1、那首先，从这本书的整体上来看，怀特海在第一章首先提出了他所认为的教育应该是什么，之后，从人的身心发展的角度给出了教育应当遵循的三个节奏，之后，解释了文学课程、科学课程和技术课程这三种主要的教育形式之间的关系。最后，介绍了数学课程以及大学的作用。可以说，数学课程这一章正是从具体的应用的层面，讲了学校的数学课程到底应该教会学生什么，要安排怎样的教学内容，是怀特海教育理念的具体体现。这一章总的来说是围绕着这样三个问题展开的。1.为什么要进行教育改革？2.怎样进行教育改革？（也就是数学课到底应该涵盖哪些内容）3.实施教育改革中可能存在的一些问题。接下来，我们就通过一些具体的例子来看看怀特海认为的数学课
2、程是怎样的。一、为什么要进行教育改革首先，怀特海反思了他当时所处的教育背景，他认为：就这门科目的教育用途来说，我们必须承认，到目前为止，在普通的受教育人群中，数学水平还是处于一个令人悲哀的低水准上。正是由于他看到了这一点，所以才有了希望实施教育改革的想法，希望提出自己所理想中的数学课程。至于为什么会产生这样的情形，怀特海也给出了自己的想法：让这门学科对于学生而言，成为一种快乐的真正理由，也就是阻碍它作为一种有用的教育工具的原因，即，来自一般原理的互相影响的大量推论，它们的错综复杂性，它们与作为论点的概念之间明显的距离，各种各样的方法，它们纯粹的抽象性质，这种抽象性质作为数学的礼物，带来永恒的真
3、理。举个例子，欧几里得的几何原本实际上也就是从最开始的很简单的公理出发的，非常简单一目了然的，但是由它们出发却推出来了四百多个命题，如果我们再看一看所得到的这一系列推论，就很难想象它和最原始的概念到底有怎样的联系了。也就是说“它们与作为论点的概念之间有明显的距离” 。不仅如此，就拿数字来说，它也是数学家用很长的时间通过一步步抽象得到的最终的纯粹的符号表达，一旦数学进入了高度抽象的阶段，它就脱离了原有的实际背景，也就显得相当地深奥。二、如何进行教育改革第二点，也是这一章的核心内容。如何进行教育改革。1.对象首先，我们要明确怀特海说的理想状态下的数学课程的实施对象。他考虑的是“所有学生的自由教育”
4、 ，而不是“职业化研究” 。回到我们刚刚说到数学的深奥性。他认为数学的深奥性并不是不好，而是说“除了一些被精心挑选出来的人之外，它们对教育的影响是不幸的。 ”也就是说，喜欢数学的学生是非常享受其中的，但是对于大多数人来说，强迫他们去明白其中的深奥原理是一件很痛苦的事情。我们也没有必要这样做。我们的目的不是要去培养出来一个数学家，而是一门针对于所有人的基础课程。举个例子，之前马老师也说到过，据统计，实际上学习完学校的数学课程以后，将来只会有百分之一的学生去从事和数学有关的职业，所以，数学的有些深奥的定理或者结论，他们将来也许根本不会接触到，比方说，如果你是一名厨师，那你会一边做饭一边想想正弦定理
5、吗？不存在的。让学生学习这门语言，是为了更好地生活，看待世界可以多一种角度。2.目标也就是说，我们所要实现的目标是：学生能够通晓抽象思维，能够认识到它是如何应用于特殊而具体的环境，应该知道怎样在合乎逻辑的调查研究中使用一般的方法。3.改革的方向明确了怀特海所针对的对象和所希望实现的目标以后，我们来看看他认为的改革的方向是什么。从整体的方向来说，怀特海认为：无论是在观念的传授上，还是在能力的培养中，要与现代的思想相关，这里所说的是在受教育人群中广泛流行的思想。也就是说，我们所做的改革要和当前的社会背景相关，要与时俱进。举个例子，在我们老师生活的年代，数学中还要求学生去手动开平方，比方说根号 2
