1、 1 高数下复习范围 第八章： 直线与平面的夹角 会求过一个点与两个平面平行的直线方程 第九章 多元函数定义域 对于偏导数的题目，请大家会做 幂指函数、隐函数求导，判断分段函数在某点处连续、可偏导，可微，方向导数， 多元复合函数求导法则；多元函数求极值。 第十章 二重积分：直角坐标，极坐标，一定要熟练掌握 三重积分：先一后二或先二后一，柱坐标，球坐标变换 第十一章 第一类曲线积分，第二类曲线积分，格林公式，格林公式积分与路径无关的四个等 价条件 第十一章 判断级数的敛散性、正项级数，交错级数、一般项级数，绝对收敛，条件收敛； 幂级数收敛半径，收敛区间，会求和函数，会展开成幂级数。 下面一些练习
2、，只是练习 1. 求直线的夹角 1 13 : 101 x yz L 与平面 20 xy 的夹角。 解：直线 1 L 的方向向量为 (1, 0, 1) ，平面法向量为 (1, 1, 0) ，设夹角为 ，夹角的正 弦为： 222222 |1 1 0 1 ( 1) 0| 1 sin 2 1( 0 )(1 )110 从而 6 。 2.求函数 e x y z 的二阶偏导数 2222 - 22 , - xyx yx yx yx yx y zzzzzz eeeeee xyxx yy xy 3、 arctan , d . xy zz xy 求 解： 2 22 2 () = 1+ ( () ) xyxy y x
3、y xy x y x z x y ， 2 22 2 ( ) +( ) ( ) 1 z y xyxy x xy xy x y xy 2 22 22 d yx dd z yy x y xx 4、设 cos , zu v t e, t u cos , vt . dz dt 求 解： zuzvz u dz dvt ttt = ( sin ) sin t ve u t t = cos sin sin tt etett 5、求球面 222 3 xyz 在点 (1,1,1)处的切平面及法线方程。 解： 设 222 (,) 3 Fxyz x y z ， 法向量 (2 ,2 ,2 ) nxyz ， (1,1,1
4、) (2,2,2) n ， 所以球面在点 (1,1,1)处的切平面方程为： 2( 1) 2( 1) 2( 1) 0 3 xyzx y z 法线方程为： 111 222 xyz 6、计算半径为R的球的体积。 解：半径为R的球面方程为： 2222 x yzR ，令 sin cos sin sin cos xr yr zr V dxdydz = 2 23 000 4 sin 3 R ddrd rR 7、交换积分次序 22 12 2 00 10 d( , ) dd( , ) d xx I xfx yy x fx yy 解： 22 2 12 21 2 00 10 0 d (,) d d (,) d d
5、(,) d xxy y I x fxy y x fxy y x fxy y 8、计算二重积分 22 ed d xy D x y ， 其中 D：x 2 +y 2 1. 解：令 cos sin r y x r 则 2 22 21 00 ed d (1 ) xy D r xy d er d r e 9、计算三重积分 2 ddd, zxyz 其中 222 222 :1 . xyz abc 其中 3 解： 2 22 3 2 2 4 ddd ( 1 ) 15 z cc cc D z z x y z z dz dxdy z ab dz abc c 10、 计算 d, L xyx 其中L为沿圆 22 1 xy
6、 从点 A（1，0）到B（0,1） 的一段。 解： si cos n y x 则 2 0 2 (s i 1 dc o s 3 n) L d xy x 11、 计算 22 () d() d , L I xyxyxy 其中L沿逆时针方向以原点为中心、1为 半径的上半圆周。 解：记 (1, 0), ( 1, 0) AB 为了使用格林公式，添加辅助线AB 原式 2222 () d() d() d() d LB A A B x yxyxy xyxyxy =0+ 1 2 1 d x x = 2 312 求幂级数 1 ) 5 ( n n n x 的收敛域。 令 t x 5 11 ) 5 ( nn n n n
7、 t n x1 lim lim 1 1 1 1 n n n n n n a a1 1 t 1 5 1 x 6 4 x 时， 当 4 x 1 1 ) 1 ( ) 5 ( n n n n n n x 收敛 时， 当 6 x 1 1 1 ) 5 ( n n n n n x发散 ) 6 , 4 ) 5 ( 1 的收敛域为 n n n x 4 13.判别级数 1 ! 2 n n n n n 的敛散性 n n n n n n n n n n n n u u ! 2 ) 1 ( )! 1 ( 2 lim lim 1 1 1 e n n n n n 2 ) 1 ( 2 lim 1 1 ! 2 n n n n
8、n 收敛 14.求幂级数 1 2 ) 1 ( n n n n x 的收敛域. 令 t x 1 1 2 ) 1 ( n n n n x 1 2 n n n n tn n n a a 1 lim ) 1 ( 2 2 lim 1 n n n n n 2 1 2 R 2 2 t 3 1 x 时， 当 1 x 1 2 ) 1 ( n n n n x 1 ) 1 ( n n n 收敛 时， 当 3 x 1 2 ) 1 ( n n n n x 1 1 n n 发散 幂级数 1 2 ) 1 ( n n n n x 的收敛域为 ) 3 , 1 。 15.在区间 ) 1 , 1 ( 内求幂级数 1 2 5 3 1
9、 2 5 3 n x x x x n 的和函数。 ) 1 2 5 3 ( 1 2 5 3 n x x x x n 2 2 4 2 1 n x x x 2 1 1 x 1 2 5 3 1 2 5 3 n x x x x n dx x x 0 2 1 1 x x 1 1 ln 2 1) 1 1 ( x 5 16.求幂级数 1 1 n n nx 的收敛域及和函数,并求级数 1 2 n n n 的和. n n n a a 1 lim 1 1 lim n n n1 R 1 x 1 n n发散 1 x n n n 1 1 ) 1 ( 发散 收敛区间为 ) 1 , 1 ( 1 2 3 2 1 ) ( n n
