1、微分中值定理与导数的应用,中值定理,洛必达法则,泰勒公式,导数的应用,学习重点,理解罗尔定理,掌握拉格朗日中值定理及其推论,罗尔定理 Rolle Theorem,(1) 在闭区间 上连续,(3),罗尔定理的几何意义,连续曲线 y = f (x)的弧AB除端点外处处具有不垂直x轴的切线，且两个端点的纵坐标相等，则曲线弧上至少存在一点C，使得曲线在该点处的切线是水平的.,罗尔定理的证明,证明 因为函数在a,b上连续，所以函数在a,b上一定有最大值M和最小值m.,如果M=m，则,则在区间内部的任何点处，都有,如果mM，则在区间内部至少有一点 ，使得,不妨设,则,所以,例1 验证函数 在区间 上满足罗
2、尔 定理，并求出定理中的 值。,解 因为函数在 上连续，在 内可导，且,所以，函数在 上满足罗尔定理,而,令,得,所以， 即为所求的点。,拉格朗日中值定理 lagrange Theorem,几何意义:,连续曲线 y = f (x)的弧AB除端点外处处有不垂直x轴的切线，则弧上至少至少存在一点 ，使得曲线在点 处的切线平行弦AB。,拉格朗日定理的证明,证明 作辅助函数,则 在 上连续，在 内可导，且,所以由Rolle定理，可知：在 内至少存在一点 ，使得,即,所以，在 内至少存在一点 ，使得,推论：如果函数 f (x)在区间I上的导数恒为零，那末 f (x) 在区间I上是一个常数,证明,则由拉格朗日中值公式，得,在由已知条件可知： 在 上连续，在 内可导,所以,拉格朗日中值定理在微分学中的重要性,拉格朗日中值定理公式：,此公式给出了当自变量取得有限增量 x ( 不一定很小) 时, 函数增量y的准确表达式.,拉格朗日中值定理也称为微分中值定理,即,在由 与 构成的区间上应用，则有,由Lagrange中值定理可知,例2,解,因为,所以,即,所以 即为所求。,练习,解答,例3 证明,证明 令,则 在 内满足Lagrange中值定理,而,所以,而,所以,构造有关的函数,确定应用区间,应用Lagrange定理,计算导数后的等式,转化为不等式,例4,解,所以,即,所以,解题思路：,
