|,0| *1 n*1,得 4 分EAAE|)()(,| 1*1*1* |/|/)(1A所以 得
9、8 分*1*)(5设矩阵 A、B 及 AB 都可逆 证明 A1B1 也可逆 并求其逆阵5证：因为A1(AB)B1B1A1A1B1 得 2 分而 A1(AB)B1 是三个可逆矩阵的乘积 所以 A1(AB)B1 可逆 即 A1B1 可逆得 6 分(A1B1)1A1(AB)B11B(AB)1A 得 8 分6若方阵 A 满足 ，证明 可逆，并求出 的逆矩阵.OE42EE6证：由 可得 ，得 2 分2 32即 得 6 分)3(所以 可逆，且 得 8 分EA)(1EA发展应用题能力：1设 为 矩阵，证明：存在 非零矩阵 ，使 的充分必要条件为秩AnmsnBOA。r)(2试证明： )(rABOr3设 A 为
10、 n 阶满秩方阵(n 2),A*为 A 的伴随矩阵,求证( A*)*=|A| n2 A.4设 n 阶矩阵 A 的伴随矩阵为 A* 证明 (1)若|A |0 则|A*|0 (2)|A*|A|n15设 A 为 mn 矩阵，B 为 n 阶矩阵，且 r(A)=n，试证：（1）若 AB=O，则 B=O；（2）若 AB=A 则 B=E。6设 A、B 为 mn 矩阵，则 r(A+B)r(A)+r(B)。7如果 A 是 1)(,1)(,( rr试 证且阶 矩 阵参考答案1设 为 矩阵，证明：存在 非零矩阵 ，使 的充分必要条件为秩nsnBOA。r)(1证： 充分性： ， 存在一个基础解系 ，nAr)(0x )
11、(;21, Arnsj其 中， 令 ，易知 就是 非零矩阵。 得 5 分），（ sB21Bsn必要性：设 ，因 是 非零矩阵，故至少有一个 是非零向量。），（ s21 j，则 都是线性方程组 的解。 OAj，,0Ax有非零解，即 。 得 10 分0xnAr)(2试证明： )(Br2证：设 A 的列向量组为 ，其极大无关组为 ，即n,.21 isi,.21sAr)(设 B 的列向量组为 ，其极大无关组为 ，即mjtjtB将 扩充为 的列向量 ，则 也是isi,.21OAisi,.21 isi,.21的极大无关组；将 扩充为 的列向量 ，则OAjtj,.21BOjtj,.21也是 的极大无关组；易
12、知 线性无关。 jtj,.21Bisi,.21 jtj,.21得 4 分设 列向量组的极大无关组为 ，即OAr,.21 rBOA则任意 必可由向量组 线性表示，而任意的 、kisi,.21 jtj,.21 i都是 的列向量，均可由 线性表示；故向量组jBr,.21 isi,.21与向量组 等价。得 8 分jtj,.21 r,.21所以 r=s+t，即 。 得 10 分)(BArOr3设 A 为 n 阶满秩方阵(n 2),A*为 A 的伴随矩阵,求证( A*)*=|A| n2 A.3证： 得 4 分EE|),|* 两边左乘 A 得 ，即|)(* |)(|*得 8 分又因为 A 为 n 阶满秩方阵
13、(n2) ，即 ， 。0|A1*|nA所以(A *)*=|A| n2 A. 得 10 分4设 n 阶矩阵 A 的伴随矩阵为 A* 证明(1)若|A |0 则|A*|0 (2)|A*|A|n14证：(1) 用反证法证明 假设| A*|0 则有 A*(A*)1E 由此得AA A*(A*)1|A|E(A*)1O 所以 A*O 这与| A*|0 矛盾，故当| A|0 时 有| A*|0 得 5 分(2)由于 则 AA*|A|E 取行列式得到|1|A|A*|A|n 若|A|0 则|A*|A| n1 若|A|0 由(1) 知|A *|0 此时命题也成立 因此|A*|A |n1 得 10 分5设 A 为 m
14、n 矩阵，B 为 n 阶矩阵，且 r(A)=n，试证：（1）若 AB=O，则 B=O；（2）若 AB=A 则 B=E。5证：（1）设 B 的列向量组为： ，显然任意 都是齐次线性方程组 AX=0n,.21 j的解向量。因为 r(Amn)=n，所以 AX=0 只有零解，即所有 。故 B=O。 得 50j分（2）若 AB=A 则 AB-A=O，A(B-E)=O由（1）的结论可知(B-E)=O，即 B=E。 得 10 分6设 A、B 为 mn 矩阵，则 r(A+B)r(A)+r(B)。6证：设 A 的列向量组为 ，其极大无关组为 ，即n,.21 isi,.21sAr)(设 B 的列向量组为 ，其极大
15、无关组为 ，即jtjtB得 2 分设 A+B 列向量组为 ，其任意一个向量 可由n,.,21 k向量组 线性表示，即向量组isi,.21 jtj.2可由向量组 线性表示。 n isi,.21 jtj,.21得 8 分所以 r( )r( )s+tn,.,21 isi,.21 jtj,.21即 r(A+B)r(A)+r(B)。 得 10 分7如果 A 是 )(,)(,( ArArn试 证且阶 矩 阵7证： 得 2 分00|;1)( ijOr至 少 有 一 个且,OE| 的 解 向 量都 是的 列 向 量 OXnj ),.21(得 8 分(),.();)( 21* ArrAnr n得 10 分,1*