10、x x x x s n x x x x x dx x s 3 0 2 ) ( ) 1 ( 2 n x x x x x x 12 ) 1 ( 1 1 ) ( x x x x s 当 2 1 x 时 4 ) 2 1 1 ( 1 ) 2 1 ( 2 1 1 n n n 2 ) 2 1 ( 2 1 2 1 1 1 n n n n n n17.判别级数 n n n 3 sin 2 1 的敛散性 n n n n n n n n u u 3 sin 2 3 sin 2 lim lim 1 1 1 n n n n n n n 3 3 3 sin 3 3 3 sin 2 lim 1 1 1 3 2 1 1 3
11、sin 2 n n n 收敛 18. 将函数 2 ) ( 2 x x x x f 展开成x 的幂级数 2 ) ( 2 x x x x f = ) 2 1 1 1 1 ( 3 1 ) 2 2 1 1 ( 3 1 x x x x n n n x x 0 ) 1 ( 1 1) 1 1 ( x 6 0 ) 2 ( 2 1 1 n n x x) 2 2 ( x 00 ) 2 ( ) 1 ( 3 1 ) ( nn n n n x x x f = n n n n x 0 2 1 ) 1 ( 3 1) 1 1 ( x 18、某厂要用铁板做一个体积为 3 1m 的无盖长方体水箱，当长、宽、高各取怎样的 尺寸时，
12、才能使用材料最省？ 解：设水箱长、宽分别为 , x ym，则高为 1 m, xy 则水箱所用材料的面积为： 112 2 22 Sx yx y x y xyx yyx 2 2 2 -0 2 -0 x y Sy x Sx y 解得驻点为 33 22 （，） 根据实际问题，解得唯一驻点既是最小值点，即当长宽均为 3 2m ，高为 3 33 12 2 22 时，水箱所用材料最省。 19. 判断函数 22 22 22 ,0 (,) 0, 0 xy xy xy fxy xy 在 (0,0)点是否连续。 解：设yk x 则 22 2 00 2 22 2 0 lim ( , ) lim lim 1 yk x
13、yk x yk x xxx xyk xk fxy xyxk xk 所以 22 22 22 ,0 (,) 0, 0 xy xy xy fxy xy 在 (0,0)点极限不存在，所以不连续。 20.求函数 e xy z 的二阶偏导数 解 ： 7 2222 2 2 2 2 ,( 1 ) ,( 1 ) , xyx yx yx y x y x y zzzz z z ye xe xy xy ye e e xe xyxx y y x y 21、计算函数 sin e 2 xyz y u 的全微分。 解： , 1 co , s 2 2 xyz xyz xyz y uz u yze xze xze xy z dy
14、 2 1 cos 2 xyz xyz xyz yze x y du ze xze dx dz （） + 22、设 222 40 , xyzz 2 2 . z x 求 解：方程两边关于x求偏导 40 22 2 zz z xx x xz z x 继续关于x求偏导 2 222 22 2 222 3 1-( 2 ) (2 ) )2 4 0 = (2+ 2( 2) z zzzz z x z xx z xz x x 。 23、计算二重积分 22 ed d xy D x y ， 其中 D：x 2 +y 2 1. 解：令 cos sin r y x r 则 22 2 1 0 1 2 0 ed d ( 1) x
15、y D r xyder d re 24、计算三重积分 ddd, x xyz 其中 为三个坐标平面及平面 1 x yz 所围 成的闭区域。 解： 111 11 000 00 ddd ( 1 ) xx y x x x y z xdx dy dz xdx x y dy = 111 11 00 0 2 00 2 3 2 1 () |() | 222 2 2 4 xx yyx x xyxy dx xyxy dx x dx 25、 计算 d, L xyx 其中L为沿抛物线 2 y x 从点 A（1，1）到B（-1,1） 的一 段。 解：取x作为参数， 2 1 11 3 1 d0 L xy x xxdx x
16、dx 8 26、 计算 22 dd , L xyyx xy 其中L为一无重点且不过原点的分段光滑正向闭曲线。 解：令 22 , y P x y 22 x Q x y 22 0, xy 则当 时 22 22 2 () Qyx xxy P y 设L所围区域为D，当 (0,0) D 时，有格林公式知： 22 dd 0 L xyyx xy 。 当 (0,0) D 时，在D内做圆周 222 :, lx y r 取逆时针方向，记Ll 和 所围的区 域为 1 D ，对区域 1 D 应用格林公式，得 22 dd L xyyx x y 22 dd l xyyx x y 22 dd Ll xyyx x y 1 0
17、d d 0 D xy 22 22 dd dd Ll xyyx xyyx xyx y 2222 2 2 0 cos sin d rr r 2 27、某厂要用铁板做一个体积为 3 8m 的有盖长方体水箱，当长、宽、高各取怎样的 尺寸时，才能使用材料最省？ 解：设水箱长、宽分别为 , x ym，则高为 8 m, xy 则水箱所用材料的面积为： 88 88 2( ) 2( ) Sx yxy x y xyx y yx 2 2 8 -0 8 -0 x y Sy x Sx y 解得驻点为（2，2） ， 根据实际问题，解得唯一驻点既是最小值点，即当长宽均为 2m ，高 为 8 2 22 时， 水箱所用材料最省。
