1、2.3数学归纳法,推理与证明,1了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学问题2重点是数学归纳法及其应用；难点是对数学归纳法的原理的理解；关键是弄清数学归纳法的两个步骤及其作用,基础梳理,1数学归纳法：设p(n)是一个与自然数相关的命题集合，如果：证明起始命题(_)成立；在假设_成立的前提下，推出_也成立，那么可以断定，p(n)对一切自然数成立,p1或p0,pk,pk1,2用数学归纳法证题的步骤：(1)证明当n取第一个值_(例如_或_)时，命题p(n)正确；(2)假设_(kn0，kN*)时命题正确，证明当n_ 时命题也正确，即p(k1)为真；(3)根据(1)(2)知，当nn0且nN
2、*时，p(n)正确,n0,n00,n01,nk,k1,自测自评,1用数学归纳法证明 1)时，第一步应验证不等式(),解析：nN*，n1，n取第一个自然数为2，左端分母最大的项为答案：B,2某个与正整数有关的命题：如果当nk(kN*)时命题成立，则可以推出当nk1时该命题也成立现已知n5时命题不成立，那么可以推得()A当n4时命题不成立 B当n6时命题不成立C当n4时命题成立 D当n6时命题成立,解析：因为当nk(kN*)时命题成立，则可以推出当nk1时该命题也成立，所以假设当n4时命题成立，那么n5时命题也成立，这与已知矛盾，所以当n4时命题不成立答案：A,3用数学归纳法证明：“(n1)(n2
3、)(nn)2n13(2n1)”从“k到k1”左端需增乘的代数式为(),解析：当nk时左端的第一项为(k1)，最后一项为(kk)当nk1时，左端的第一项为(k2)，最后一项为(2k2)左边乘以(2k1)(2k2)，同时还要除以(k1)答案：B,用数学归纳法证明等式,分析：要证明等式的左边共2n项，右边共n项，f(k)与f(k1)相比左边增两项，右边增一项，而且左、右两边的首项不同因此，由“nk”到“nk1”时要注意项的合并,上式表明当nk1时命题也成立由(1)(2)知，命题对一切自然数均成立点评：用数学归纳法证明与自然数有关的一些等式命题关键在于“先看项”，弄清等式两边的结构规律，等式的两边各有
4、多少项，项的多少与n的取值是否有关系由“nk”到“nk1”时，等式的两边会增加多少项，增加怎样的项,跟踪训练,用数学归纳法证明不等式,分析：由nk到nk1，不等式左边增加后3项减少第1项，而不等式右边的值不变，因此，只需证明左边这四项的代数和非负即可,跟踪训练,2用数学归纳法证明：147(3n2) n(3n1),证明：(1)当n1时，左边1，右边 1(31)1，左边右边，等式成立,用数学归纳法证明整除问题,求证：an1(a1)2n1(nN*)能被a2a1整除,分析：对于多项式A，B，如果ABC，C也是多项式，那么A能被B整除证明：(1)当n1时，a11(a1)211a2a1，命题显然成立,(2
5、)设nk(k1，kN*)时，ak1(a1)2k1能被a2a1整除，则当nk1时，ak2(a1)2k1aak1(a1)2(a1)2k1a (a1)2(a1)2k1a(a1)2k1 a (a2a1)(a1)2k1.由归纳假设，上式中的两项均能被a2a1整除，故nk1时命题成立由(1)(2)知，对nN*，命题成立,点评：在推证“nk1”时，为了凑出归纳假设，采用了“加零分项”技巧：a(a1)2k1a(a1)2k1.另外，在推证“nk1”时，还可以用整除的定义，将归纳假设表示出来，假设nk时成立，ak1(a1)2k1能被a2a1整除，则ak1(a1)2k1(a2a1)q(x)(q(x)为多项式)，所以
