1、1n 维欧氏空间的镜面反射56高等数学研究 9,No.4 Vol.STUDIESINCOLLEGEMATHEMATICSJul.,2006n 维欧氏空间的镜面反射李华君 周和月 (保定师范专科学校摘3河北保定 071051)要 n 维欧氏空间 V 的镜面反射是正交变换,镜面反射的逆变换仍为镜面反射;V 上的正交变换同时为镜面反射的充要条件是它以 1 为特征值且其属于 1 的特征子空间是(n-1) 维的;镜面反射在 V 的任一标准正交基下的矩阵具有形式 En-2uu,反之,若正交变换在 V 的某一标准正交基下的矩阵具有该形式,则它为镜面反射,其中 u 为列向量;V的任一正交变换可表为镜面反射的乘
2、积.关键词 镜面反射;正交变换;特征值;特征子空间 中图分类号 O151122)(V)为 n 定义1 设 为 n 维欧氏空间 V 上的单位向量,称线性变换 S=-2(,维欧氏空间 V 的一个镜面反射 1性质 1 镜面反射是正交变换 1证明 设 S 为 n 维欧氏空间 V,V(S(),S(),(,)(,)2,(,)-,)4(,)(,)(,)=(,+4(,)(,)=(,)故 Sa,即为 V 上的正交变换 1.证明 设 S 为 n 维欧氏空间 V 的一个镜面反射,对 V 中的任意向量 V,)=S(-2(,)=-2(,)-2(-2(,),)=S.S(-2(,)-2(,)-2(,)(,)=-2(,)-2
3、(,)+4(,)=.-1可见 S.S 为恒等变换,故有 S=S.定理 1 设 S 为 n 维欧氏空间 V 上的正交变换.则 S 为镜面反射的充要条件:S 以 1 为特征值,且 S 属于 1 的特征子空间 V1 为 n-1 维 1 证明 设 S 为镜面反射,其中 为 V 上的单位向量,将 扩充为 V 的标准正交基:,1,2,n-1.,)=-)= 则 S=-2(.S(,n-1).即 ,2,n-1 为 S对应特 i)=i-2(i,i,(i=1,2,13征值 1 的特征向量 ,1,2,n-1 V1.而 属于特征-1,即 V1.故得 dimV1=n-1.反之,若正交变换 S 属于特征值 1 的特征子空间
4、 V1 为 n-1维.设 V1 的标准正交基为 ,2,n-1,1 则 S(,n-1).将 V1的标准正交基扩充为 V 的标准正交基,2,n-1,1i)=i,(i=1,2,1)=a1, 对其两边与 S( 设 S(1+a22+an-1n-1+bi)作内积得:(S(),S(),i)=(a1b,i)=ai,(i=1,2,n-1).i)=(S(1+a22+an-1n-1+),S()= 因 S 是正交变换,故(S(,i)=0.从而得a1=a2=an-1=0.所以 S(b.又因为 i)=(2(S(),S()=(b,b)=b=1,所以 b=1.若 b=1,则 亦为 S 属于 1 的特征向量,dimV1=n,和
5、已V,设 =x1 知矛盾.因而只可能有 b=-1,S(a)=-a.现在1+x22+xn-1n-1+xn.则)=x1S()=S(1)+x2S(2)+xn-1S(n-1)+xnS(x1)-2xn=-2xn.1+x22+xn-1n-1+xn3 收稿日期:2004-9-13第 9 卷第 4 期 李华君,周和月:n 维欧氏空间的镜面反射 57 又因(,)=(x1,)=xn(,)=xn.故 S=-2(,).即 S 为镜面4反射 11+x22+xn-1n-1+xn定理 1 说明 n 维欧氏空间 V 上的镜面反射 S 是向量对以 为法向量的 n-1 维子空间的反射 1 定理 2 矩阵 A=En-2uu,其中
6、u 为 n 维列向量,且 uu=1.(1)S 为 n 维欧氏空间 V 的镜面反射,则 S 在 V 的任一标准正交基础下的矩阵为 A.(2)n 维欧氏空间 V 的正交变换 S 在 V 的某一标准正交基下的矩阵为 A,则 S 为 V 的镜面反射 1) 为 n 维欧氏空间 V 上的镜面反射,将 扩充为 V 的标准正交基:证明 (1)设 S=-2(,-10,1 设基,1,2,n-1, 显然,S 在此基下的矩阵为B=1,2,n-1到 V 的任0En-1, 一标准正交基1,2,n的过渡矩阵是正交矩阵 U,即(1,2,n)=(1,2,n-1)U.并 设 S 在基1,2,n下的矩阵为 A.则有-20-1A=U
7、BU=UBU=UEn+U=En-2uu.0 其中 u为 U 的第一行向量.因为 U 是正交矩阵,故有uu=1.(2)设正交变换 S 在 V 的某一标准正交基,矩阵5uu1,2,n下的矩阵为 A=En-的特征多项式为:-u2-uuu11112-u12u11u12-uu1|En-uu|=-un11-u1nu12-u21nuu12u12u1n1-i=100=n2u11u12u1n0=0u1n00600000(2n22nn-1n-11-u11+u12+u1n)=-uu=(-1)., 矩阵 uu的特征值为 =0(n-1 重根)和 =1(单根).故矩阵A=En-2uu的特征值为 1-2即为 1(n-1 重
8、根)和-1(单根)1S 属于特征值 1 的特征子空间 V1 的维数等于齐次方程组(1En-A)X=0 解空间的维数.)=n-秩(2uu)=n-1.根据定理 1 知正交 dimV1=n-秩(En-A)=n-秩(En-En+2uu变换 S 为镜面反射 1定理 3 设 为 n 维欧氏空间 V 的任一正交变换,则 可表成一些镜面反射的乘积.证明 当 为恒等变换时,显然有 =Sa.Sa.当 非恒等变换时,对 V 的维数进行归纳证明.(),令 =-()0,则 1 当 n=2 时,0 时,使得 27-(),-()=(,)-2(,()+(),()=2(,)-2(,().|=( 因为单位向量,故可构造镜面反射
9、S|.由上式可得,|()=-2(,)S|=-2,)=2|().=(,)-(,()(,)-(,()-1-1),从而 ()=(下转第 69 页)即镜面反射 S|将 映成(.S|.S|为恒等变换.|第 9 卷第 4 期 田k径:二项式系数幂和序列的几个性质rt69j=0js=1kttts-r-i8kbt(modp).性质 3 对任意的奇素数 p,正整数 r,i.当 r 为奇数时,bp-10(modp).当 r 为偶数时,若 i 为偶数,bp-1-1(modp);若 i 为奇数,bp-11(modp).其中r2,1ir-1.p-1 证明 因(-1)k(modp),故kk!p-1p-1bp-1p-1k=
10、1(-1)ki+(k-1)(r-i)k=1(k-1)r+i(-1)(k-1)r+i(modp).(p-2)r+i9(-1)当 r 为奇数时,bp-1k=1(-1)i+(-1)r+i+(-1)2r+i+(-1)0(modp).当 r 为偶数时 ,若 i 为偶数,则p-1 个bp-11+1+1p-1-1(modp),若 i 为奇数,则p-1 个bp-1(-1)+(-1)+(-1)-1)(-1)(参考文献1YuanjinandH.Dickinson.AperyrefJJ.Austral.Math.Soc.(SeriesA),68(2000),349-2袁进.(自然科学版 ).1999,29(4),279-281.()-1)
