高数重要定理(高数上下).pdf

1、洛 必 达 法 则 洛 必 达 法 则 洛 必 达 法 则 洛 必 达 法 则 (1)当 当 当 当 xa(或 或 或 或 x)时 时 时 时 ,()fx及 及 及 及 ()Fx都 趋 都 趋 都 趋 都 趋于 零 （ 或 无 穷 大 于 零 （ 或 无 穷 大 于 零 （ 或 无 穷 大 于 零 （ 或 无 穷 大 ） ） ） ） ； ； ； ；(2)在 点 在 点 在 点 在 点 a的 某 去 心 邻 域的 某 去 心 邻 域的 某 去 心 邻 域的 某 去 心 邻 域 (或 或 或 或 | 0xM)内 内 内 内 ,()fx及 及 及 及 ()Fx都 存 在 且 都 存 在 且 都 存

2、在 且 都 存 在 且 ()0Fx ； ； ； ；(3)( )()lim()xafFx存 在 存 在 存 在 存 在 (或 为 无 穷 大 或 为 无 穷 大 或 为 无 穷 大 或 为 无 穷 大 ).则 则 则 则 ( ) ( )() ()limlim() ()xa xafx fxF F =.等 价 无 穷 小 量 替 换 等 价 无 穷 小 量 替 换 等 价 无 穷 小 量 替 换 等 价 无 穷 小 量 替 换 （ 代 换 ） （ 代 换 ） （ 代 换 ） （ 代 换 ） 定 理 ： 定 理 ： 定 理 ： 定 理 ：在 同 一 个 极 限 过 程 在 同 一 个 极 限 过 程

3、在 同 一 个 极 限 过 程 在 同 一 个 极 限 过 程 ,若 若 若 若 , ， 则 ， 则 ， 则 ， 则lim lim lim lim = .注 注 注 注 ： ： ： ： 等 价 无 穷 小 量 代 换 一 般 只 能 用 在 等 价 无 穷 小 量 代 换 一 般 只 能 用 在 等 价 无 穷 小 量 代 换 一 般 只 能 用 在 等 价 无 穷 小 量 代 换 一 般 只 能 用 在 整 体 整 体 整 体 整 体 乘 乘 乘 乘 、 、 、 、除 关 系 除 关 系 除 关 系 除 关 系 ， ， ， ， 而 不 能 用 在 而 不 能 用 在 而 不 能 用 在 而

4、不 能 用 在 局 部 局 部 局 部 局 部 乘 乘 乘 乘 、 、 、 、 除 关 系 除 关 系 除 关 系 除 关 系 和 整 体 和 整 体 和 整 体 和 整 体 加 加 加 加 、 、 、 、减 关 系 减 关 系 减 关 系 减 关 系 .常 用 等 价 无 穷 小 量 ： 常 用 等 价 无 穷 小 量 ： 常 用 等 价 无 穷 小 量 ： 常 用 等 价 无 穷 小 量 ： 1、 、 、 、 当 当 当 当 0x时 时 时 时 ,(1)sintanarcsinarctanxx x xx(2)ln(1)1;xxex+ 1ln, xaxa(3) 12(1)1, 1cosx x

5、 xx+ .2、 、 、 、 1,ln 1x xx带 皮 亚 诺 余 项 带 皮 亚 诺 余 项 带 皮 亚 诺 余 项 带 皮 亚 诺 余 项 的 的 的 的 泰 勒 公 式 泰 勒 公 式 泰 勒 公 式 泰 勒 公 式 :若 若 若 若 ()fx在 在 在 在 0x及 其 附 近 有 直 到 及 其 附 近 有 直 到 及 其 附 近 有 直 到 及 其 附 近 有 直 到 n阶 的 导 数 阶 的 导 数 阶 的 导 数 阶 的 导 数 ,则 则 则 则()00 0 0 00 ()()()()( ) ( )!( ) n nn fxfxfxfxxx xxnoxx=+ + + .特 别 当

