1、讨论直线斜率是否存在之避免技巧洪湖 伍强华用常规方法求有些直线的方程时，常要分直线的斜率存在与不存在两种情况讨论，这样解题过程就有些复杂，我们极易忽略斜率不存在的情况，造成失分.为此，本文将介绍避免讨论直线斜率是否存在的两个技巧.一、巧用向量解答解析几何题时应用向量共线或垂直的充要条件常常可以巧妙的避免讨论直线斜率是否存在.例 1 过抛物线 y =4x 的焦点 F 作两条相互垂直的弦 AB，CD设弦 AB，CD 的中点分别为 M，N，求证直线 MN 必过定点.分析:设点 M 为 ,N 为 ，点 F 的坐标为（ 1，0 ），设直线 AB 的方程为 ，将 代入 中，得 , , , .点 M 坐标为
2、 .设直线 CD 的方程为 ,同理可得点 N 坐标 为 .解答至此，以下部分许多同学可能就会先求直线 MN 的斜率，再写出直线的方程 .但 k=1 时直线 MN 的斜率不存在，用这种做法必须分 MN 斜率存在与不存在两种情况讨论.如果我们能巧妙的利用共线向量定理的充要条件，则可以避免上述讨论.解法如下：设点 P 为直线 MN 上任一点，则 , = .又 与 共线， .化简可得直线 MN 的方程为 ,直线 MN 恒过定点（ 3，0）.点拨：这类题的解题要点是设点（ ）为所求直线上的任意一点，再利用向量共线或垂直的充要条件列一个关于 ， 的方程，加以化简整理可得所求直线方程.二、巧设直线方程已知直
3、线 过定点 P 且倾斜角 ，如果设直线方程为则多有不便，因为直线 的倾斜角为 时，直线方程不能用上式表示，此时不防巧设直线方程为 .特别地，当直线 过点（n，0）且直线的倾斜角（0， ）时，可以设其方程为 .例 2 已知椭圆 T： ,直线 过椭圆左焦点 F ，且不与 轴重合，直线 与椭圆交于点 P，Q，直线 绕着 F 旋转，与圆 O： 交于 A，B 两点，若,求F PQ 的面积 S 的取值范围（F 为椭圆右焦点）.解：直线 PQ 不与 轴重合， 可以设直线 PQ 的方程为 .设点 P，Q . = ， =2 又 ， .将 代入 中，消去 ，得 . = , . + = = =设 , ；设 ,当 时
4、 为增函数， 又S= ， .所以 S 的取值范围是 .点拨：此解法抓住直线 PQ 的倾斜角属于（ ），巧设其方程为 ，使运算得到很大的简化.若用常规方法做则要分斜率存在与不存在两种情况讨论.数学学习中做大量的习题是必不可少的，但是在解题的同时我们还要注意总结，提炼其中的方法，这样才能触类旁通，提升解题能力.【巩固练习】1已知圆的方程是 ，求经过圆上一点 M 的切线的方程.已知曲线 C 的方程为 （ 2 ），若过点 M（2，0）作两条射线，分别交点 C 的轨迹于点 P、Q，且 =0，求证直线 PQ 必过定点.【参考答案】1 （提示：设点 P 为切线上任意一点，则 ）2提示：设直线 PQ 的方程为 ，求出 的值为 ，所以直线 PQ 过定点（ ，0）.
