1、1三、三重积分在球坐标系中的计算的球面坐标就叫做点，个数面上的投影，这样的三在点为的角，这里段逆时针方向转到有向线轴按轴来看自为从正轴正向所夹的角，与为有向线段间的距离，与点点为原来确定，其中，三个有次序的数可用为空间内一点，则点设MrxoyMPOPxzzOMMOrrMzyxM),( ,r 0 .20 ,0 规定：为常数r为常数为常数如图，三坐标面分别为半圆锥面；球面；半平面.cos,sinsin,cossinrzryrx球面坐标与直角坐标的关系为如图，Pxyzo),( zyxMrzyxA，轴上的投影为在点，面上的投影为在设点AxPPxoyM., zPMyAPxOA 则2222 rzyx dx
2、dydzzyxf ),(.sin)cos,sinsin,cossin( 2 ddrdrrrrf球面坐标系中的体积元素为,sin2 ddrdrdVdrxyzodrdsinrrdddsinr如图，球坐标中的定限问题：.20,D0D,DxoyV 11110则的范围。若平面极坐标定按对面投影，得向的限：将关于。则角的取值范围。若标确定按平面极坐对相交，得截面域半平面与轴作一过的限：对固定的关于0,D0D,DVz),( 22220).,(),(rV,),(rrV,),(rr),(),(),(r 3212121210rr则穿出域从穿进域射线从从原点出发作射线，此的限：对固定的关于dxdydzzyxf ),
3、(drrrrrfdd rr sin)cos,sinsin,cossin(2)()(),(),(2112特例.,0,020:),(2222Rr,Rzyx 则为若dxdydzzyxf ),( 0 0 220 sin)cos,sinsin,cossin(R drrrrrfdd2例5 计算 dxdydzyxI )( 22 ，其中是锥面222 zyx ， 与平面 az )0( a 所围的立体. 解1 采用球坐标系 az ,cos ar222 zyx ,4,20,40,cos0: ar dxdydzyxI )( 22drrdda 40cos03420 sin da )0cos(51sin2 55403.1
4、0 5a解2 采用柱坐标系 ,: 222 ayxD dxdydzyxI )( 22 aa dzdd 2020 a d)a(0 32 54254 aaa .10 5a222 zyx ,z ,a,az: 200 例6 求曲面 2222 2azyx 与 22 yxz 所围 成的立体体积. 解 由锥面和球面围成， 采用球坐标系， 由 2222 2azyx ,2ar 22 yxz ,4,20,40,20: ar由三重积分的性质知 dxdydzV , a drrddV 20 2020 sin4 4033)2(sin2 da .)12(34 3a例722220).(t ,)(1lim 0,f(0)f(u)2
5、2250ttzyxdxdydzzyxft求有一阶连续导数，设函数解 2222)( 222tzyxdxdydzzyxf 20 0 0 22 sin)(t drrrfdd t drrrf0 22 )(432222)(1lim 22250 tzyxtdxdydzzyxft50220)(4lim tdrrrftt 4220 5)(4limtttft220 5)(4limttft ttftt 10)(8lim 20)0(54 f 例8的值。并任选一种方法计算中的累次积分，在柱坐标系与球坐标系试写出已知IIdxI222222432221111-dzzyxzdy yxyxxx 解 由累次积分的上、下限可知，
6、积分区域在xoy面上的投影为1: 22 yxDxy所以在柱坐标系中 20 10 43222dzzzddI在球坐标系中 20 60 20 4 cossin drrddI 2036sin104 cossin drrdd显然采用柱坐标计算较简单。 20 10 43222dzzzddI 20 10 4322222)(21 zdzdd 20 10 3 )3388(31 dd)31584(32 例9种不同的方法）。在第一卦限部分（用三为球体，其中求 1222 zyxVxyzdxdydzIV解 采用直角坐标系VxyzdxdydzI 10 10 102 22x yxxyzdzdydx 10 10 222)1(
7、21x dyyxxydx 10 10 22222 )1()1(41x yxdyxxdx 10 10 222 )1(21x dyyxxydx 10 22 )1(81 dxxx 481在柱坐标系下VxyzdxdydzI 20 10 10 22cossin zdzdd4 20 10 10 22cossin zdzdd 20 10 23 )1(21cossin dd 20 10 23 )1(cossin21 dd)6141(2121 481在球坐标系下VxyzdxdydzI 20 20 10 223 sincoscossinsin drrrdd 20 20 10 53 cossincossin drr
8、dd481614121 选用不同的坐标系计算三重积分的过程繁简是不同的，一般原则：积分较方便；计算三重的形式时，采用柱坐标域，被积函数具有某坐标面上的投影是圆在，或是圆柱形或圆锥形区域当积分域)()1(22 yxfVV积分比较方便；系计算三重的形式时，采用球坐标区域，而被积函数具有当积分域是与球有关的)()2(222 zyxf (3)其他平面或抛物面构成的区域，可选用直角坐标系。补充：利用对称性化简三重积分计算使用对称性时应注意：、积分区域关于坐标面的对称性；、被积函数在积分区域上的关于三个坐标的一般地，当积分区域关于xoy 平面对称，且被积函数 ),( zyxf 是关于z 的奇函数，则三重积
9、分为零，若被积函数 ),( zyxf 是关于z 的偶函数，则三重积分为在xoy平面上方的半个闭区域的三重积分的两倍. 奇偶性例10 利用对称性简化计算 dxdydzzyxzyxz1)1ln(222222其中积分区域 1|),( 222 zyxzyx . 解积分域关于三个坐标面都对称，被积函数是 的奇函数,z.01 )1ln( 222222 dxdydzzyx zyxz解 2)( zyx )(2222 zxyzxyzyx 例11 计算 dxdydzzyx 2)( 其中是由抛物面 22 yxz 和球面 2222 zyx 所围成的空间闭区域. 其中 yzxy 是关于y的奇函数, 且关于zox面对称,
10、 0)( dvyzxy ,同理 zx 是关于x 的奇函数, 且关于yoz面对称, ,0 xzdv5则 dxdydzzyxI 2)( ,)( 222 dxdydzzyx在柱面坐标下： ,20 ,122 yx投影区域 xyD ： 222 222010 )( dzzddI).89290(60 ,10 ,z 22 2 三重积分也有类似二重积分的换元积分公式:),(),(wvuzyxJ对应雅可比行列式为 * ddd),(ddd),( wvuJwvuFzyxzyxf利用先二后一计算. zyxV ddd zDc yxz ddd2 0abc 34 c zczab0 22d)1(2222221: czbyaxD
11、z 例12. 试计算椭球体 1222222 czbyax 的体积 V.解法1解法2 利用三重积分换元法. 令 cos,sinsin,cossin rczrbyrax则),(),(rzyxJ ,sin2 rcba : zyxV ddd rJ dddabc abc 34 rrabc dddsin2rr d10 2 0 dsin 20 d20010 r广义球坐标变换三重积分的计算1 在直角坐标系下的计算dxdydzdv （计算时将三重积分化为三次积分）四、小结坐标面投影法，坐标轴投影法画域，定限2 在柱坐标系下的计算dzdddv 如何确定积分限?3 在球坐标系下的计算 ddrdrdv sin2如何确定积分限?zzyxsincoscossinsincossinrzryrx4 如何选择适当坐标系？利用对称性6作业P133 3 (1)(3)(5)(7) 4(2)(3)(4) 5 7预习：重积分的应用