6、 特 别 当 特 别 当 特 别 当 00x=时 ， 称 为 麦 克 劳 林 公 式 时 ， 称 为 麦 克 劳 林 公 式 时 ， 称 为 麦 克 劳 林 公 式 时 ， 称 为 麦 克 劳 林 公 式 ()2(0) (0)()(0)(0) ().2! !nnnf ffxf fx x xoxn=+ + + 在 使 用 泰 勒 公 式 的 时 候 ， 常 用 到 如 下 无 穷 小 的在 使 用 泰 勒 公 式 的 时 候 ， 常 用 到 如 下 无 穷 小 的 在 使 用 泰 勒 公 式 的 时 候 ， 常 用 到 如 下 无 穷 小 的 在 使 用 泰 勒 公 式 的 时 候 ， 常 用

7、到 如 下 无 穷 小 的运 算 ： 运 算 ： 运 算 ： 运 算 ： 22 3 2 32 2 2 2 2()()(),()(),()()(),(3)().xoxoxoxoxoxoxoxoxoxox+= =常 用 的 麦 克 劳 林 展 开 式 ： 常 用 的 麦 克 劳 林 展 开 式 ： 常 用 的 麦 克 劳 林 展 开 式 ： 常 用 的 麦 克 劳 林 展 开 式 ： 2 21 ();2x xexox=+3 3sin ();3!xxxox=+2 2cos1 ();2!xx ox=+2 2ln(1) ();2xxxox+=+在 自变 量同 一变 化过 程下 在 自变 量同 一变 化过

8、 程下 在 自变 量同 一变 化过 程下 在 自变 量同 一变 化过 程下 ()0, ()0x x（ （ （ （ 1） 高阶 ：若 ） 高阶 ：若 ） 高阶 ：若 ） 高阶 ：若 ()lim0()x=， 记为 ， 记为 ， 记为 ， 记为 ()();x x=（ （ （ （ 2） 低阶 ：若 ） 低阶 ：若 ） 低阶 ：若 ） 低阶 ：若 ()lim()x=， 记为 ， 记为 ， 记为 ， 记为 ()();xx=（ （ （ （ 3） 同阶 ： ） 同阶 ： ） 同阶 ： ） 同阶 ： 若 若 若 若 ()lim0()xC=,记 为 记 为 记 为 记 为 ()();xOx=若 若 若 若 1C=

9、， 称 ， 称 ， 称 ， 称 (), ()xx是 等价 无穷 小， 记为 是 等价 无穷 小， 记为 是 等价 无穷 小， 记为 是 等价 无穷 小， 记为 ()();xx（ （ （ （ 4） ） ） ） 无 穷 小 量 的 阶 无 穷 小 量 的 阶 无 穷 小 量 的 阶 无 穷 小 量 的 阶 :若 若 若 若 ()lim 0()kxCx=， 称 ， 称 ， 称 ， 称 ()x是 是 是 是 ()x的 的 的 的 k阶 无穷 小量 阶 无穷 小量 阶 无穷 小量 阶 无穷 小量 .宝典公式：(1) ()lim ()0,lim ()fxgx Ag= =，则lim ()0fx=；(2) (

10、)lim ()0,lim 0()fxfx Ag= =，则lim ()0gx=；(3)已知lim ()()fxgxA=，lim ()fx=，则lim ()0gx=.1.连 续函 数的 和， 差， 积， 商（ 分母 不为 零） 及复 合仍 连续 连 续函 数的 和， 差， 积， 商（ 分母 不为 零） 及复 合仍 连续 连 续函 数的 和， 差， 积， 商（ 分母 不为 零） 及复 合仍 连续 连 续函 数的 和， 差， 积， 商（ 分母 不为 零） 及复 合仍 连续 .2.初 等函 数在 其定 义区 间内 处处 连续 初 等函 数在 其定 义区 间内 处处 连续 初 等函 数在 其定 义区 间内

