1、1参数方程与极坐标参数方程知识回顾：一、定义：在取定的坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标 x、y 都是某个参数 t 的函数，即 ，其中，t 为参数，并且对于 t 每一个允许值，由方程组所确定的点)(fyxM（x，y）都在这条曲线上，那么方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系 x、y 之间关系的变数 t 叫做参变数，简称参数二、二次曲线的参数方程1、圆的参数方程：中心在（x 0，y 0） ，半径等于 r 的圆：（ 为参数， 的几何意义为圆心角） ，sinco0r特殊地，当圆心是原点时， sincoryx注意：参数方程没有直接体现曲线上点的横纵坐标之间的关系，而是分别体现了点的横纵坐标与参数间的关系
2、。Eg1：已知点 P（x，y）是圆 x2+y2-6x-4y+12=0 上的动点，求：（1）x 2+y2的最值；（2）x+y 的最值；（3）点 P 到直线 x+y-1=0 的距离 d 的最值。Eg2：将下列参数方程化为普通方程（1） x=2+3cos （2） x=sin （3） x=t+t1y=3sin y=cos y=t2+总结：参数方程化为普通方程步骤：（1）消参（2）求定义域2、椭圆的参数方程：中心在原点，焦点在 x 轴上的椭圆：（ 为参数， 的几何意义是离心角，如图角 AON 是离心角）sincobyax注意：离心率和离心角没关系，如图，分别以椭圆的长轴和短轴为半径画两个同心圆，M点的轨
3、迹是椭圆，中心在（x 0，y 0）椭圆的参数方程： sinco0byax2Eg：求椭圆 =1 上的点到 M（2,0）的最小值。2036yx3、双曲线的参数方程：中心在原点，焦点在 x 轴上的双曲线： （ 为参数，代表离心角） ，中心在tansecbyx（x 0，y 0） ，焦点在 x 轴上的双曲线： t04、抛物线的参数方程：顶点在原点，焦点在 x 轴正半轴上的抛物线：（t 为参数，p0，t 的几何意义为过圆点的直线的斜率的倒数）yx2直线方程与抛物线方程联立即可得到。三、一次曲线（直线）的参数方程过定点 P0（x 0，y 0） ，倾角为 的直线， P 是直线上任意一点，设 P0P=t，P 0
4、P 叫点 P 到定点 P0的有向距离，在 P0两侧 t 的符号相反，直线的参数方程 （t 为sinco0yx参数，t 的几何意义为有向距离）说明：t 的符号相对于点 P0，正负在 P0点两侧P 0P=t直线参数方程的变式： ，但此时 t 的几何意义不是有向距离，只有当 t 前面系btyax03数的平方和是 1 时，几何意义才是有向距离，所以，将上式进行整理，得 ，让 作为 t，则此时 t 的几何意义是有向距)(220tbaytxba2离。Eg：求直线 x=-1+3ty=2-4t，求其倾斜角.极坐标知识回顾：一、定义：在平面内取一个定点 O，叫做极点，引一条射线 Ox，叫做极轴，再选一个长度单位
5、和角度的正方向（通常取逆时针方向） 。对于平面内的任意一点 M，用 表示线段 OM的长度， 表示从 Ox 到 OM 的角， 叫做点 M 的极径， 叫做点 M 的极角，有序数对(, )就叫做点 M 的极坐标。这样建立的坐标系叫做极坐标系。练习:在同一直角坐标系中，画出以下四个点A（1， ）B（2， ）C（3，- ）44思考：上述点关于极轴以及极点的对称点说明：（1）极坐标有四个要素：极点；极轴；长度单位,即极径；角度单位及它的方向，即极角（2）在极坐标系下，一对有序实数 、 对应唯一点 P( ， )，但平面内任一个点 P 的极坐标不唯一，因为 具有周期.（3）如无特殊要求，则极径取正值.直角坐标
6、与极坐标的互化： 直角坐标（x，y） 极坐标（ ， ）xMO14=2yxtan =极坐标（ ， ） 直角坐标（x，y）x=cosy= in练习 1：将下列直角坐标化为极坐标A（1，-1） B（1，）练习 2：将下列极坐标化为直角坐标A（2， ） B（1，2）3练习 3：分别求下列条件中 AB 中点的极坐标（1） （4， ） （6，- ） ；（2） （4， ） （6， ）32二、直线的极坐标方程 或 + 00 cosacosa sinasina三、圆的极坐标方程 acos2acos2a00xOM图 1（ ， ） coaOM图 2 cosaaOM图 3sinOM图 4a sinaOM 图 5aaa
7、 xO M图 1 cos2aa xOM图 35 sin2asin2a四、圆锥曲线统一方程（椭圆、抛物线、双曲线）设 =POA，eMNOepcoscos1ep其中，当 01 为双曲线考点一：直线参数方程中参数的意义 1已知直线 经过点 ,倾斜角 ，l(1)P6（1）写出直线 的参数方程。 （2）设 与圆 相交与两点 ，求点 到l42yx,ABP两点的距离之积。,ABcoa xO M图 2sin2aaxOM图 4 sin2aaxOM图 56解：（1）直线的参数方程为 ，即1cos6inxty312xty（2）把直线 代入 得312xty42yx2231(1)()4,(31)20ttt，则点 到 两