6、，(a1)2k1(a2a1)q(x)ak1，故当nk1时，ak2(a1)2k1ak2(a1)2(a1)2k1ak2(a1)2ak2(a1)2(a2a1)q(x)(a1)2ak1(a1)2(a2a1)q(x)ak1(a2a1)显然，上式能被a2a1整除，即nk1时，命题亦成立,跟踪训练,3求证：f(n)(2n7)3n9能被36整除,证明：(1)当n1时，f(1)(217)3936能被36整除,(2)假设nk(k1，kN*)时，f(k)(2k7)3k9能被36整除，当nk1时，f(k1)2(k1)73k193(2k7)3k918(3k11)，而3k11是偶数，18(3k11)能被36整除所以nk1
7、时，f(n)能被36整除由(1)(2)知，对nN*命题都成立,归纳结果再用数学归纳法证明,(证明几何问题)平面上有n个圆，其中每两个圆都相交于两点，并且三个圆都不相交于同一点求证：这n个圆把平面分成f(n)n2n2个部分,分析：证明第二步时，通常需要借助于图形的直观性，说清楚在满足条件的k个圆的基础上，增加了一个圆(第k1个圆)后，第k1个圆与前k个圆相交，被分成多少段弧，进而说明增加了多少个区域，从而建立起f(k)与f(k1)之间的递推关系,证明：(1)当n1时，一个圆把平面分成两个部分，而f(1)1122，因此，n1命题成立(2)假设nk(k1，kN*)时命题成立，即k个圆把平面分成f(k
8、)k2k2个部分如果增加一个满足条件的任一个圆，则这个圆必与前k个圆相交于2k个点这2k个点把圆分成2k段弧，每段弧把它所在的原有平面分成两个部分因此，这是平面被分割的总数在原来的基础上又增加了2k部分，即有f(k1)f(k)2kk2k22k(k1)2(k1)2.,即当nk1时，f(n)n2n2也成立根据(1)(2)可知n个圆把平面分成f(n)n2n2个部分点评：利用数学归纳法证明与正整数有关的几何问题，关键要写清楚从“nk”到“nk1”时的变化规律,4证明：凸n边形的对角线条数f(n) n(n3)(n4),跟踪训练,证明：(1)当n4时，f(4) 4(43)2，四边形有两条对角线，命题成立,
9、(2)设当nk(k4，kN*)时，命题成立，即凸k边形的对角线的条数f(k) k(k3)当nk1时，凸k1边形是在凸k边形的基础上加上了一个边，增加了一个顶点Ak1，增加的对角线数是定点Ak1与不相邻的顶点连线再加上原来凸k边形的一边A1Ak，共增加的对角线条数为：(k13)1k1，f(k1) k(k3)k1 (k2k2) (k1)(k2) (k1)故nk1时，命题也成立由(1)(2)知，对n4，nN*命题成立,先求值再用数学归纳法证明,是否存在常数a，b，c使得等式122232n(n1)2 (an2bnc)对一切nN*都成立?并证明你的结论,分析：本题是探索性问题，应先探索a，b，c，再证明
10、,解析：假设存在a，b，c使等式成立，这时令n1，得4 (abc)；令n2，得22 (4a2bc)；令n3，得709a3bc.整理，得方程组解得，a3，b11，c10.于是，n1,2,3时，下面等式成立：122232n(n1)2， (3n211n10),设Sn122232n(n1)2，假设nk(k1，kN*)时上式成立，即Sk (3k211k10)，则当nk1时，Sk1Sk(k1)(k2)2 (3k211k10)(k1)(k2)2 (3k25k12k24) .,这就是说nk1时也成立综上所述，当a3，b11，c10时，等式对一切nN*成立点评：数学研究与发现往往包括两个要素发现结论与证明结论，