11、 处处 连续 初 等函 数在 其定 义区 间内 处处 连续 .3.闭 区间 上连 续函 数的 性质 闭 区间 上连 续函 数的 性质 闭 区间 上连 续函 数的 性质 闭 区间 上连 续函 数的 性质(1)最 值 性 最 值 性 最 值 性 最 值 性 :若 若 若 若 )(xf在 在 在 在 ,ba上 连 续 上 连 续 上 连 续 上 连 续 ,则 则 则 则 )(xf在 在 在 在 ,ba上 必 有 最 大 值 上 必 有 最 大 值 上 必 有 最 大 值 上 必 有 最 大 值和 最小 值 和 最小 值 和 最小 值 和 最小 值 .(2)有 界性 有 界性 有 界性 有 界性 :若

12、 若 若 若 )(xf在 在 在 在 ,ba上 连续 上 连续 上 连续 上 连续 ， ， ， ， 则 则 则 则 )(xf在 在 在 在 ,ba上 有界 上 有界 上 有界 上 有界 .(3)介 值 性 介 值 性 介 值 性 介 值 性 :若 若 若 若 )(xf在 在 在 在 ,ba上 连 续 上 连 续 上 连 续 上 连 续 ,则 则 则 则 )(xf在 在 在 在 ,ba上 可 取 到 介 于 上 可 取 到 介 于 上 可 取 到 介 于 上 可 取 到 介 于它 在 它 在 它 在 它 在 ,ba上 最小 值与 最大 值之 间的 一切 值 上 最小 值与 最大 值之 间的 一切

13、 值 上 最小 值与 最大 值之 间的 一切 值 上 最小 值与 最大 值之 间的 一切 值 .(4)零 点 定 理零 点 定 理零 点 定 理零 点 定 理 (或 根 的 存 在 定 理或 根 的 存 在 定 理或 根 的 存 在 定 理或 根 的 存 在 定 理 ):若 若 若 若 )(xf在 在 在 在 ,ba连 续 连 续 连 续 连 续 ,且 且 且 且0)()( bfaf ,则 必 则 必 则 必 则 必 ),(ba， 使 ， 使 ， 使 ， 使 0)(=f .求 导法 则 求 导法 则 求 导法 则 求 导法 则 ： ： ： ：1 四则 运算 法则 ； 四则 运算 法则 ； 四则

14、 运算 法则 ； 四则 运算 法则 ；2 复合 函数 求导 法； 复合 函数 求导 法； 复合 函数 求导 法； 复合 函数 求导 法；3 隐函 数求 导法 ； 隐函 数求 导法 ； 隐函 数求 导法 ； 隐函 数求 导法 ；4 反函 数求 导数 ； 反函 数求 导数 ； 反函 数求 导数 ； 反函 数求 导数 ；5 参数 方程 求导 法； 参数 方程 求导 法； 参数 方程 求导 法； 参数 方程 求导 法；6 对数 求导 法； 对数 求导 法； 对数 求导 法； 对数 求导 法；7 高阶 导数 高阶 导数 高阶 导数 高阶 导数 .高 阶导 数 高 阶导 数 高 阶导 数 高 阶导 数 1

15、 归纳 法 归纳 法 归纳 法 归纳 法求 一阶 求 一阶 求 一阶 求 一阶 y、 二阶 、 二阶 、 二阶 、 二阶 y， 归纳 ， 归纳 ， 归纳 ， 归纳 n阶 导数 阶 导数 阶 导数 阶 导数 )(ny 2 公式 法 公式 法 公式 法 公式 法 （ 莱布 尼兹 公式 （ 莱布 尼兹 公式 （ 莱布 尼兹 公式 （ 莱布 尼兹 公式 ） ） ） ） ： ： ： ： .0)( )()()( knkknn vkuCuv=注 ： 注 ： 注 ： 注 ： (1) () sin() sin( );2nnaxbaaxbn +=+ ()cos() cos( );2nnaxbaaxbn +=+(2

