1、1,振动理论及应用,返回首页,Theoretical Mechanics,天津大学,第20章 振动,20.1 单自由度系统的自由振动,20.2 计算固有频率的能量法,20.3 单自由度系统的衰减振动,20.4 单自由度系统的受迫振动,Theoretical Mechanics,第20章 振动,引 言,振动是一种运动形态，是指物体在平衡位置附近作往复运动。物理学知识的深化和扩展物理学中研究质点的振动；工程力学研究研究系统的振动，以及工程构件和工程结构的振动。,返回首页,4,神州二号,振动应用 航天工程,5,神州二号,振动应用 航空工程,6,振动应用 车辆工程,7,振动应用 土木工程,8,振动应用
2、 计算机工程,9,10,有用的一面：利用振动现象的特征设计制造机器和仪器仪表，例：振动筛选机、振动打桩机、振动给料机、仓壁振动器、钟表计时仪器、振子示波器等。不利的一面：产生噪音、影响机器的正常运转，影响其安全性和可靠性、使机床的加工精度、精密仪器的灵敏度下降、使机械设备的使用受命缩短，严重时引发机器的损坏引发事故 。,Theoretical Mechanics,振动问题的研究方法与分析其他动力学问题相类似：,选择合适的广义坐标；分析运动；分析受力；选择合适的动力学定理；建立运动微分方程；求解运动微分方程，利用初始条件确定积分常数。,返回首页,第20章 振动,引 言,Theoretical M
3、echanics,振动问题的研究方法与分析其他动力学问题不同的是：一般情形下，都选择平衡位置作为广义坐标的原点。,研究振动问题所用的动力学定理：,矢量动力学基础中的动量定理；动量矩定理；动能定理；达朗贝尔原理。分析动力学基础中的拉格朗日方程。,返回首页,第20章 振动,引 言,Theoretical Mechanics,所考察的系统既有惯性又有弹性。 运动微分方程中，既有等效质量，又有等效刚度。,振动问题的共同特点,返回首页,第20章 振动,引 言,Theoretical Mechanics,按激励特性划分：,振动问题的分类,自由振动没有外部激励，或者外部激励除去后，系统自身的振动。受迫振动系
4、统在作为时间函数的外部激励下发生的振动，这种外部激励不受系统运动的影响。自激振动系统由系统本身运动所诱发和控制的激励下发生的振动。参激振动激励源为系统本身含随时间变化的参数，这种激励所引起的振动。,返回首页,第20章 振动,引 言,Theoretical Mechanics,按系统特性或运动微分方程类型划分：,振动问题的分类,线性振动系统的运动微分方程为线性方程的振动。,非线性振动系统的刚度呈非线性特性时，将得到非线性运动微分方程，这种系统的振动称为非线性振动。,返回首页,第20章 振动,引 言,Theoretical Mechanics,按系统的自由度划分：,振动问题的分类,单自由度振动一个
5、自由度系统的振动。多自由度振动两个或两个以上自由度系统的 振动。连续系统振动连续弹性体的振动。这种系统 具有无穷多个自由度。,返回首页,第20章 振动,引 言,返回首页,Theoretical Mechanics,第20章 振动,20.1 单自由度系统的自由振动,Theoretical Mechanics,天津大学,20.1 单自由度系统的自由振动,关于单自由度系统振动的概念,典型的单自由度系统:弹簧-质量系统,梁上固定一台电动机，当电机沿铅直方向振动时，可视为集中质量。如不计梁的质量，则相当于一根无重弹簧，系统简化成弹簧-质量系统,返回首页,Theoretical Mechanics,天津大
6、学,20.1.1 自由振动方程 20.1.2 振幅、初相位和频率 20.1.3 等效刚度系数 20.1.4 扭转振动,返回首页,20.1 单自由度系统的自由振动,Theoretical Mechanics,20.1 单自由度系统的自由振动,20.1.1 自由振动方程,当物块偏离平衡位置为x距离时，物块的运动微分方程为,其中,取物块的静平衡位置为坐标原点O，x轴顺弹簧变形方向铅直向下为正。当物块在静平衡位置时，由平衡条件，得到,无阻尼自由振动微分方程,固有圆频率,返回首页,Theoretical Mechanics,返回首页,20.1 单自由度系统的自由振动,20.1.1 自由振动方程,其通解为
