1、中国农业工程学会 2005 年学术年会论文集 49 GPS 经纬度坐标转平面坐标的简化计算方法及精度分析 肖体琼1,陈怡群1,常春1（1.农业部南京农业机械化研究所，南京 210014） 摘 要 ： GPS 技术应用于农机作业定位时需要将经纬度坐标转换为地平面上的直角平面坐标，通常用于坐标转换的公式十分复杂，由于农田的面积有限完全可以将这些公式简化。简化后的公式所产生的误差也可以用理论计算的方法分析得出。在 10 公里 10 公里的范围内，简化计算所产生的误差完全可以满足实际作业的需要。 关键词 ： GPS；精准农业；坐标转换；计算方法 中图分类号 ： S126 0 引 言 GPS 定位技术应
2、用于精准农业，特别是用于农田信息采集和作业时，为了方便地计算距离和速度，常常需要将 GPS 测定到的经纬度坐标数据转换为以地平面上平面直角坐标系中的 X、 Y 坐标。通常我国地图测绘工作中采用的是高斯 -克吕格投影法来将椭球面上的经纬度坐标转为平面坐标， 标准的高斯 -克吕格投影法转换公式比较复杂，且理论上经、纬度线都是弧线，各经、纬线之间也不平行。而精准农业中涉及的农田相对大幅的地图而言，一般面积都比较小，此时是否还需要使用这样复杂的公式？如果用平面直角坐标系来代替经、纬度为弧线且不平行的坐标系，会产生多大的误差？本文将从理论上分析这两个问题。 1 简化计算的方法 1.1 标准地球模型 地球
3、的形状近似于一个两极略扁，赤道处半径最大的椭球，形成这种椭圆是太阳和月亮对地球赤道左右膨胀的引力和地球自转的结果。以海平面为基准面，地球自然表面的凸凹以高程来描述，就可以用椭球面来描述地球的表面1。 GPS 中所使用的标准地球模型是美国国防部颁布的 WGS-84 坐标系统，该坐标系采用的地球椭球称为 WGS-84 椭球。在这个模型中地球平行于赤道平面的横截面是个圆，而垂直于赤道平面的地球横截面是个椭圆。赤道圆的平均半径为 6,378,137m，也就是这个椭圆的长轴，椭圆的短轴就是地球两极间的距离，在WGS-84 中半短轴的长度为 6,356,752m2。通常情况下，用 GPS 设备测定地球表面
4、上的一个点时，用经、纬度和收稿日期： 修订日期： 项目基金：项目名称（编号） 作者简介：肖体琼（ (1974） ，女（汉） ，四川万源人，工程师，工学士，主要从事农业机械研究。南京市中山门外柳营 100 号， 210014。Email: 高度来描述这个点的位置。由于农田一般是水平的或者只有很小的坡度，所以在简化计算是忽略高度差变化对两点间距离的影响。 图 1 简化计算的坐标系 Fig.1 Coordinates model for simplified calculation 1.2 简化计算的坐标系 既然地球表面被简化为一个椭球体表面，那么从数学上讲这是一种不能展开的曲面。 为了绘制地图的需
5、要，测绘学中用各种办法将这种曲面近似地展开为平面。我国测绘学界常用的展开方法是用高斯 -克吕格投影法。 用这种方法可以展开大区域的地图，但这种情况下图中的经、纬线已不是一条直线了，其计算公式也比较复杂。考虑到 GPS 在精准农业应用中， 所测定的农田面积相对比较小，所以应该完全可以用直线来代替曲线，从而得到比较简单的简化计算公式。 在这个简化计算的模型中，我们规定， X 轴是一条沿纬线方向的线； Y 轴为一条沿经线方向的线，在一个相对小的范围内，可以认为这两个方向的线是相互垂直的，且各条经、纬线之间是相互平行的。以图 1 所示为例，在测定的区域内确定一个点（ O 点）做为平面直角坐标系的原点，
6、那么，区域内任意一点（ C 点）沿纬线方向偏离此原点的距离 OA 就是50 中国农业工程学会 2005 年学术年会论文集 这一点的 Y 坐标值，沿经线方向偏离原点的距离 OB 是其 X 坐标值。 图 2 经线截面示意图 Fig.2 Expression of parameters in meridian 1.3 沿经线方向的距离 OA 图 2 所示是沿 OA 线段所在的经线截取椭球得到的截面线，这个截面线是一个椭圆。 OA 实际上是这个椭圆上的一段弧长。求椭圆弧长要用椭圆积分，公式十分复杂。由于这段弧长相对整个椭圆来说很短，所以在我们的简化计算中用直线来代替。这样问题就变为求 OA段的直线长度
7、。首先求出图 2 中 O、 A 两点的直角坐标xo、 yo和 xA、 yA，这两组值可以通过椭圆方程和纬度的定义计算得出。地球上某点纬度的定义是该点沿椭球表面的法线方向与赤道圈平面的夹角， 在图 2 中就是 O 点法线与 X 轴的夹角。 椭圆方程为： 12222=+byax（ 1） 过椭圆上 O 点（ xo, yo）的切线方程为： 122=+ ybyxaxoo（ 2） 设 O点的纬度为 Bo， 那么根据纬度的定义和式 （ 2） ，可以得出： 22aybxctgBooo=（ 3） 利用式（ 1） 、 （ 2） 、 （ 3） ，可以得出椭圆上 O 点的坐标与该点纬度值的关系： Botgbaaxo2