11、发现结论往往通过合情推理，结论的正确性需要通过逻辑证明来确认,5试比较n2与2n的大小(nN*),跟踪训练,证明：当n1时，2112，即2nn2；当n2时，2222，即2nn2；当n3时，2352，即2nn2；当n6时，2662，即2nn2.,猜想：当n5时，2nn2 下面用数学归纳法证明猜想成立(1)当n5时，由上可知猜想成立(2)设nk(k5，kN*)时，猜想成立，即2kk2那么，2k122k2k2k2k2k2(2k1)(k1)2，即nk1时猜想也成立根据(1)(2)知，n5时，2nn2.,已知数列an中，a1 ，其前n项和Sn满足anSn 2(n2)，计算S1，S2，S3，S4，猜想Sn
12、的表达式，并用数学归纳法加以证明,归纳、猜想与证明,6已知数列an满足an1an4，a12.试猜想数列an的通项公式，并用数学归纳法证明,跟踪训练,解析：由an1an4，a12得a12412，a26422，a310432，.猜想数列an的通项公式为an4n2.下面用数学归纳法证明：(1)当n1时，a12，由上知猜想成立(2)假设当nk(kN*)时猜想成立，即ak4k2.那么，当nk1时，ak1ak4(4k2)44k24(k1)2.即当nk1时猜想也成立根据(1)(2)可知，猜想对任何nN*都成立,1用数学归纳法证明“2nn21对于nn0的自然数n都成立”时，第一步证明中的起始值n0应取()A2
13、B3C5D6,C,解析：要注意末项与首项，所以f(n1)f(n) .答案：D,C,4用数学归纳法证明“1aa2an1 (a1)”，在验证n1时，左边计算所得的项为()A1 B1aC1aa2 D1aa2a3,C,5已知n是正偶数，用数学归纳法证明时，若已假设nk(k2且为偶数)时命题为真，则还需证明()Ank1时命题成立 Bnk2时命题成立Cn2k2时命题成立 Dn2(k2)时命题成立,解析：因n是正偶数，故只需证等式对所有偶数都成立因k的下一个偶数是k2，故选B.答案：B,6利用数学归纳法证明不等式 时，由k递推到k1时，左边应添加的因式是(),C,7用数学归纳法证明等式12222n12n1(
14、nN*)的过程如下：当n1时，左边201，右边2111，等式成立假设nk(k1，且kN*)时，等式成立，即12222k12k1.则当nk1时，12222k12k 2k11，所以当nk1时，等式也成立由知，对任意nN*，等式成立上述证明中的错误是_,没用上归纳假设,8在数列an中，a1a21，当nN*时，满足an2 an1an，且bna4n.求证：bn的各项均为3的倍数,证明：(1)a1a21，故a3a1a22，a4a2a33，b1a43，当n1时，b1是3的倍数,(2)假设nk(k1，kN*)时，即bka4k是3的倍数，则当nk1时，bk1a4(k1)a4k4a4k3a4k2a4k2a4k1a
15、4k1a4ka4k1a4ka4k1a4k1a4k3a4k12a4k，3a4k1，a4k都是3的倍数，(3a4k12a4k)是3的倍数nk1时，命题成立由(1)(2)可知，对于nN*，bn的各项都是3的倍数,9用数学归纳法证明：122232n2 .,(1)证明：当n1时，左边121，右边 1，等式成立,10在数列an中，a11，an1 (nN*)(1)试求a2，a3，a4；(2)由此猜想数列an的通项公式an；(3)用数学归纳法加以证明,1数学归纳法是一种证明某些与自然数有关的命题的方法2数学归纳法的两步密切相关、缺一不可3运用数学归纳法证明第二步时，一定要利用归纳假设,特别提示：(1)(归纳奠基)是递推的基础找准n0.(2)(归纳递推)是递推的依据设nk时命题成立作为必用的条件运用，而nk1时情况则有待利用假设及已知的定义、公式、定理等加以证明第二步中证明nk1命题成立是全局的主体，力求详细，不可随意省略. 方法：“凑”成nk时的形式(这样才好利用归纳假设)(3)第三步是总体结论，也不可少,感谢您的使用，退出请按ESC键,本小节结束,