16、)()ln;nx xa aa =(3) ()(1) (1)( 1)()n nx nx +=+ ;特 别地 ， 特 别地 ， 特 别地 ， 特 别地 ， ()( !nx=； ； ； ； (1)()0.nx+=()1() ()!1 1(1)(1)nn nnxx x +=+=+ +； ； ； ； 1() () !1 1(1)(1)nn nnxx x = += ； ； ； ；(4)1(1)()(1)!()1ln(1) .()nnnnx x x += =+ +一 、 一 、 一 、 一 、 罗 尔 定 理 罗 尔 定 理 罗 尔 定 理 罗 尔 定 理 设 设 设 设 ()fx在 在 在 在 ,ab连

17、续 连 续 连 续 连 续 ,在 在 在 在 (,)ab内 可 导 ， 且 内 可 导 ， 且 内 可 导 ， 且 内 可 导 ， 且()()fafb=,那 么 至 少 那 么 至 少 那 么 至 少 那 么 至 少 (,)ab， 使 ， 使 ， 使 ， 使()0f=.二 、 二 、 二 、 二 、 拉 格 朗 日 中 值 定 理 拉 格 朗 日 中 值 定 理 拉 格 朗 日 中 值 定 理 拉 格 朗 日 中 值 定 理设 设 设 设 ()fx在 在 在 在 ,ab连 续 连 续 连 续 连 续 ,在 在 在 在 (,)ab可 导 可 导 可 导 可 导 ,那 么 至 少 存 在 那 么

18、至 少 存 在 那 么 至 少 存 在 那 么 至 少 存 在一 个 一 个 一 个 一 个 (,)ab使 使 使 使 ()()()fbfaf =.注 ： 注 ： 注 ： 注 ： (),01aba =+；有 限 增 量 公 式 ： 有 限 增 量 公 式 ： 有 限 增 量 公 式 ： 有 限 增 量 公 式 ： ( )()()fxxfxf x+=三 、 三 、 三 、 三 、 柯 西 中 值 定 理 柯 西 中 值 定 理 柯 西 中 值 定 理 柯 西 中 值 定 理设 设 设 设 (),()fxgx在 在 在 在 ,ab上 连 续 上 连 续 上 连 续 上 连 续 ,在 在 在 在 (

19、,)ab内 可 导 ， 且 内 可 导 ， 且 内 可 导 ， 且 内 可 导 ， 且()0gx ,那 么 至 少 存 在 一 个 那 么 至 少 存 在 一 个 那 么 至 少 存 在 一 个 那 么 至 少 存 在 一 个 (,)ab， 使 ， 使 ， 使 ， 使()()()()()()fbfafggg=.四 、 泰 勒 定 理 四 、 泰 勒 定 理 四 、 泰 勒 定 理 四 、 泰 勒 定 理 （ 带 拉 格 朗 日 余 项 的 泰 勒 公 式 （ 带 拉 格 朗 日 余 项 的 泰 勒 公 式 （ 带 拉 格 朗 日 余 项 的 泰 勒 公 式 （ 带 拉 格 朗 日 余 项 的

20、泰 勒 公 式 ） ） ） ）设 设 设 设 ()fx在 区 间 在 区 间 在 区 间 在 区 间 I上 上 上 上 (1)n+阶 可 导 阶 可 导 阶 可 导 阶 可 导 ,0xI， ， ， ， 那 么 那 么 那 么 那 么xI,至 少 存 在 一 个 至 少 存 在 一 个 至 少 存 在 一 个 至 少 存 在 一 个 ， ， ， ， 使 使 使 使200 0 0 0()0 0 ()()()()( ) ( )2!()( ) (),!n nn fxfxfxfxxx xxfxxxRxn =+ + + + 其 中 其 中 其 中 其 中(1) 10()() ( )(1)!n nn fRx