7、：,其中C1和C2为积分常数，由物块运动的起始条件确定。设t=0时， 可解,Theoretical Mechanics,这种形式描述的物块振动，称为无阻尼自由振动，简称自由振动。,另一种形式,无阻尼的自由振动是以其静平衡位置为振动中心的简谐振动,返回首页,20.1 单自由度系统的自由振动,20.1.1 自由振动方程,Theoretical Mechanics,20.1.2 振幅、初相位和频率,系统振动的周期,系统振动的频率,系统振动的圆频率为,返回首页,20.1 单自由度系统的自由振动,Theoretical Mechanics,用弹簧静变形量dst表示固有圆频率的计算公式,物块静平衡位置时,
8、固有圆频率,返回首页,20.1.2 振幅、初相位和频率,20.1 单自由度系统的自由振动,Theoretical Mechanics,20.1.3 等效刚度系数,单自由度线性系统无阻尼自由振动微分方程,等效的概念,这一方程，可以等效为广义坐标的形式,返回首页,20.1 单自由度系统的自由振动,Theoretical Mechanics,等效的概念,返回首页,20.1.3 等效刚度系数,20.1 单自由度系统的自由振动,串联弹簧与并联弹簧的等效刚度,例 在图中，已知物块的质量为m，弹簧的弹簧刚度系数分别为k1、k2，分别求并联弹簧与串联弹簧直线振动系统的固有频率。,解：（1）并联情况。弹簧并联的
9、特征是：二弹簧变形相等。,振动过程中，物块始终作平行移动。处于平衡位置时，两根弹簧的静变形都是dst，而弹性力分别是,系统平衡方程是,Theoretical Mechanics,返回首页,20.1.3 等效刚度系数,20.1 单自由度系统的自由振动,Theoretical Mechanics,如果用一根弹簧刚度系数为k的弹簧来代替原来的两根弹簧，使该弹簧的静变形与原来两根弹簧所产生的静变形相等，则,k称为并联弹簧的等效刚度系数。,并联后的等效弹簧刚度系数是各并联弹簧刚度系数的算术和。,系统的固有频率,返回首页,20.1.3 等效刚度系数,20.1 单自由度系统的自由振动,Theoretical
10、 Mechanics,（2）串联情况。串联弹簧的特征是：二弹簧受力相等。,当物块在静平衡位置时，它的静位移dst等于每根弹簧的静变形之和，即 dst = d1st + d2st,由于每根弹簧所受的拉力都等于重力mg，故它们的静变形分别为,如果用一根弹簧刚度系数为 k 的弹簧来代替原来的两根弹簧，此弹簧的静变形等于,返回首页,20.1.3 等效刚度系数,20.1 单自由度系统的自由振动,Theoretical Mechanics,如果用一根弹簧刚度系数为k 的弹簧来代替原来的两根弹簧，此弹簧的静变形等于,k称为串联弹簧的等效刚度系数,串联后的弹簧刚度系数的倒数等于各串联弹簧刚度系数倒数的算术和,
11、返回首页,20.1.3 等效刚度系数,20.1 单自由度系统的自由振动,Theoretical Mechanics,组合弹簧的等效刚度,例 质量为m的物块悬挂如图所示。设杆AB的质量不计，两弹簧的弹簧刚度系数分别为k1和k2,又AC=a，AB=b，求物块的自由振动频率。,解：将各弹簧的刚度系数按静力等效的原则，折算到质量所在处。先将刚度系数k2换算至质量m所在处C的等效刚度系数k。,设在C处作用一力F，按静力平衡的关系，相当B处作用力 ，,返回首页,20.1.3 等效刚度系数,20.1 单自由度系统的自由振动,由此力使弹簧k2产生的变形，而此变形使C点发生的变形为,Theoretical Me
12、chanics,得到作用在C处而与k2弹簧等效的刚度系数,物块的自由振动频率为,将其与弹簧k1串联，可得整个系统的等效刚度系数,返回首页,20.1.3 等效刚度系数,20.1 单自由度系统的自由振动,Theoretical Mechanics,弹性梁的等效刚度,例 一个质量为m的物块从 h 的高处自由落下，与一根抗弯刚度为EI、长为的简支梁作塑性碰撞，不计梁的质量，求该系统自由振动的频率、振幅和最大挠度。,解：当梁的质量可以略去不计时，梁可以用一根弹簧来代替，于是这个系统简化成弹簧质量系统。如果知道系统的静变形dst，则求出系统的固有频率,返回首页,20.1.3 等效刚度系数,20.1 单自由
