1、1高等数学学习笔记亳州市谯城区估衣小学 唐士刚第一章函数实数一、数的拓展按照习惯,为简便起见:自然数集N, 整数集Z, 有理数集 Q, 实数集 R, 建立了实数轴之后,就建立了实数 对应数轴的点,那么下面我们要一一 建立某一实数集与数轴上某一区间的对应.二、数轴规定了原点，正方向和单位长度的直线叫数轴。所有的实数都可以用数轴上的点来表示。也可以用数轴来比较两个实数的大小。 画一条水平直线，在直线上取一点表示 0，选取某一长度作为单位长度，规定直线上向右的方向为正方向，就得到数轴。所以原点、单位长度、正方向是数轴的三要素。 利用数轴可以比较实数的大小，数轴上从左往右的点表示的数就是按从小到大的顺
2、序。三、区间设数 a, b,且 a a .(, b = x| x b, (, b) = x| x 0 ） |a|=-a（a0.使| f （ x）| M, I,则称函数 f (x ) 在区间 I 上有界, 否则称 f (x ) 在区间 I 上无界，,即对任何 M0,总 3x1 I ,使 f |( x1 ) | M ,那么 f (x ) 在 I 上无 界。 例如: f (x ) =sin x 在区间 ( ,+ ) 内是有界的(Q sin x 1, x ( ,+) ), f (x ) = 在区间(0,1) 内是无界的.x事实上,无论给定多么大的正数 M(不妨设 M1) ,必有 x1 = （0，1）
3、f ( x1 ) 2m=2MM,故 f (x ) = 1 在(0,1)内无界. 例 7 函数 f (x) = sin x 在 x (-,+) 内是有界. 2、单调性 (包括单调增加,单调减少 ) 若函数 f (x ) 在区间 I 上,对任何 x1 , x 2 I , x1 f ( x 2 ) ) ,则称函数 f (x ) 在区间 I 上为严格单调增加( (或严格单调减少) 的函数 .若 f (x ) 在 区 间 I 上 , I , x1 03、 指数函数 y=ax4、对数函数 y=a N 且 ,a0 且 . a0 且 a1二、三角函数ytgxsincosyxytgxcsyxsocct三、反三角
4、函数ariyxarsiyxarcytx四、函数的运算、 、 、 、 符合运算： sinytgxytgusinux第二章 极限和连续第一节 极限（一）数列的极限1.数列按一定顺序排列的无穷多个数称为数列，记作 an，其中每一个数称为数列的项。例如（1）1，3，5，.， ，.（2）1，0，1，0，.，.都是数列。在几何上，数列可看作数轴上的一个动点，它依次取数轴上的点。2.数列的极限定义对于数列，如果无限地趋于一个常数 A，则称当 n 趋于无穷大时，数列以常数 A为极限，或称数列收敛于 A， 4否则称数列没有极限，如果数列没有极限，就称数列是发散的。数列极限的几何意义：将常数 A 及数列的项依次用
5、数轴上的点表示，若数列以 A 为极限，就表示当 n 趋于无穷大时，点可以无限靠近点 A。（二）数列极限的性质（1）数列 an以 a 为极限的另一个说法，或者说一个充要条件是：对于数列 an的任意一个子数列 i都以 a 为极限。（2）如果两个不同数列具有相同的极限： cbannlimli， 而另外一个数列 cn满足条件：存在一个确定的自然数 N，当 nN 时，总是有ban成立，那么数列 c收敛，并且极限为 c。（三）函数极限的概念1.当时函数的极限（1）当时的极限定义 对于函数，如果当 x 无限地趋于一个确定的常数时，函数无限地趋于一个常数A，则称当时函数的极限是 A。（2）当时的左极限定义 对
6、于函数，如果当 x 从的左边无限地趋于确定的常数时，函数无限地趋于一个常数 A，则称当时函数的左极限是 A。（3）当时的右极限定义 对于函数，如果当 x 从的右边无限地趋于确定的常数时，函数无限地趋于一个常数 A，则称当时函数的右极限是 A，这就是说：如果当时，函数的极限等于 A，则必定有左、右极限都等于 A。反之，如果左、右极限都等于 A，则必有函数的极限等于 A。（四）函数的极限定理。首先假设函数 f（x）在点 0的邻域 ),(x内有定义，而在 x0点上不一定需要有定义。如果存在一个确定的点 A，而我们如果取点 A 的任意一个邻域 ),(A，都可以找到相应的点 x0的邻域 ),(x使得对于
