1、14 向量的坐标运算一基础知识：向量的坐标表示：在直角坐标系中，分别取与 轴、 轴方向相同的两个单位向量 、xyi作为基底，任作一个向量 ，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数 、 ，使得j a xy。 叫做向量 的（直角）坐标。记作 。jyixa),( ),(yxa向量的坐标运算（1）若 ， ，则： ； ； ),(1),(2yxbbba。平面上两点间距离（）设 ，则 。),(yxa|a（）若向量 的起点坐标和终点坐标分别为 、 ，则 。),(1yx),(2|a这就是两点间的距离公式。向量的平行与垂直的坐标表示设 ， ，则 ； ； ),(1yxa),(2yxbbaabb二、基本题型：1若 ，
2、 ， ，则 = . (,)8(log3,1) 32x2.已知 ，其中 ，若 ，则 的值等sin2,sin2xbxa0,abtanx于 3.已知向量 a(m, n)，b(5, 1)，若向量 2a+b 与向量 a 2b 共线，则 m4.(2011 广东文 3)已知向量 ，若 为实数， ，则(1,)(,0)(3,4)ac()/abc= 5.（2011 重庆文 5)已知向量 ，且 与 共线，则 的值为 )2,(),(bkba。6.（2012 湖北文）已知向量 ， ，则（）与 同向的单位向量的坐)0,1(a),(2标表示为 ；（）向量 与向量 夹角的余弦值为_。b37已知平面向量 ， ， 则向量 。 （
3、填上正确序号）)1,(xa),(2xba2平行于 x轴；平行于第一、三象限的角平分线；平行于 y轴；平行于第二、四象限的角平分线。9已知向量 ， ， 则 = 。)1,2(a0b25|ba|10已知向量 ，若 不超过 5，则 的取值范围是 。 ),(,.k| k11已知向量 ，向量 ，则 的最大值、最小值分别是 sin(co)1,3(|ba、 。12若对 个向量 ，存在 个不全为零的实数 ，使得nna,21 nk,21成立，则称向量为“线性相关” 。依此规定能说明 ，021nkak )0,1(a， “线性相关”的实数依次可以取 。 （写出一组数值即),(2),(3可，不必考虑所有情况）13平面内
4、给定三个向量 ， ， ，回答下列问题：)2,3(a),1(b),4(c（1）求 ；（2）求满足 的实数 、 ；cba3nmn（3）若 ，求实数 ；（4）设 满足 且)(k)(k).(yxd)(cd)(ba，求 。|cdd17已知向量 ，向量 与向量 夹角为 ，且 。 （1）求向量 ；)1,(mnm43nn（2）若向量 与向量 的夹角为 ，向量 ，其中 、 为n0,q2)2cos,(CApA的内角，且 、 、 依次成等差数列。求 的取值范围。ABCABC|34 向量的坐标运算一基础知识：向量的坐标表示：在直角坐标系中，分别取与 轴、 轴方向相同的两个单位向量 、xyi作为基底，任作一个向量 ，由
5、平面向量基本定理知，有且只有一对实数 、 ，使得j a xy。 叫做向jyixa),(量 的（直角）坐标。记作 。),(yx向量的坐标运算（1）若 ， ，则： ； ； ),(1yxa),(2bbabaa。平面上两点间距离（）设 ，则 。),(yx|a（）若向量 的起点坐标和终点坐标分别为 、 ，则 。),(1yx),(2|a这就是两点间的距离公式。向量的平行与垂直的坐标表示设 ， ，则 ； ；),(1yxa),(2yxbbaabb二、基本题型：1若 ， ， ，则 = . (,1)ax8(log3,1)bab 32x1032.已知 ，其中 ，若 ，则 的值等sin2,sin2x0,abtanx于
6、 13.已知向量 a(m, n)，b(5, 1)，若向量 2a+b 与向量 a 2b 共线，则 5m4.(2011 广东文 3)已知向量 ，若 为实数， ，则(1,)(,0)(,4)ac()/abc4= 12解： ， )2,1()0,(ba()/abc34)1(5.（2011 重庆文 5)已知向量 ，且 与 共线，则 的值为 ),(),(kaab。46.（2012 湖北文）已知向量 ， ，则（）与 同向的单位向量的坐)0,1(),(b2标表示为 ；（）向量 与向量 夹角的余弦值为_。ab37已知平面向量 ， ， 则向量 。 （填上正确序号）)1,(x),(2xba平行于 x轴；平行于第一、三象
7、限的角平分线；平行于 y轴；平行于第二、四象限的角平分线。解： ab2(0,1),由 20x及向量的性质可知, 填。9已知向量 ， ， 则 = 。51ba25|b|解：由 52知（a+b） 2=a2+b2+2ab=50，得|b|=5 。10已知向量 ，若 不超过 5，则 的取值范围是 。),(),.(k|ak4,611已知向量 ，向量 ，则 的最大值、最小值分别是 )sin,(coa)1,3(b|2|ba、 。 （ ）0,12若对 个向量 ，存在 个不全为零的实数 ，使得nna,21 nk,21成立，则称向量为“线性相关” 。依此规定能说明 ，021nkak )0,1(a， “线性相关”的实数
8、依次可以取 。 （写出一组数值即),(2),(3可，不必考虑所有情况）解：由 ，得0321akak,0231k5 = ，即只需写出比值为 的一组数即可，1k23421421如 、 、 ，或 4、 、 。413平面内给定三个向量 ， ， ，回答下列问题：),3(a),1(b),(c（1）求 ；（2）求满足 的实数 、 ；cba3nmn（3）若 ，求实数 ；（4）设 满足 且)(k)(k).(yxd)(cd)(ba，求 。|cdd（1） ；（2） ；（3） ；（4） 或)6,0(959816)52,0(）),5(17已知向量 ，向量 与向量 夹角为 ，且 。 （1）求向量 ；1,(mnm43nn（2）若向量 与向量 的夹角为 ，向量 ，其中 、 为n)0,q2)2cos,(CApA的内角，且 、 、 依次成等差数列。求 的取值范围。ABCABC|解：设 ，由 ，有 。 ),(yxm11yx向量 与向量 夹角为 ，有 | | | ，n43n43cos| | ，则 。 12yx由解得 或 即 ，或 。,0.1,)0,(n)1,(n（2）由向量 与向量 垂直知 ，由 、 、 依次成等差数列，知 ，nq,ABC3B， 。3BAA32若 ，则 ，)1,0()12cos,(p)cos,( 。 ， ，2|pn)s0A3A235 ， ，即 ，)3cos(A21)cs(4)4,1|pn 。|pn5,6