8、222+=（ 4） Boctgabbyo2222+=（ 5） 其中： a地球椭球长半轴； b地球椭球短半轴； Bo O 点的大地纬度。 用同样的方法，也可以求出 A 点的坐标 xA、 yA。利用这两点的坐标最后就可求出 OA 直线段的长度： 22)()(oAoAyyxxOA +=（ 6） 式（ 4） 、 （ 5） 、 （ 6）表示了图 1 所示坐标系中某点的 Y 坐标与该点的纬度的关系。 1.4 沿纬线方向的距离 OB 从图 1 可见， OB 是沿纬度圈上的一段弧长，而纬度圈是一个圆，所以只要求出 O 点上纬度圈的半径，弧长就很容易计算了。从图 2 可以看出， O 点的纬度圈半径就是这个椭圆截
9、面上 O 点的 X 坐标 xo,式（ 4）已经给出了这个值的计算公式。 因此最后可以得出 OB 距离： OX xo LOB（ 7） 其中： LOB O 点到 B 点的经度差。 式（ 7）表示了图 1 所示坐标系中某点 X 坐标与该点经、纬度的关系。与 Y 坐标计算不同的是： X 坐标值的计算与该点的经、纬度都有关系。 一些文献中给出纬度圈的半径 R 为BN cos3， 其中 N 为卯酉圈的曲率半径： BBeaBNR cossin1cos22=（ 8） 式中：2221abe =比较式（ 4）和（ 8） ，两者的计算结果是一致的。 2 简化计算结果的误差分析 2.1 沿纬线方向距原点距离（X 坐标
10、）误差分析 在简化计算中，我们假设将图 1 中的经、纬度线展成平面时是一个矩形（如图 3 a 所示） ，也就是说认为弧AC 与弧 OB 长度相等，但事实上展开后却应该是一个近似的梯形（如图 3 b 所示） ，因为这个坐标系中某点的X 坐标是与纬度有关的。这个误差是将球面的经纬度坐标系展成平面的直角坐标系无法避免的。以下分析这个误差的具体数值。 中国农业工程学会 2005 年学术年会论文集 51 图 3 坐标转换中产生的误差 Fig.3 The map of the exhibition of the error due to coordinates transformation 由式（ 7）和
11、（ 8）可知， AC 或 OB 的长度 S 的计算公式为： LBtgbaaLBBeaLBNS +=222222cossin1cos（ 9） 其中： L 为两点的经度差， B 为所在点的纬度值。从式中可以看出不同点的纬度不同， S 也会随之变化。设 AC 和 OB 之间的长度差为 S，利用式（ 9）可得出： 11221sin1tgBaBeSSS （ 10） 其中： S1 AC 和 OB 间的距离，即 OA 的长度； B1为 AC 线段所在位置的纬度值。 分析式（ 10） ，可以看出，在一个测定区域中， X坐标的最大相对误差 S/S 与两个因素有关： （ 1）测定点的纬度（式中的 B1） ，纬度越
12、高，误差越大； （ 2）测定点沿南北方向到原点的距离（ OA） ，距离越大，误差越大。表 1 中列出了在我国不同纬度地区，测定点沿南北方向到原点的距离分别为 1km 和 10km 时， X 坐标可能产生的最大误差值。表中的数据是将坐 标原点的放在区域最北端的区域角点上计算出来的。 表 1 不同纬度上 X 坐标可能产生的最大误差 Table 1 Possible maximal error of coordinates X under different values of latitude 1km1km 区域内的最大误差 10km10km 区域内的最大误差 地点 纬度B1 纬度圈半径 /km
13、相对误差 S/S 绝对误差 S/m 相对误差 S/S 绝对误差 S/m 漠河 53.48 3803.88 0.000211 0.211 0.002112 21.127 佳木斯 46.83 4371.49 0.000167 0.167 0.001668 16.683 北京 39.9 4899.84 0.000131 0.131 0.001309 13.091 南京 32.04 5411.70 0.000098 0.098 0.000980 9.803 广州 23.16 5867.16 0.000067 0.067 0.000670 6.703 海口 20.02 5995.08 0.000057
14、0.057 0.000571 5.710 由表 1 可以看出，测定区域比较大的时候， X 方向的坐标转换误差还是比较大的。另外纬度较高的地区误差相对也要大一些。 2.2 沿经线方向距原点的距离（Y 坐标）误差分析 Y 坐标的误差是由于以弦长代替椭圆弧长而产生的。首先我们先分析以圆弧代替椭圆弧产生的误差。根据有关文献我们知道，当经线弧长为 45 400 公里时，椭圆弧长的公式可以写为3： )2cos)(81)(212212 mmBBBeBBMS +=椭（ 11） 其中：221BBBm+=，是测定区域的平均纬度； 23222)sin1()1(mmBeeaM=，是纬度为 Bm点的子午圈曲率半径； 2