7、函数 y=f（x）来说，只要自变量 x属于邻域 ),(里，就有因变量 y 属于邻 ),(， 这样我们就可以说当函5数自变量 x 趋向于点 0时，函数以 A 为极限，记成Axfx)(lim0。（五）无穷小量和无穷大量1、无穷小量和无穷大量定义 对于函数，如果自变量 x 在某个变化过程中，函数的极限为零，则称在该变化过程中，为无穷小量。在微积分中常用希腊字母来表示无穷小量。定义 如果当自变量在变化过程中时，函数值的绝对值可以变得充分大（也即无限地增大） ，则称在该变化过程中，为无穷大量。2.无穷小量与无穷大量的关系无穷小量与无穷大量之间有一种简单的关系，见以下的定理。定理 1.11 在同一变化过程
8、中，如果 f(x)为无穷大量，则 为无穷小量；反之，如1()fx果 f(x)为无穷小量，且 f(x) 0，则 为无穷大量。1()fx3.无穷小量的基本性质性质 1 有限多个无穷小量的代数和仍是无穷小量；性质 2 有界函数（变量）与无穷小量的乘积是无穷小量；常量与无穷小量的乘积是无穷小量。性质 3 有限多个无穷小量的乘积是无穷小量。性质 4 无穷小量除以极限不为零的变量所得的商是无穷小量。 （六）极限的四则运算法则。首先假设函数 f（x）和 g（x ）都在自变量 x 趋向于 x0 时存在有限的极限，那么就有下面的运算规则， （我们简写了极限符号，都是表示 ）：a )(lim)(lifkf其中 k
9、 为实数；b )(li xgxg；c )(li)(liff ；d lixg，其中 0)(lixg。第二节 函数的连续性（一）函数连续的概念61、函数在点处连续定义 1 设函数 y=f（x）在 x0 某个邻域内有定义，如果当自变量的改变量趋近于 0 时，相应的函数也趋近于 0，则称函数 y=f（x）在点处连续。定义 2 设函数 y=f（x） ，如果函数在某点的左极限存在且等于该点的函数值，则称函数 f（x ）在点处左连续；如果 函数在某点的右极限存在且等于该点的函数值，则称函数f（x）在点处右连续。2、函数在区间a，b上连续如果函数 f（x）在区间a，b上的每一点 x 处都连续，则称 f（x）在
10、区间a ，b上连续，并称 f（ x）为a，b上的连续函数。即 f（x）在左端点 a 处是右连续，在右端点 b 处是左连续。3、函数的间断点定义：如果函数 f（x）在点处不连续则称点为 f（x）一个间断点。由函数在某点连续的定义可知，如果 f（x）在点处有下列三种情况之一，则点是f（x）一个间断点。（1）在点处，f（x）没有定义；（2）在点处，f（x）的极限不存在；（3）虽然在点处 f（x）有定义，且存在。（二）函数在一点处连续的性质定理（反函数的连续性）设函数 y=f（x）在某区间上连续，且严格单调增加（或严格单调减少） ，则它的反函数也在对应区间上连续，且严格单调增加（或严格单调减少） 。（
11、三）闭区间上连续函数的性质定理（有界性定理）如果函数 f（x）在闭区间a ，b上连续，则 f（x）必在a ，b上有界。定理（最大值和最小值定理）如果函数 f（x）在闭区间a，b上连续，则在这个区间上一定存在最大值 M 和最小值 m。定理（介值定理）如果函数 f（x）在闭区间a ，b上连续，且其最大值和最小值分别为 M 和 m，则对于介于 m 和 M 之间的任何实数 c，在a，b上至少存在一个最大值。（四）函数的连续性，单侧连续性。我们说函数在某点是连续的，意思是说（1） 函数在这点的某个领域内有定义；7（2） 函数在这点存在极限；（3） 函数在这点的极限等于函数在这点的函数值。函数在某点存在左
12、极限，并且左极限值等于函数在这点的因变量值，这称函数在这点左连续；函数在某点存在右极限，并且右极限值等于函数在这点的因变量值，这称函数在这点右连续。（五）间断点及其分类。如果说一个函数在某点不连续，或者说发生了间断，就必定是出现了三种情况之一：（1） 函数在这点没有定义；（2） 函数在这点不存在左右极限之一或左右极限都不存在；（3） 函数在这点的左右极限与函数在这点的函数值至少有一个不相等。因此我们可以把函数发生间断的情况分成三类：（1）可去间断点。（2）第一类间断点。（3）第二类间断点。闭区间连续函数的性质1 .定义在一个闭区间a，b上面的连续函数 f（x） ，对于满足 f（a）cf（b）的