13、度系统的自由振动,Theoretical Mechanics,由材料力学可知，简支梁受集中载荷作用，其中点静挠度为,求出系统的固有频率为,中央受集中载荷的简支梁的等效弹簧刚度系数为,返回首页,20.1.3 等效刚度系数,20.1 单自由度系统的自由振动,Theoretical Mechanics,以梁承受重物时的静平衡位置为坐标原点O，建立坐标系，并以撞击时刻为零瞬时，则t=0时，有,自由振动的振幅为,梁的最大挠度,返回首页,20.1.3 等效刚度系数,20.1 单自由度系统的自由振动,Theoretical Mechanics,20.1.4 扭转振动,等效系统,内燃机的曲轴、轮船的传动轴等，
14、在运转中常常产生扭转振动，简称扭振。,扭振系统称为扭摆。其中 OA 为一铅直圆轴，圆盘对中心轴 OA 的转动惯量为IO。在研究扭摆的运动规律时，假定圆轴的质量略去不计，圆盘的位置可由圆盘上任一根半径线和该线的静止位置之间的夹角 来决定，称扭角。圆轴的抗扭刚度系数为kn，表示使圆盘产生单位扭角所需的力矩。,根据刚体转动微分方程建立该系统的运动微分方程,返回首页,20.1 单自由度系统的自由振动,Theoretical Mechanics,根据刚体转动微分方程建立该系统的运动微分方程,扭振的运动规律,对于单自由度振动系统来说，尽管前述直线振动和当前扭振的结构形式和振动形式均不一样，但其振动规律、特
15、征是完全相同的。,返回首页,20.1.4 扭转振动,20.1 单自由度系统的自由振动,Theoretical Mechanics,图 (a)所示为扭振系统两个轴并联的情况；图(b)为两轴串联的情况；图(c)则为进一步简化的等效系统。,并联轴系的等效刚度系数,串联轴系的等效刚度系数,返回首页,20.1.4 扭转振动,20.1 单自由度系统的自由振动,39,返回首页,Theoretical Mechanics,第20章 振动,20.3 单自由度系统的衰减振动,Theoretical Mechanics,天津大学,20.3 单自由度系统的衰减振动,阻尼系统中存在的各种阻力：干摩擦力，润滑 表面阻力，
16、液体或气体等介质的阻力、材料内部的 阻力。,物体运动沿润滑表面的阻力与速度的关系,c粘性阻尼系数或粘阻系数。它与物体的形状、尺寸及介质的性质有关，单位是牛顿米/秒(Ns/m)。,返回首页,Theoretical Mechanics,运动微分方程,图示为一有阻尼的弹簧-质量系统的简化模型。以静平衡位置O为坐标原点，选x轴铅直向下为正，有阻尼的自由振动微分方程,特征方程,特征根,返回首页,20.3 单自由度系统的衰减振动,Theoretical Mechanics,特征根与运动微分方程的通解的形式与阻尼有关,强阻尼（npn）情形,临界阻尼(n = pn )情形,阻尼对自由振动的影响,运动微分方程,
17、特征根,返回首页,20.3 单自由度系统的衰减振动,Theoretical Mechanics,临界情形是从衰减振动过渡到非周期运动的临界状态。这时系统的阻尼系数是表征运动规律在性质上发生变化的重要临界值。设cc为临界阻尼系数，由于z=n/pn =1，即,z 阻尼系数与临界阻尼系数的比值，是z 称为阻尼比的原因。,cc只取决于系统本身的质量与弹性常量。由,返回首页,20.3 单自由度系统的衰减振动,阻尼对自由振动的影响,Theoretical Mechanics,强阻尼(1)情形,临界阻尼(1)情形,这两种情形下，运动不再是周期型的，而是按负指数衰减,引入阻尼比,返回首页,20.3 单自由度系
18、统的衰减振动,阻尼对自由振动的影响,Theoretical Mechanics,特征根,其中,其中C1和C2为积分常数，由物块运动的起始条件确定。设t = 0时， 可解,C1=x0,返回首页,20.3 单自由度系统的衰减振动,阻尼对自由振动的影响,Theoretical Mechanics,另一种形式,这种情形下，自由振动不是等幅简谐振动，是按负指数衰减的衰减运动。衰减运动的频率为 p d，衰减速度取决于 p n，二者分别为本征值的虚部和实部。,返回首页,20.3 单自由度系统的衰减振动,阻尼对自由振动的影响,Theoretical Mechanics,衰减振动:物块在平衡位置附近作具有振动性
