1、2018/3/8 01:00,近世代数,习题课 (一),2018/3/8 01:00,例1：我们知道整数集合Z对于加法+而言作成整数加群；所有模n剩余类构成的集合是整数集合的一个分类（对应的是整数集合上的同余关系），我们的目的是规定由所有模n剩余类构成的分类上的一个代数运算，使其为一个群。,2018/3/8 01:00,所有模n剩余类构成集合记作,即,其中,规定代数运算,因为定义是用剩余类代表规定的象，而一个类中的代表很多，需要证明该对应与代表的选取无关。,2018/3/8 01:00,设,则,称此运算为模n剩余类加法，记,模n剩余类加法,模n剩余类集合,2018/3/8 01:00,对于模n
2、剩余类加法,模n剩余类集合,构成一个群。,证明（定义法）,非空；封闭。,结合律,左单位元0,a的左逆元-a,2018/3/8 01:00,对于模n剩余类加法,模n剩余类集合,构成一个群。,证明（同态法）,整数集合Z对于加法+构成整数加群。,建立映射：,是同态满射。所以是群。,模n剩余类加群,2018/3/8 01:00,例2：求模12剩余类加群中每一个元的逆元和阶。,1单位元，阶为1，逆元是其本身1。,2 逆元是 10，阶为6；,3 逆元是 9，阶为4；,4 逆元是 8，阶为3；,5 逆元是 7，阶为12；,6 逆元是其本身 6，阶为2。,2018/3/8 01:00,例3：设S=1,2,3,
3、4。规定SS上的一个二元关系R：,则R是一个等价关系。试给出其确定的分类。,分析：(a,b)和(c,d)有关系当且仅当a-b=c-d当且仅当差是相同的。从而确定7个类。,2018/3/8 01:00,差为0 0, (1,1), (2,2), (3,3), (4,4) ,差为1 1, (2,1), (3,2), (4,3) ,差为2 2, (3,1), (4,2) ,差为3 3, (4,1) ,差为-1 -1, (1,2), (2, 3), (3, 4) ,差为-2 -2, (1,3), (2,4) ,差为-3 -3, (1,4) ,2018/3/8 01:00,设,试证明,不同构.,证明：（反
4、证法）如果,设,0不在N中，矛盾。,不同构.,2018/3/8 01:00,1：求模24剩余类加群中每一个元的逆元和阶。,课堂练习,2：设G是全体n阶可逆方阵集合，设N是一个可逆n阶方阵。设G上带有如下代数运算 ：任取方阵A ，B。令,试用定义法和同态法证明G对于上述运算构成群。,2018/3/8 01:00,3：在非零复数集合C*中规定下面两个关系。,试证明R1，R2是等价关系，分别给出相应的分类，并且给出一个全体代表团。,4：设,那么，,不可能同构。,2018/3/8 01:00,5：试分别列举满足下面条件的关系。 (1)：满足对称律推移律，不满足反射律； (2)：满足反射律推移律，不满足对称律； (3)：满足反射律对称律，不满足推移律。,