6、不能用计算器而是要手算，但是随着现在的科学技术发达了，这样根本就没必要，因此也就取消了这个内容。具体地来说，就数学这一门课程，怀特海的主要观点是：“数学，若想在普通教育中有用，就必须经历一个严格的选择和适应的过程。向青年展示这门科学，必须摒弃其深奥的一面。直面数学，它必须直接而简练地探讨一些具有深远意义的一般概念。 ”也就是说，如果把数学比作一棵大树的话，我们所要教给学生的是大树的枝干，而不是周围的这一些细枝末节。怀特海认为，他所指出的数学的核心概念和思想对所有的学生来说都是必要的训练，它是一切哲学思维的基础。也就是说不管你将来从事什么职业，你都要掌握这些最基础的知识。普通的对数学没有特别兴趣
7、的学生通过学习数学能够掌握一些一般的方法，只需要学习它的核心枝干，而对数学特别感兴趣希望深入研究的同学，可以去深入地关注它周围的枝枝叶叶。具体地来说，可以分为以下几点：3.1 知识& 智慧知识是一些结果性的内容，智慧是掌握知识的方法。两者缺一不可。举个例子，证明正弦定理的方法有很多，比方说传统法和向量法，如果没有一定的知识基础，就不知道怎么证明。但是，哪一种方法可以更简单地证明出来呢？这就是智慧的体现。它体现了在解决实际问题当中，如何去选用合适的方法去运用知识。要让学生拥有智慧，一昧的增加知识是没有作用的。知识有再多又有什么用呢？学习知识是为了去应用，否则再多的知识也将毫无价值。所以，我们在教
8、学当中要教会学生的实际上是如何运用知识去解决问题，培养学生的数学直觉。3.2 过程性教学&结果性教学那么，在传授必要的数学知识的时候，应该怎么教学呢？比方说，在正弦定理的教学中，如果说学生学习完了这一节的内容以后，你去问他学到了什么，结果他所记得的就只是正弦定理的结论，那又有什么用呢？数学的结论千千万万，仅仅记住了结论毫无价值，对我们将来的学习生活没有任何作用。在这里，正弦定理的教学其实蕴含了很多数学的思想方法，比方说从最开始的直角三角形的结论推广到一般的时候的特殊到一般的思想，在证明正弦定理的过程中，展现的分类和转化的思想，这些将要比正弦定理本身更有利用价值。学生将来走入社会以后，可能会面对
9、一系列陌生的问题，这时候，他可能会想到，我以前遇到过类似的问题吗？转化的思想就起了重要的作用。所以，在教学的过程中，我们要关注的不是一个个知识性的结果，而是要让学生在学习知识的过程中体会数学中蕴含的数学思想方法，为将来的学习打下基础。3.3 形式& 本质过分地注重形式化会有损于学生对知识本身的理解。举个例子，数学归纳法。记得在高中的练习上，最常见的好像就是类似于这种，给出一个关于 n 的根本不知道从哪得到的等式，让我们去证明。那怎么办呢？下意识地就去套用数学归纳法的步骤，1 成立，n 成立，通过各种变形推导 n+1 也是成立的。给人的感觉好像就是，我已经知道了这个命题了，然后去用数学归纳法去验
10、证一下，好像就是数学归纳法是事后装模做样的工作。但是实际上完全不是这样。华罗庚在数学归纳法书里面就指出了，数学归纳法实际上蕴含的思想是“1 即 n，n即 1”的想法，它不是事后的验证工作，而可以用它来发现新的命题。比方说，当我们有了一个特殊的结论以后，它相当于就是 1，然后，可以用特殊到一般的思想考虑将它推广到一般性的结论，当我们有了一般性的结论以后，虽然可能有无数个，但在我的眼中，它只是一个 1 而已。用在证明当中，也就是从 n 到 n+1 的推导思想常常和1 到 2 所用的方法是类似的，只是数字变大了，但是方法是一样的，又有什么关系呢？比方说，看帽子颜色的例子，或者是这样棋盘填方块的例子，