8、点的距离之积为12tP,AB2过点 作倾斜角为 的直线与曲线 交于点 ，求0(,)21xy,MN的值及相应的 的值。PMN解：设直线为 ，代入曲线并整理得10cos()2inxtty为 参 数23(1sin)(s)tt则 所以当 时，即 ， 的122sinPMNt2sin12PMN最小值为 ，此时 。343直线 被圆 截得的弦长为 .()2xty为 参 数 29xy【解析】： ，把直线 代入151txtyy12xty得29x22(1)()9,5840ttt，弦长为221211164ttt1255t74直线 和圆 交于 两点，则 的中点坐标12()3xtty为 参 数 216xy,AB为_解：
9、，得 ，221()(3)16tt280t12128,4tt中点为4332xxyy考点二：用极坐标方程、参数方程研究有关的位置关系的判定1直线 与圆 相切，则 _。cosinxty42cosinxy2在极坐标系中，已知圆 与直线 相切，求实数0sin4c3a的值。a考点三：用极坐标方程、参数方程研究有关的交点问题1在极坐标系 中，曲线 与 的交点的极坐标20,sin21cos为_2.已知两曲线参数方程分别为 和 ，它们的交点5cos(0)inxy 25()4xtRy极坐标为 . 考点四：用极坐标方程、参数方程研究有关的距离问题一、1求直线 和直线 的交点 的坐标，及点1:()53xtly为 参
10、数 2:30lxyP与 的距离。P(,)Q2已知直线 与直线 相交于点 ，又点 ，1:()24xtly为 参 数 2:45lxyB(1,2)A则 _。AB83直线 被圆 截得的弦长为_。12()xty为 参 数 24xy二、距离最大最小问题4在椭圆 上找一点，使这一点到直线 的距离的最小值。216x210xy解：设椭圆的参数方程为 ，4cos23inxy4cos3in25d455csi2cs()3当 时， ，此时所求点为 。o()13min45d(2,)5点 在椭圆 上，求点 到直线 的最大距离和最小距离。P269xyP34xy解：设 ，则 即 ，(4cos,3in)12cosin25d12c
11、os()245d当 时， ；当 时，s()max()cos()14。min125d考点五：极坐标方程与参数方程混合1 在直角坐标系 中，直线 的参数方程为 （t 为参数） 。在极坐标系xoyl 23,5xy（与直角坐标系 取相同的长度单位，且以原点 O 为极点，以 x 轴正半轴为极轴）中，圆 C 的方程为 。25sin（）求圆 C 的直角坐标方程；（）设圆 C 与直线 交于点 A、B，若点 P 的坐标为l，求|PA|+|PB|。(3,5)【解析】 （）由 得 即25sin250,xy22(5).xy9（）将 的参数方程代入圆 C 的直角坐标方程，得 ，l 22(3)()5tt即 由于 ，故可设
12、 是上述方程的两实根，2340,tt2(3)4012,t所以 故由上式及 t 的几何意义得：|PA|+|PB|=12,5lPt又 直 线 过 点= 。12|+|132 在直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 为参数） ，M 为 上的xoy1C2cos(inxy1C动点，P 点满足 ，点 P 的轨迹为曲线 2OM2C（I）求 的方程；2C（II）在以 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线 与 的异于极31C点的交点为 A，与 的异于极点的交点为 B，求|AB|2解：（I）设 P(x，y)，则由条件知 M( ).由于 M 点在 C1上，所以,YX即 sin2,coyx sin4coyx
13、从而 的参数方程为 （ 为参数）2C4csixy（）曲线 的极坐标方程为 ，曲线 的极坐标方程为 。1 n2C8sin射线 与 的交点 的极径为 ，3A14si3射线 与 的交点 的极径为 。2CB28所以 .1|3AB3.已知直线 C1：Error!(t 为参数)，圆 C2：Error!( 为参数)(1)当 时，求 C1与 C2的交点坐标； 3(2)过坐标原点 O 作 C1 的垂线，垂足为 A，P 为 OA 的中点当 变化时，求 P 点轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线10解：(1)当 时，C1 的普通方程为 y (x1)，C2 的普通方程为 x2y 21. 3 3联立方程组Error!解得 C1与 C2的交点为(1,0)，( ， )12 32(2)C1的普通方程为 xsinycossin0.A 点坐标为(sin 2，cossin)，故当 变化时， P 点轨迹的参数方程为Error!( 为参数)P 点轨迹的普通方程为( x )2 y2 .故 P 点轨迹是圆心为( ，0)，半径为 的圆14 116 14 14