15、222abae= =0.006694478，为第一偏心率。 可以看出式中含有 e2的项是一个远远小于 1 的数，经计算，当纬度方向距离为 10km 时，这一项小于210-9；当纬度方向距离 1km 时，小于 210-11。 所以，以上椭圆弧公式可以简化为： )(12BBMSm=椭（ 12） 等式左面实际就是圆弧的计算公式，所以不难看出，当 S 椭 距离较小时，可以将它视为球面上的弧，其中心角等于弧两端点的纬度差，球的半径等于该弧中点的子午圈曲率半径。 52 中国农业工程学会 2005 年学术年会论文集 下面再考虑以弦长代替圆弧产生的误差。经计算，当纬度方向距离 10km 时，用弦长代替弧长产生
16、的相对误差小于 210-7，绝对误差小于 0.0002 米；当纬度方向距离 1km 时，用弦长代替弧长产生的相对误差小于210-9，绝对误差小于 0.000002 米。 由以上的分析可以看出，在小范围内进行测定时，简化计算给 Y 坐标带来的误差是非常小的， 完全可以忽略不计。相比之下 X 坐标的转换计算误差要大得多，但这个误差是由于这种曲面展开方式本身造成的，无法纠正。好在农田测定应用中的测定区域一般不会太大，测定点到坐标原点的距离也不会太远，所以这样的误差还是可以接受的。 表 2 各纬度处每公里可能产生的最大误差 单位：m/km Table 2 Possible maximal error
17、per kilometre under different values of latitude 测定点在南北方向距离原点的距离 地点 1km 2km 3km 4km 5km 8km 10km 漠河 0.211 0.423 0.634 0.845 1.056 1.690 2.113 佳木斯 0.167 0.334 0.501 0.667 0.834 1.335 1.668 北京 0.131 0.262 0.393 0.524 0.655 1.047 1.309 南京 0.098 0.196 0.294 0.392 0.490 0.784 0.980 广州 0.067 0.134 0.201 0
18、.268 0.335 0.536 0.670 海口 0.057 0.114 0.171 0.228 0.285 0.457 0.571 3 结论 本文介绍了一种将地球的经纬度坐标转换为地球表面上的平面直角坐标的计算方法，并对用这种方法计算产生的误差进行了分析。 这种方法可以用于将 GPS 测定的经纬度数据转换为农田规划或农机作业中所需要的平面直角坐标。误差能够满足几公里范围内农田位置测定的需要。 参 考 文 献 1 武汉测绘学院测量学编写组.高等学校教材 测量学（修订本）上册 Z. 1985.5-12. 2 李天文.GPS 原理及应用 M.科学出版社 ,2003.23-32 3 克拉索夫斯基.
19、大地测量学(下卷第一分册 ) M.北京:测绘出版社,1958.43-52 A simplified calculating formula and accuracy analysis of the conversion from geographic coordinates to rectangular coordinates Xiao Tiqiong, Chen Yiqun, ChangChun (Nanjing Research Institute for Agricultural Mechanization Ministry of Agriculture, Nanjing 210014,
20、China) Abstract: It is necessary that transforming from geographic coordinates into geodetic coordinates in order to implement GPS technology in precision agriculture. Ordinarily ,the calculating formula for coordinate transformation is complex. It can be simplified because of the local farmland. Th
21、e error of the simplified formula can be calculated based on corresponding theory. In this paper, it shows that the error due to the simplified formula can be ignored in a square region ,which is equal to 100 kilometre square. key words: GPS; Precision agriculture; Coordinate transform; Calculating formula