11、都展现了数学归纳法的巧妙。再举个例子，函数的定义。我们都知道，高中的函数定义和初中的函数定义是有区别的，可能有的老师会这样来引入：判断 y=1 是函数吗？这样的问题如果说用初中的变量说，就没办法判断，那老师就说了，初中的概念不严谨，所以我们来学习新的函数的概念。那么问题来了，既然说初中的概念不严谨，解决不了这样的问题，那干嘛还会出现在课本中呢？直接给严谨的定义不就得了吗？实际上，我们可以回顾一下函数定义的演变历史：时间 数学家 函数的定义1673 年 莱布尼茨 函数表示任何一个随着曲线上的点变动而变动的量的纵坐标.1748 年 变量的函数是一个解析表达式，它是由这个变量和一些常量以任何方式组成
12、的.1755 年欧拉函数的变量定义：如果某变量，以如下的方式依赖于另一些变量，即当后面这些变量变化时，前者也随之变化，则称前面的变量是后面变量的函数.（现行初中数学教科书采用的定义）1821 年 柯西变量：依次取许多互不相同的数值的量叫做变量.定义了自变量与因变量. 函数：在某些变数间存在着一定的关系，当一经给定其中某一变数的值，其他变数的值也可随之而确定时，则将最初的变数称之为“自变数” ，其他各变数称为函数1851 年 黎曼函数的对应定义：假定 Z 是一个变量，如果，对它的每一个数值，都有未知量 W 的一个数值与之对应，则称 W 是 Z 的函数 .（现行高中数学教科书采用的定义）1939
13、年 布尔巴基 学派函数的关系定义：如果定义在 X,Y 上的关系 F 满足：对于每一个 ,都存在唯一的 ，使得 ,则称 F 为函数.xXy(,)xy最开始是莱布尼茨提出的函数定义，从定义中我们也可以看到，函数是结合了图象进行的，相当直观，后来就是欧拉给出的变量说定义，从两个变量的相互关联给出函数的定义，接下来，柯西做了一些补充，现在的高中教材采用的是黎曼的函数的对应定义，最后是布尔巴基学派给出的关系定义。我们可以从这其中的变化看到，函数的定义由最初的直观逐渐一步步抽象成为符号化的定义。数学家们都需要这么长的时间来抽象，又怎么能指望学生可以一步抽象到位呢？所以，教材中就采用了这样两种函数的定义方式
14、，帮助学生一步步地抽象出它的概念。在函数的教学当中，我们也应该遵循学生的身心发展，从浪漫阶段出发，用生活中大量的实际问题来引入，逐渐走入精确阶段，最后再回归实际生活中的应用，让学生体会其中的函数模型，而不应该纠结于这样没有意义的概念辨析。3.4 微观& 宏观怀特海的观点是：学习数学的目的不是盲目堆积特殊数学定理，而是最终认识到，之前多年的学习说明了数字、数量和空间的关系，这些关系才是最重要的。换句话说，也就是教会学生见树也要见林，二者缺一不可。关于这一点，我们可以继续刚刚函数的定义的例子。实际上，初中的函数定义的变量说是一种动态的定义，是从宏观上来把握函数的变化趋势，而高中的函数则逐渐进入精确
15、阶段，通过集合之间的对应关系来刻画集合间元素的对应法则，是一种微观层面上的描述。我们不能够说微观和宏观哪一种更好，只能说各有千秋。比方说，当我们说到变化趋势的时候，我们就是从宏观的角度来考察，一次函数是一条直线，二次函数有升有降，指数函数是爆炸性增长等等，就像“会当凌绝顶，一览众山小”一样，宏观的层面能让我们对这个函数有一个整体的把握。但是，有些时候仅仅有宏观也是不够的。比方说狄利克雷函数，它在有理数的时候取值是 1，无理数的时候取值是 0，它经常作为数学分析中的反例出现。只是靠宏观很难想象，那我们只有进行微观的静态描述，比方说它在任意一个点处都没有极限等等。微观和宏观的把握用我之前看到的一句