19、质的往复运动，但它的振幅不是常数，随时间的推延而衰减。 有阻尼的自由振动视为准周期振动。,返回首页,20.3 单自由度系统的衰减振动,阻尼对自由振动的影响,Theoretical Mechanics,T=2p/pn为无阻尼自由振动的周期。,阻尼对周期的影响,欠阻尼自由振动的周期Td ：物体由最大偏离位置起经过一次振动循环又到达另一最大偏离位置所经过的时间。,由于阻尼的存在，使衰减振动的周期加大。通常z很小，阻尼对周期的影响不大。例如，当z=0.05时，Td=1.00125T，周期Td仅增加了0.125%。当材料的阻尼比z1时，可近似认为有阻尼自由振动的周期与无阻尼自由振动的周期相等。,返回首页
20、,20.3 单自由度系统的衰减振动,Theoretical Mechanics,设衰减振动经过一周期Td，在同方向的相邻两个振幅分别为Ai和Ai+1，即,两振幅之比为,称为振幅减缩率或减幅系数。如仍以z =0.05为例，算得 ,物体每振动一次，振幅就减少27%。由此可见 ，在欠阻尼情况下，周期的变化虽然微小，但振幅的衰减却非常显著 ，它是按几何级数衰减的。,返回首页,阻尼对周期的影响,20.3 单自由度系统的衰减振动,Theoretical Mechanics,天津大学,20.3 单自由度系统的衰减振动,振幅减缩率的自然对数称为对数减缩率或对数减幅系数，以d 表示,例 在欠阻尼（z 1）的系统
21、中，在振幅衰减曲线的包络线上，已测得相隔N个周期的两点P、R的幅值之比xP/xR=r，如图所示，试确定此振动系统的阻尼比z。,返回首页,Theoretical Mechanics,天津大学,20.3 单自由度系统的衰减振动,解：振动衰减曲线的包络线方程为,设P、R两点在包络线上的幅值为xP、xR ，则有,当z 21时,此式对估算小阻尼系统的z值是很方便的。例如，经过10个周期测得P、R两点的幅值比r=2，将N=10、r=2代入上式，得到该系统的阻尼比,返回首页,返回首页,Theoretical Mechanics,第20章 振动,20.4 单自由度系统的受迫振动,Theoretical Mec
22、hanics,天津大学,20.4 单自由度系统的受迫振动,受迫振动,激励形式,系统在外界激励下产生的振动。,外界激励一般为时间的函数，可以是周期函数，也可以是非周期函数。简谐激励是最简单的激励。一般的周期性激励可以通过傅里叶级数展开成简谐激励的叠加。,返回首页,Theoretical Mechanics,20.4 单自由度系统的受迫振动,20.4.1 振动微分方程,简谐激振力,F0为激振力的幅值，w为激振力的圆频率。以平衡位置O为坐标原点，x轴铅直向下为正，物块运动微分方程为,具有粘性阻尼的单自由度受迫振动微分方程，是二阶常系数线性非齐次常微分方程。,返回首页,Theoretical Mech
23、anics,简谐激励的响应全解,有阻尼系统在简谐激励力作用下的运动微分方程,微分方程全解：齐次方程的全解加非齐次方程的特解,有阻尼系统在简谐激励下，运动微分方程的全解,返回首页,20.4 单自由度系统的受迫振动,20.4.1 振动微分方程,Theoretical Mechanics,有阻尼系统在简谐激励下，运动微分方程的全解,返回首页,20.4 单自由度系统的受迫振动,20.4.1 振动微分方程,Theoretical Mechanics,简谐激励的响应特解,有阻尼系统简谐激励响应中的特解是指不随时间衰减的稳态响应：,这表明：稳态受迫振动是与激励频率相同的谐振动。,返回首页,20.4 单自由度
24、系统的受迫振动,20.4.1 振动微分方程,Theoretical Mechanics,20.4.2 受迫振动的振幅B、相位差 的讨论,20.4 单自由度系统的受迫振动,则有,若令,返回首页,Theoretical Mechanics,返回首页,20.4.2 受迫振动的振幅B、相位差 的讨论,20.4 单自由度系统的受迫振动,在低频区和高频区，由于阻尼影响不大 ，为了简化计算 ，可将有阻尼系统简化为无阻尼系统。,Theoretical Mechanics,返回首页,20.4.2 受迫振动的振幅B、相位差 的讨论,20.4 单自由度系统的受迫振动,Theoretical Mechanics,幅频
25、特性与相频特性,1、 0 的附近区域 (低频区或弹性控制区) ， ，0，响应与激励同相；对于不同的 值，曲线密集，阻尼影响不大。,返回首页,20.4.2 受迫振动的振幅B、相位差 的讨论,20.4 单自由度系统的受迫振动,2、 1的区域(高频区或惯性控制区)， ， ，响应与激励反相；阻尼影响也不大。,3、 1的附近区域(共振区)， 急剧增大并在 1略为偏左处有峰值。通常将1，即 pn 称为共振频率。阻尼影响显著且阻尼愈小，幅频响应曲线愈陡峭。在相频特性曲线图上，无论阻尼大小， 1时，总有， /2 ,这也是共振的重要现象。,Theoretical Mechanics,20.4 单自由度系统的受迫