21、 xxn+ += + ， ， ， ， 在 在 在 在 0x与 与 与 与 x之 间 之 间 之 间 之 间 .证 明 存 在 两 个 点 证 明 存 在 两 个 点 证 明 存 在 两 个 点 证 明 存 在 两 个 点 ),(, ba ， ， ， ， 使 得 使 得 使 得 使 得 (),(),0Gf f = .方 法 提 示 ： 利 用 一 次 或 两 次 中 值 定 理 方 法 提 示 ： 利 用 一 次 或 两 次 中 值 定 理 方 法 提 示 ： 利 用 一 次 或 两 次 中 值 定 理 方 法 提 示 ： 利 用 一 次 或 两 次 中 值 定 理 .1.证 明 在 证 明 在

22、 证 明 在 证 明 在 (,)ab内 存 在 内 存 在 内 存 在 内 存 在 ,满 足 某 种 关 系 式 的 命 题满 足 某 种 关 系 式 的 命 题 满 足 某 种 关 系 式 的 命 题满 足 某 种 关 系 式 的 命 题的 程 序 ： 的 程 序 ： 的 程 序 ： 的 程 序 ： (1)在 欲 证 的 等 式 中 在 欲 证 的 等 式 中 在 欲 证 的 等 式 中 在 欲 证 的 等 式 中 ， ， ， ， 将 将 将 将 和 和 和 和 分 离 开 来 分 离 开 来 分 离 开 来 分 离 开 来 ， ， ， ， 即 把 包 即 把 包 即 把 包 即 把 包含

23、含 含 含的 函 数 和 包 含的 函 数 和 包 含的 函 数 和 包 含的 函 数 和 包 含 的 函 数 分 别 放 在 等 式 的 两的 函 数 分 别 放 在 等 式 的 两的 函 数 分 别 放 在 等 式 的 两的 函 数 分 别 放 在 等 式 的 两端 端 端 端 .(2)选 择 等 式 的 一 端 应 用 一 次 中 值 定 理 或 介 值选 择 等 式 的 一 端 应 用 一 次 中 值 定 理 或 介 值选 择 等 式 的 一 端 应 用 一 次 中 值 定 理 或 介 值选 择 等 式 的 一 端 应 用 一 次 中 值 定 理 或 介 值定 理 得 到 定 理 得

24、到 定 理 得 到 定 理 得 到 ， ， ， ， 再 对 等 式 的 另 一 端 应 用 一 次 中 值 定 再 对 等 式 的 另 一 端 应 用 一 次 中 值 定 再 对 等 式 的 另 一 端 应 用 一 次 中 值 定 再 对 等 式 的 另 一 端 应 用 一 次 中 值 定理 或 介 值 定 理 得 到 理 或 介 值 定 理 得 到 理 或 介 值 定 理 得 到 理 或 介 值 定 理 得 到 .2.证 明 在 证 明 在 证 明 在 证 明 在 (,)ab内 存 在 内 存 在 内 存 在 内 存 在 ,且 且 且 且 满 足 某 种 关 系 式满 足 某 种 关 系 式

25、满 足 某 种 关 系 式满 足 某 种 关 系 式的 命 题 ： 的 命 题 ： 的 命 题 ： 的 命 题 ： (1)关 键 是 通 过 零 点 定 理 、 介 值 定 理 或 其 他 条关 键 是 通 过 零 点 定 理 、 介 值 定 理 或 其 他 条关 键 是 通 过 零 点 定 理 、 介 值 定 理 或 其 他 条关 键 是 通 过 零 点 定 理 、 介 值 定 理 或 其 他 条件 件 件 件 ， ， ， ， 找 出 符 合 题 意 的 分 界 点 找 出 符 合 题 意 的 分 界 点 找 出 符 合 题 意 的 分 界 点 找 出 符 合 题 意 的 分 界 点 (,)

