1、第 1 页 共 5 页第二章 实数第一节 数怎么又不够用了一、教学目标：1通过拼图活动，让学生感受无理数产生的实际背景和引入的必要性2借助计算器探索无理数是无限不循环小数，并从中体会无限逼近的思想3会判断一个数是有理数还是无理数二、教学重点会判断一个数是有理数还是无理数三、教学难点学生对无理数概念的理解四、学法指导1、这里延续七年级上册“有理数及其运算”中的标题“数怎么不够用了”，暗示数的又一次扩充，引起学生的学习兴趣2、通过一个简单的动手活动引入新课，把学生的思维和学习的积极性调动起来，然后紧接着提出本节课的主要问题，引起学生的思考和讨论，让学生体会到现实生活中确实存在着不是有理数的数学生的
2、做法可能有多种，如：五、课前准备剪刀，单位正方形纸片，计算器六、课时安排二课时七、板书设计见后八、教学过程P25 章前图，引入课题。 第二章 实数第一节 数怎么又不够用了有两个边长为 1 的小正方形，剪一剪，拼一拼，设法得到一个大的正方形。（1）设大正方形的边长为 a，a 满足什么条件？1 1第 2 页 共 5 页（2）a 可能是整数吗？说说你的理由。（3）a 可能是以 2 为分母的分数吗？可能是以 3 为分母的分数吗？说说你的理由。（4）a 可能是分数吗？说说你的理由，并与同伴交流。事实上，在等式 中，a 即不是整数，也不是分数，所以 a 不是有理2数。做一做（1）图 11 中，以直角三角形
3、的斜边为边的正方形的面积是多少？（2）设该正方形的边长为 b，b 满足个么条件？（3）b 是有理数吗？在上面的两个问题中，数 a，b 确实存在，但都 不是有理数。随堂练习1如图，正三角形 ABC 的边长为 2，高为 h，h 可能是整数吗？可能是分数吗？习题 1.11长、宽分别是 3，2 的长方形，它的对角线的长可能整数吗？可能是分数吗？试一试1右图是由 16 个边长为 1 的小正方形拼成的，任意连接这些小正方形的若干个顶点，可得到一些线段。试分别找出两条长度是有理数的线段和两条长度不是有理数的线段。面积为 2 的正方形的边长 a 究竟是多少呢？2 211-12 hAB CD321 aa2222
4、第 3 页 共 5 页图 12（1）如图 12，3 个正方形的边长之间有怎样的大小关系？说说你的理由。（2）边长 a 的整数部分是几？十分位是几？百分位呢？千分位呢？借助计算器进行探索。（3）小明根据他的探索过程整理出如下的表格，你的结果呢？边长 a 面积 S1a2 1S41.4a1.5 1.96S2.251.41a1.42 1.9881S2.01641.414a1.415 1.999396S2.0022251.4142a1.4143 1.99996164S2.00024449还可以继续算下去吗？a 可能是有限小数吗？事实上，a=1.41421356，它是一个无限不循环小数。做一做（1）估计面
5、积为 5 的正方形的边长 b 的值（结果精确到十分位） ，并用计算器验证你的估计。（2）如果精确到百分位呢？事实上，b=2.236067978，它是一个无限不循环小数。同样，对于体积为 2 的正方形，借助计算器，可以得到它的棱长c=1.25992105%，它也是一个无限不循环小数。议一议把下列各数表示成小数，你发现了什么？ .12,458,9,5,3有理数总可以用有限小数或无限循环小数表示。反过来，任何有限小数或无限循环小数也都是有理数。无限不循环小数叫做无理数（irrational number）.除了像上面的数 a, b, c 是无理数外，我们十分熟悉的圆周率也是一个无限不循环小数，因此它
6、也是一个无理数。再145926.3第 4 页 共 5 页如 0.585885888588885(相邻两个 5 之间 8 的个数逐次加 1)，也是无理数。想一想你能找到其他的无理数吗？例 1 下列各数中，哪些是有理数？哪些是无理数？ ,75.0,34,. 0.1010001000001（相邻两个 1 之间 0 的个数逐次加 2） 。解：有理数有： .75,34,. 无理数有：0.1010001000001。随堂练习1下列各数中，哪些是有理数？哪些是无理数？ .18,7,.3,458.0读一读无理数的发现毕达哥拉斯学派是以古希腊哲学家、数学家、天文学家毕达哥拉斯（Pythagoras,约前 580
7、约前 500）为代表人物的一个学派。毕达哥拉斯学派发现了无理数，这是数学史上的一件大事，它导致了第一次数学危机。毕达哥拉斯学派有一个信条：“万物皆数” ，即“宇宙间的一切现象都能归结为整数或整数之比” ，也就是一切现象都可以用有理数去描述。公元前 5世纪，毕棕哥拉斯学派的一个成员希伯索斯（Hippasus ）发现边长为 1 的正方形的对角线的长不能用整数或整数之比来表示。这个发现动摇了毕达哥拉斯学派的信条，引起了信徒们的恐慌。据说，希伯索斯为此被投入了大海，他为发现真理而献出了宝贵的生命。但真理是不可战胜的，后来，古希腊人终于正视了希伯索斯的发现，并进一步给出了证明。假设边长为 1 的正方形的
8、对角线的长可写成两个整数 p，q 的比，于是有互 质qp, .2,2qpq因此 是偶数，p 是偶数。2于是可设 p=2m，那么 。22,m这就是说， 是偶数，q 也是偶数。这与“p, q 是互质的两个整数”的2假设矛盾。第 5 页 共 5 页从无理数的发现可以看出无理数并不“无理” ，它和有理数一亲，都是现实世界中客观存在的量的反映。习题 1.21.下列各数中，哪些是有理数？哪些是无理数？ ,79.3,1805（相邻两个 1 之间有 1 个 0） ，.240.12345678910111213（小数部分由相继的正整数组成） 。2 （1）设面积为 10 的正方形的边长为 x, x 是有理数吗？说说你的理由。（2）估计 x 的值（结果精确到十分位） ，并用计算器验证你的估计。（3）如果结果精确到百分位呢？九、布置作业P27,31十、教后感
