1、2016 年杭州市第一次高考科目教学质量检测 理科数学试题参考答案及评分标准 一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分 1 B 2 A 3 D 4 A 5 B 6 C 7 B 8 B 二、填空题： 本大题共 7 小题， 多空题每题 6 分，单空题每题 4 分， 共 36 分 9 5 10 ln3， 1 e 11 2， 0 12 (2,2)， x y 0 13 32 ， 66 14 12 15 43 三 、 解答 题： 本大题共 5 小题，共 74 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 16 （本题满分 15 分） 证明 （ 1） 在 ABC 中， 由 正弦定理 sin
2、 sinbcBC ， 得 (1 3 )sinC 2sinB， 又因为 2sinB 2 5sin6 C cosC 3 sinC， 所以 sinC cosC， 即 C 4 ； 7 分 （ 2） 因为 CBCAuuur uur 22 ab，所以 ab 2 (1 3 ) 由正弦定理得 2 a c， 由余弦定理 c2 a2 b2 2abcosC， 得 c2 a2 b2 2 ab 12 c2 2(1 3)4 c2 2(1 3 ) 332 c2 2(1 3 )， 解得 c 2， 所以 a 2 ， b 1 3 8 分 17 （本题满分 15 分） （ ）证明 过点 A 在平面 A1ABB1内作 AD A1B
3、于 D， 因为 面 A1BC 面 A1ABB1， 面 A1BC面 A1ABB1 A1B， 所以 AD 面 A1BC， 又 因为 BC 平面 A1BC， 所以 AD BC 因为 AA1 平面 ABC， A1 B1 C1 A B C （第 17 题图） D 所以 AA1 BC 又 因为 AA1AD A， 所以 BC 侧面 A1ABB1， 又 因为 AB 面 A1ABB1， 故 AB BC 8 分 （ ）连 CD，由（ ）知 ACD 是直线 AC 与平面 A1BC 所成的角， 又 ABA1是二面角 A1 BC A 的平面角 设 ACD ， ABA1 在 RtADC 中， sin ADAC ， 在 R
4、tADB 中， sin ADAB 由 AB AC， 得 sin sin， 又 0 ， 2 ， 所以 7 分 18 （本题满分 15 分） 解： （） 因为 a1 12 ， 且 an 1 an 2na 1 0， 所以 an 0， 由条件得： 1nnaa an 1na 1 3 7 分 （ ） 由 （）得113nnaa ，即11 1 13nnaa ， 所以121 1 1nnS a a a 211 1 1 11 1 1 1 1 1 13 3 3 na a a a ， 111 1 1(1 )33na 13(1 3n 3 8 分 19 （本题满分 15 分） 解 ： （ ） 设 A(a， 0)， B(0,
5、b)， C(x,y)，则 BAuur (a， b)， ACuur (x a， y) 所以 x a ayb ， 消去 a， b，得 点 C 的轨迹 为： 22221( 1)xy 6 分 （ ） 设点 E， F， K 的横坐标分别为 xE， xF， xK， 设点 D(s,t)， 则直线 PQ 的方程为 ：2( 1)sx2ty 1 设直线 m 的方程： y kx b， 所以 t ks b 计算得 xK 2221( 1)t bstk 将直线 m 代入椭圆方程 ， 得 ( 22k21( 1)x222kbx 22b 1 0， 所以 xE xF2 222( 1)kbk， xExF 222 22( 1)bk，
6、 所以 | | | | | | |DK DKDE DF | | | | | | |D k D kD E D Fx x x xx x x x 22221 | 2 ( ) | | ( ) |( 1 )D F ED D F E F Et bx x xsst x x x x x xk 2 9 分 20 （本题满分 14 分） 解 ： （ 1） 因为 a 2b c 0， c b a， 所以 a 0， c 0 又因为 a 2b b a， 所以 13 ba 1； 又因为 函数 y f (x)的图 象 与直线 y a 有 交 点 所以 方程 ax2 2bx c a 0 有实根 ，即 4b2 4a(c a) 4
7、b2 8ab 0， 所以 24ba 8ba 0，知 ba 2 或 ba 0， 综 上 可得 0 ba 1； 7 分 （ 2）因为 点 A 与点 D、 点 B 与点 C 关于对称轴对称 ， 设 | AB | | CD | m， | BC | n， 因为线段 AB， BC， CD 能 构成钝角三角形 ， 所以2 2 2m m nm m n ， 得 n 2m 2 n， 故 2n 2m n ( 2 1)n， 所以 2| BC | | AD | ( 2 1) | BC | 设 x1， x2是方程 ax2 2bx c a 0 的两根 ， 则 | BC | 248bbaa 设 x3， x4是方程 ax2 2bx c a 0 的两根 ， 所以 | AD | 24 8 8bbaa 所以 2 248bbaa 24 8 8bbaa ( 2 1) 248bbaa， 解之得 1 42 ba 1 153 7 分