26、cab， ， ， ， 将 区 间 将 区 间 将 区 间 将 区 间 (,)ab分 分 分 分成 两 个 不 相 交 的 部 分 区 间 成 两 个 不 相 交 的 部 分 区 间 成 两 个 不 相 交 的 部 分 区 间 成 两 个 不 相 交 的 部 分 区 间 .(2)在 在 在 在(,)ac和 和 和 和 ,)cb上 分 别 应 用 中 值 定 理 进 行 证 明上 分 别 应 用 中 值 定 理 进 行 证 明上 分 别 应 用 中 值 定 理 进 行 证 明上 分 别 应 用 中 值 定 理 进 行 证 明即 可 即 可 即 可 即 可 .应 用泰 勒公 式， 应 用泰 勒公 式

27、， 应 用泰 勒公 式， 应 用泰 勒公 式， 证 明等 式或 者不 等式 ， 证 明等 式或 者不 等式 ， 证 明等 式或 者不 等式 ， 证 明等 式或 者不 等式 ， 分 四步 ： 分 四步 ： 分 四步 ： 分 四步 ：1.找 找 找 找 n； ； ； ；2.确 定 确 定 确 定 确 定 0x， 将 函 数 ， 将 函 数 ， 将 函 数 ， 将 函 数 ()fx在 点 在 点 在 点 在 点 0x处 展 开 成 泰 勒 公 式 处 展 开 成 泰 勒 公 式 处 展 开 成 泰 勒 公 式 处 展 开 成 泰 勒 公 式 .一 般 题 设 中 会 一 般 题 设 中 会 一 般

28、题 设 中 会 一 般 题 设 中 会提 示 一 些 特 殊 的 点 作 为 泰 勒 公 式 的 展 开 点 提 示 一 些 特 殊 的 点 作 为 泰 勒 公 式 的 展 开 点 提 示 一 些 特 殊 的 点 作 为 泰 勒 公 式 的 展 开 点 提 示 一 些 特 殊 的 点 作 为 泰 勒 公 式 的 展 开 点0x， 通 常 取 ， 通 常 取 ， 通 常 取 ， 通 常 取 0x为 函 数 值 为 函 数 值 为 函 数 值 为 函 数 值为 零的 点 为 零的 点 为 零的 点 为 零的 点 、 、 、 、 导 数值 为零 的点 导 数值 为零 的点 导 数值 为零 的点 导

29、数值 为零 的点 、 、 、 、 区 间中 点 区 间中 点 区 间中 点 区 间中 点 、 、 、 、 函 数的 极值 点或 题设 中 函 数的 极值 点或 题设 中 函 数的 极值 点或 题设 中 函 数的 极值 点或 题设 中给 出的 其他 特殊 的点 给 出的 其他 特殊 的点 给 出的 其他 特殊 的点 给 出的 其他 特殊 的点 .3.将 区间 端点 将 区间 端点 将 区间 端点 将 区间 端点 a和 和 和 和 b分 别代 入泰 勒展 开式 分 别代 入泰 勒展 开式 分 别代 入泰 勒展 开式 分 别代 入泰 勒展 开式 ， ， ， ， 把 得到 的两 个展 开式 相 把 得

30、到 的两 个展 开式 相 把 得到 的两 个展 开式 相 把 得到 的两 个展 开式 相加 或相 减 加 或相 减 加 或相 减 加 或相 减 .4.如 果欲 证等 式 如 果欲 证等 式 如 果欲 证等 式 如 果欲 证等 式 ， ， ， ， 则 再应 用介 值定 理即 可证 明 则 再应 用介 值定 理即 可证 明 则 再应 用介 值定 理即 可证 明 则 再应 用介 值定 理即 可证 明 ； ； ； ； 如 果欲 证不 等式 如 果欲 证不 等式 如 果欲 证不 等式 如 果欲 证不 等式 ， ， ， ，则 继续 取绝 对值 放大 、缩 小即 可证 明 则 继续 取绝 对值 放大 、缩