16、话来描述就是：“入乎其内，故能写之，出乎其外，故能观之。 ”4.个性发展当然，我们这里说的是针对于所有学生的数学教育，但是，每一位学生都有不同的个性，我们怎样能够在教学中关注到不同人的个性发展呢？也就是课标当中说到的“要让不同的人有不同的发展。 ”这里，怀特海给出了自己的想法，怎么引导那些更聪明的学生进一步发展。“毫无疑问，在一定程度上，它需要对整体所作的工作有一个一般的勘漏过程，不过分地拘泥于细节，以便突出最初应用的一般概念，以及这些概念在进一步研究时存在的可能的重要性。 ”也就是说，要对整体所学的知识进行一个检查，归纳概念的本质内涵，进一步提出新的问题。这里怀特海提出了两种方法4.1 明显
17、进入一个的课题举个例子，我们大学学习过了很多数学内容，比方说泛函分析、实变函数、解析几何、点集拓扑等等，其实我们在学习完了以后可以回过头来思考一下，这些内容之间的联系是什么，能不能提出一个新的问题。实际上我们可以发现，泛函分析和点集拓扑当中都涉及到了距离这个概念。喜欢钻研的学生可能会在学习距离的时候，通过归纳的方式来思考距离的本质，比方说通过查阅资料以后可以进一步理解甚至归纳出距离的本质定义，也就是正定性、对称性和三角不等式，如此一来可以逐步建立距离空间也就是度量空间的定义，进入到泛函分析中去，如果再进一步推广到一般，就是点集拓扑当中的拓扑空间。4.2 数学史怀特海提出，另外一种归纳概念的方式
18、是利用数学史。举个例子，复数的引入，可以通过回顾历史上数系的扩充来让学生感知数学发展过程中，数系的每一次扩张的必要性和应用价值。让数学的课堂不再仅仅有科学知识，而更具有人文情怀。5.逻辑推理怀特海认为，数学课程的学习内容一方面是抽象概念的学习，另一重要的方面就是学会逻辑思维。并且，也由于“代数的思维领域更为模糊，而空间对世间万物来说都是非常清楚的事情” ，他利用几何这一知识，来说明他的观点。在他看来，几何的学习可以按照以下几个阶段来进行。当然，并不是一定要按照这个阶段。它们分别是：全等、相似、三角原理、解析几何、投影几何从整体上来理解可以说，几何是关注了几何图形在运动过程中的不变的量。全等保持
19、了距离和角度的不变，相似保持了角度不变，距离可变，相似中又涉及到三角中的一些问题，而后，利用几何代数化又可以进一步研究解析几何，最后，如果距离和角度都可以改变，就是投影几何，但是这其中也会有不变的量交比。最后一点，就是在改革的过程中可能会出现的问题。这里提到的是“如果在考试中出现的例子实际上需要更多的深奥的细节知识的话，那么简化书本知识其实毫无作用。 ”也就是说，实践不能和理论脱节。考试要和课本相协调。不能够说我们整天谈核心素养，结果考试的题目全是各种技巧性的刁钻的题目，或者说是一些形式化的题目，比方说：3x/x 是不是分式的问题。考试的目的不是要挖坑把学生埋进去，不是要把学生考倒了，而是希望学生通过测试检验自己的学习情况。希望老师在出试卷的时候能够多一点真诚，少一点套路。总的来说，这一章是怀特海在基于他当前的时代背景提出的一些数学教育方面的思考。体现了他所提出的以人的发展为本的教育目的。
