1、1高阶线性微分方程常用解法简介关键词：高阶线性微分方程 求解方法 在微分方程的理论中，线性微分方程是非常值得重视的一部分内容，这不仅因为线性微分方程的一般理论已被研究的十分清楚，而且线性微分方程是研究非线性微分方程的基础，它在物理、力学和工程技术、自然科学中也有着广泛应用。下面对高阶线性微分方程解法做一些简单介绍.讨论如下 n 阶线性微分方程： 11()()()nnnndxxdxatattftt（1） ，其中 （i=1,2,3, ,n）及 f(t)都是区间 上的连续函数，如()iat tb果 ，则方程（1）变为 ()0ft 11()()()0nnnndxxdxatattt（2） ，称为 n 阶
2、齐次线性微分方程，而称一般方程（1）为 n 阶非齐次线性微分方程，简称非齐次线性微分方程，并且把方程（2）叫做对应于方程（1）的齐次线性微分方程.1.欧拉待定指数函数法此方法又叫特征根法，用于求常系数齐次线性微分方程的基本解组。形如为常数，称为1112 0,(3),nnnn ndxdxLaattt 其 中 an 阶常系数齐次线性微分方程。11111( )()ntnt tt tnnttnneeddaaFF 其 中 =04是 的 次 多 项 式 .为特征方程，它的根为特征根.()1.1 特征根是单根的情形设 是特征方程 的 n 个彼此不12,n 11() 0nnFaa相等的根，则应相应地方程（3）
3、有如下 n 个解： （5）我们2,.ntte指出这 n 个解在区间 上线性无关，从而组成方程的基本解组.atb如果 均为实数，则（5）是方程（3）的 n 个线性无关的实值(1,2)i解，而方程（3）的通解可表示为 其中12,ntttxcece为任意常数.12,nc2如果特征方程有复根，则因方程的系数是实常数，复根将称对共轭的出现.设是一特征根，则 也是特征根，因而于这对共轭复根1i2i对应的，方程（3）有两个复值解 ()(cosin),itttte() .itttt对应于特征方程的一对共轭复根 我们可求得方程（3）的两个,i实值解 cos,in.ttte1.2 特征根有重根的情形设特征方程有
4、k 重根 则易知知1, ()()11 1() 0.kkFF1.2.1 先设 即特征方程有因子 ，于是 也就是特0, 110,nnkaa征根方程的形状为 而对应的方程（3）变为10.nka易见它有 k 个解 ,且线性无关.10,nnkndxdxattt 21,kt特征方程的 k 重零根就对应于方程（3）的 k 个线性无关解 .21,kt1.2.2 当 重根 对应于特征方程（4）的 重根 ，方程（3）有 个解10,11同样假设特征方程（4）的其他根 的 112, .tttktee 23, m重数依次为 ； ，且 + + + =n, (当 i j)，对应23m i1k2 mji方程（3）的解有 。2
5、2,.ttttee 12,mmtttktee 上述解够成（3）的基本解组.1.2.3 特征方程有复根 ，且为 k 重特征根。则（3）有 2k 个实解i21cos,cos,cos,iniinin.ttttttttkeee要点是把微分方程的求解问题化为代数方程的求根问题。下面介绍两个例子.例 1. 求方程 的通解.3910yy3解：特征方程为或 3291302(1)43)0由此得 =-1， =2+3i, =2-3i12因此，基本解组为 22,cos,inxxee通解为 .123()xyCC例 2. 求方程 的通解.(4)540y解：特征方程为432由于 254()1故特征根是 1,23,ii它们对
6、应的实解为： .2,cosnxex所求通解为 .21234()sixyCC2比较系数法用于求常系数非齐次线性微分方程的特解.2.1 类型 1设 ，其中 及tmmebttbtf )()110 为实常数，那么常系数非齐次线性微分方程有形如),ib的特解，其中 k 为特征方程tmmk eBtBtx)(110的根 的重数（单根相当于 k=1；不是特征根时，取 k=0） ，)F而 是待定常数，可以通过比较系数来确定.m,102.1.1 如果 ，则此时 。 mmbttbtf 110)(现在分为两种情况讨论.（a） 不是特征根的情形，以 代入方程，并比0 BtBx10较 t 的同次幂的系数，可以唯一的逐个确
7、定 .m,104（b） 是 k 重特征根的情形，以 为特解0 )(10mmkttx2.1.2 如果 ，同样分为两种情况讨论：不是特征方程的根的情形，有 特解；teBtB)(10是特征方程的 k 重根的情形，有 特解. tmmktx1例 1 求方程 的通解.xey21解 易见，对应齐次方程的特征方程为0特征根是 ，对应齐次方程的通解为1xxeCy21由于 是特征方程的根，故已知方程有形如xA1的特解.将它代入原方程，得xxxxee212从而 ，故 ，由此得通解41Ay1xxxeCe42例 2 求方程 的通解.y5解 对应齐次方程的特征方程为0)(,2特征根为 ,齐次方程的通解为5,021xeCy
8、521由于 是单特征根,故已知非齐次方程有形如)(21BA的特解.将它代入已知方程,并比较 的同次幂系数,得x0,3C故 ,最后可得所求通解31xy5xeCxy52132.1 类型 2设 是常数 A(t),B(t)是带实系，其 中attBtAtf sin)(cos)(数的多项式，一个次数为 m,另一个不超过 m.则非齐次线性微分方程有形如 的特解，这里 k 为特征方程的根atk etQtPxi)()(的重数。而 P(t),Q(t)均为待定的带实系数的次数不高于 m 的 t 的i多项式，可以通过比较系数的方法来确定.例 求方程 的通解.)sin7(co2xeyx解 先求解对应的齐次方程： 02y
9、我们有 ,102xxeCy21因为数 不是特征根，故原方程具有形ii的特解.)snco(1xBAeyx将上式代入原方程,由于)sinco(1xeyxsi()AB)i2cs(2 xeyx故 xeBy cos)(noxxAsi7csin)(= xe)c或 xxBsincosi3(os)3(比较上述等式两端的 的系数,可得nc 73,1BA因此, .故 .所求通解为1,2A)si2(xeyx.x Cey1)sico( 63.常数变易法只要知道对应的齐次线性微分方程的基本解组就可以利用常数变易法求得非齐次线性微分方程的基本解组.例：求非齐次方程 的通解.已知 是对应齐次方 1cosyx12cos,in
10、yx程的线性无关解.解：则它的通解为 现在求已知方程形如12inC的一个特解.由关系式， 满足12()cos()siyxx 12(),Cx方程组或写成纯量方程组120sin()cocosxCx解上述方程组，得 12 ()s()i1inscxxx积分得 12s(),()coC故已知方程的通解为xlnx12sicoslnsiyx除以上方法外，常用的还有拉普拉斯变换法，用拉普拉斯变换法则首先将线性微分方程转换成复变数的代数方程，再由拉普拉斯变换表或反变换公式求出微分方程的解。 求一般二阶齐次线性微分方程的幂级数解法，它的思想和待定系数法（或比较系数法） 有类似之处，所不同的是幂级数解法待定的是级数的系数，所以计算量相对较大.在应用时必须特别注意的是：不同的方法用于不同类型的方程.