31、小即 可证 明 则 继续 取绝 对值 放大 、缩 小即 可证 明 则 继续 取绝 对值 放大 、缩 小即 可证 明 .1 水平 渐近 线 水平 渐近 线 水平 渐近 线 水平 渐近 线若 若 若 若 Axfx =)(lim (或 或 或 或 Axfx =+)(lim 或 或 或 或 Axfx =)(lim ),则 则 则 则 Ay=是 曲 线 是 曲 线 是 曲 线 是 曲 线)(xfy=的 的 的 的 一 条 一 条 一 条 一 条 水 平渐 近线 水 平渐 近线 水 平渐 近线 水 平渐 近线 2 垂直 垂直 垂直 垂直 （ 竖直 、铅 直） （ 竖直 、铅 直） （ 竖直 、铅 直） （

32、 竖直 、铅 直） 渐 近线 渐 近线 渐 近线 渐 近线若 若 若 若 lim ()xafx+=或 或 或 或 lim ()xafx=,则 则 则 则 xa=为 曲 线 为 曲 线 为 曲 线 为 曲 线 )(xfy=的 一 条 垂 的 一 条 垂 的 一 条 垂 的 一 条 垂直 渐近 线 直 渐近 线 直 渐近 线 直 渐近 线 3 斜渐 近线 斜渐 近线 斜渐 近线 斜渐 近线若 若 若 若 ()lim 0xfxa+=/,lim ()xfxaxb+=或 或 或 或 ()lim 0xfxa=/， ， ， ，lim ()xfxaxb=,则 则 则 则 yaxb=+是 曲线 是 曲线 是 曲

33、线 是 曲线 )(xfy=的 一条 斜渐 近线 的 一条 斜渐 近线 的 一条 斜渐 近线 的 一条 斜渐 近线 基 本积 分公 式 基 本积 分公 式 基 本积 分公 式 基 本积 分公 式 1. arcsin arcsin22 21dxx dxC xCaax x=+ =+ ，2.1arctan arctan22 21dx xdxC xCax x= +=+ + +，3.1 1ln , ln222 222dxax dxaxC Ca aax xa+ = = + 4.tanlncos,cot lnsixd xCxd xC=+ =+ 5.secdln|sectan|x xxC=+6.csdln|cs

34、cot|x xxC=+7.d 22ln| |22x xxaCxa=+ 常 见的 凑微 分形 式 常 见的 凑微 分形 式 常 见的 凑微 分形 式 常 见的 凑微 分形 式 (1)( ) ( )( ) +=+ baxdbaxfnadxxbaxf nnnn 11 ( )0, 0.an(2)() ()()sincos sinsin.f xxdf xdx= (3)() ()()ln lnln.dxfx fxdxx= (4)() ()()2 .dxfx fxdxx= (5)( ) ( )( )cossin coscos.f xxdf xdx= (6)21 11.dxf f dxx xx = 定 积分

35、的性 质 定 积分 的性 质 定 积分 的性 质 定 积分 的性 质 ： ： ： ：(1)() () =baab dxxfdxxf .(2)()0.aafxdx=(3) () () () ()1 22 11 22 .b b ba a akfxkfxdxkfxdxkfxdx+ = + (4)() () ()+= bccaba dxxfdxxfdxxf (c也 可以 在 也 可以 在 也 可以 在 也 可以 在 ba,之 外 之 外 之 外 之 外 ).(5)设 设 设 设 ba,若 若 若 若 ()Mxfm ( )bxa,则 则 则 则() () ().bambafxdxMba (6)不 等式