26、振动,例 题,例 质量为M的电机安装在弹性基础上。由于转子不均衡，产生偏心，偏心距为 e，偏心质量为m。转子以匀角速w转动如图示，试求电机的运动。弹性基础的作用相当于弹簧常量为k的弹簧。设电机运动时受到粘性欠阻尼的作用，阻尼系数为c。,解：取电机的平衡位置为坐标原点O，x轴铅直向下为正。作用在电机上的力有重力Mg、弹性力F、阻尼力FR、虚加的惯性力FIe、FIr，受力图如图所示。,返回首页,Theoretical Mechanics,根据达朗贝尔原理，有,= h,返回首页,20.4 单自由度系统的受迫振动,例 题,Theoretical Mechanics,电机作受迫振动的运动方程为,当激振力
27、的频率即电机转子的角速度等于系统的固有频率pn时，该振动系统产生共振，此时电机的转速称为临界转速。,返回首页,20.4 单自由度系统的受迫振动,例 题,Theoretical Mechanics,阻尼比z 较小时，在l=1附近，b值急剧增大，发生共振。 由于激振力的幅值me2与2成正比。当0时，0，B0；当1时，1，Bb，即电机的角速度远远大于振动系统的固有频率时，该系统受迫振动的振幅趋近于 。,幅频特性曲线和相频特性曲线,返回首页,20.4 单自由度系统的受迫振动,例 题,返回首页,Theory of Vibration with Applications,振动控制,隔振,天津大学,返回首页
28、,Theory of Vibration with Applications,20.5.1积极隔振 20.5.2消极隔振,20.5 隔振,返回首页,Theory of Vibration with Applications,回转机械、锻压机械等在运转时会产生较大的振动，影响其周围的环境；有些精密机械、精密仪器又往往需要防止周围环境对它的影响。这两种情形都需要实行振动隔离，简称隔振。隔振可分为两类。一类是积极隔振，即用隔振器将振动着的机器与地基隔离开；另一类是消极隔振，即将需要保护的设备用隔振器与振动着的地基隔离开。这里说的隔振器是由一根弹簧和一个阻尼器组成的模型系统。在实际应用中隔振器通常选用
29、合适的弹性材料及阻尼材料，如木材、橡胶、充气轮胎、沙子等等组成。,20.5 隔振,返回首页,Theory of Vibration with Applications,20.5.1积极隔振,振源是机器本身。积极隔振是将振源隔离，防止或减小传递到地基上的动压力，从而抑制振源对周围环境的影响。积极隔振的效果用力传递率或隔振系数来衡量，定义为,其中H和HT分别为隔振前后传递到地基上的力的幅值。,在采取隔振措施前，机器传递到地基的最大动压力Smax=H。 机器与地基之间装上隔振器。 系统的受迫振动方程为,激振力,20.5 隔振,返回首页,Theory of Vibration with Applica
30、tions,此系统的受迫振动方程为,此时，机器通过弹簧、阻尼器传到地基上的动压力,即F和R是相同频率，在相位上相差 的简谐力。,根据同频率振动合成的结果，得到传给地基的动压力的最大值,20.5.1积极隔振,20.5 隔振,返回首页,Theory of Vibration with Applications,20.5.2消极隔振,振源来自地基的运动。消极隔振是将需要防振的物体与振源隔离，防止或减小地基运动对物体的影响。消极隔振的效果也用传递率表示，定义为,B为隔振后传到物体上的振动幅值 b地基运动的振动幅值。,地基为简谐运动,隔振后系统稳态响应的振幅为,20.5 隔振,返回首页,Theory of Vibration with Applications,位移传递率与力传递率具有完全相同的形式。,当 时， 1，才有隔振效果，而且 值越大， 越小，隔振效果越好。,因此，通常将 选在2.5至5的范围内。另外 以后，增加阻尼反而使隔振效果变坏。,为了取得较好的隔振效果，系统应当具有较低的固有频率和较小的阻尼。不过阻尼也不能太小，否则振动系统在通过共振区时会产生较大的振动。,20.5.2消极隔振,20.5 隔振,谢谢,