36、： 不 等式 ： 不 等式 ： 不 等式 ： 1)若 当 若 当 若 当 若 当 axb时 时 时 时 , ),()( xgxf则 则 则 则()d()d;b ba afxxgxx 2)()d|()|d, .b ba afxxfxxab （ （ （ （ 7)积 分中 值定 理： 积 分中 值定 理： 积 分中 值定 理： 积 分中 值定 理： 若 若 若 若 )(xf在 在 在 在 ,ba上 连续 上 连续 上 连续 上 连续 ,则 则 则 则()d()(),bafxxfba b = .()d()bafxxba 称 为 称 为 称 为 称 为 )(xf在 在 在 在 ,ba上 的平 均值 上

37、的平 均值 上 的平 均值 上 的平 均值 .1.平 面图 形的 面积 平 面图 形的 面积 平 面图 形的 面积 平 面图 形的 面积(1)直 角坐 标 直 角坐 标 直 角坐 标 直 角坐 标1)由 由 由 由 = xyyxyybxax 21, ,所 围成 的平 面图 形的 面积 所 围成 的平 面图 形的 面积 所 围成 的平 面图 形的 面积 所 围成 的平 面图 形的 面积21()()bAyxyxdxa= .2） 由 ） 由 ） 由 ） 由 = yxxyxxdycy 21, ,所 围成 的平 面图 形的 面积 所 围成 的平 面图 形的 面积 所 围成 的平 面图 形的 面积 所 围

38、成 的平 面图 形的 面积21()()dAxyxydyc= .(2)极 坐标 极 坐标 极 坐标 极 坐标 cossinxryr=,其 中 其 中 其 中 其 中 为 极角 为 极角 为 极角 为 极角 ,r为 极径 为 极径 为 极径 为 极径 .1） 由 ） 由 ） 由 ） 由 , , (),rr =所 围成 的曲 边扇 形的 面积 所 围成 的曲 边扇 形的 面积 所 围成 的曲 边扇 形的 面积 所 围成 的曲 边扇 形的 面积= drA )(212 .2） 由 ） 由 ） 由 ） 由 1 2 12, , (), (), ,()()rrrr rr=所 围 成 的 所 围 成 的 所 围

39、 成 的 所 围 成 的图 形的 面积 图 形的 面积 图 形的 面积 图 形的 面积 为 ： 为 ： 为 ： 为 ： 2 211()()2Arrd= .2 体积 体积 体积 体积（ （ （ （ 1） 已知 横截 面面 积的 体积 ） 已知 横截 面面 积的 体积 ） 已知 横截 面面 积的 体积 ） 已知 横截 面面 积的 体积 =badxxSV)( （ （ （ （ 2） 旋转 体的 体积 ） 旋转 体的 体积 ） 旋转 体的 体积 ） 旋转 体的 体积 dxxbafVx )(2= ； ； ； ；=badxxxfVy )(2 .3.曲 线弧 长（ 数一 、二 ） 曲 线弧 长（ 数一 、二

40、） 曲 线弧 长（ 数一 、二 ） 曲 线弧 长（ 数一 、二 ） (1):(), ,Cyxaxb= dxbays +=21.(2) (),: ,(),xtC tyt= dtyxs +=22 .(3):(), ,Crr= 22srrd=+ .4.旋 转体 侧面 积（ 数一 、二 ） 旋 转体 侧面 积（ 数一 、二 ） 旋 转体 侧面 积（ 数一 、二 ） 旋 转体 侧面 积（ 数一 、二 ） dxba xfxfS += )(1)(2 2 .p表示价格， Q表示需求量，成本函数 ： ()C,边际成本： ()CQ；收益函数 ： ()RQ边际成本： ()R；利润函数 ： ()L,边际成本： ().LQ经济意义为 ： 每多销售一件产品 ， 成本 、 收益 、利润的增加量 .求弹性 ： 设需求函数 ()Qfp=， 则 0000()()pEQfpp f=称为在 0p=处的需求弹性 .（注： ()0fp，故取负号 ）需 求 弹 性 表 示 在 0p处 ,价 格 上 涨 1%时 ,需 求 减 少0EQp%.收益弹性： pERdR=；收益 弹性表示价格上涨 1%时 ,收益增长 ERp%.