13、任意的 c 值，总是存在一个相应的 ,bax，使得 .)(c这就是所谓介值定理。2.定义在一个闭区间a，b上面的连续函数 f（x） ，如果 f（a）f （b）0，则总是存在一个 ,bax，使得 .)(cf这就是所谓零值定理。（六）初等函数的连续性由于基本初等函数在其定义区间内是连续的，可以得到下列重要结论。定理：初等函数在其定义的区间内连续。例 1.点的连续性的逆问题当 x0 时，F（x）=f （x） 。若 F（x）在点 x=0 处连续，则 F（0）等于_。A.-1 B.0 C.1 D.2 答C第三章 导数与微分一、 导数概念导数的概念 )(xf在点 0处可导是指极限 xffx)(lim00存
14、在，且该点处的导数就是这个极限的值。导数的定义式还可写成极限80)(lim0xfx函数 )(xf在点 0处的导数 )(f的几何意义是曲线 )(xfy上点 )(,0xf处切线的斜率。曲线 )(fy在点 )(,0xf处的切线方程为 )()(00xfxfy函数 )(xfy在 0点可导，则在 0点连续。反之则不然，函数 )(xfy在 0点连续，在 0点不一定可导。二、 凑微分法例 1 求 dx2cos解 因为 s)(in而 ，x2cosi21所以 。cdsin1例 2 求 x)4si(3解 )4sin(3)co(4 )4sin()co(1sxxx按照等价命题 cxd)4os(3)i(在以上的例子中，基
15、本想法是找 使 具体做法是利用链法则，按 的具体Ff f情况凑出了 。这种计算不定积分的方法叫做凑微分法，或叫换元法（integration Fby substitution）例 4 求 dx239解 cxcuduxddx3222 113注意运算中的一个细节： ,知道这一点非常重要。在凑微分的过程中，)(2xd下面这些微分等式至关重要。； ; ；0),(1abxd） ）（ 21a） ）（ 321xadx； ； ；)2( )(lnxd)(sinco； ； ；)(xxed)(arct12x )(arcsi12xdx总结一些常见的凑微分公式如下（表 5.2） 。被积分表达式中含有 凑微分法)0(,1
16、abxd )0(,)(1)( abxdafdxbaf）（ 2xx 22)()(xfxf）（ 321d 331dfdf)0(1xx )0()(1xfxf)lnd ln(lndfdf(sicoxx )(siicos)(i xfxf)cosind coindfdf(tane2xx )(tantsec)(ta2xfxf)rct12d dfdf rctrt1rtn210)(arcsin12xdx xdfdxxf arcsin)(ri1)(arcsin2例 5 求 i解 因为 2)cos(1sin2xxd所以 cxd )2sin(41)(i例 6 求 dx)sin(2解 因为 )(sin1i 22xd设
17、u=x2，所以 cxcuuudx )os(21)os(21si)si()sin(三、 换元法如果上述凑的方法行不通，而且被积函数中含有开方运算，这时就要“无中生有”了引入新变量，将被积函数中的根号“去掉”例 10 求 dx)1(2从被积表达式中难以看出怎样凑出 .可以做个变换)(xduf或者 2uxx那么 dudux1)(2)1(2=dux )1()( cxncdu1ln1四、小结与提问：总结一下，利用凑微分法解题的要点是：根据被积函数的特点凑出中间变量11及其微分形式，或者说，将被积表达式表示成 ，从而将积分化)(xu )(xduf为推广的积分表的形式，即的形式。应用这种),(1),(sin
18、),( 2xuxduxd 方法 ，必须熟悉怎样将某些函数移进微分号内，这是微分运算的相反过程五、隐函数的求导法则 如果方程 f(x,y)=0能确定 y 是 x 的函数，那么称这种方式表示的函数是隐函数。f(x,y)=0 即隐函数是相对于显函数来说的。隐函数存在定理1 设函数 在点 的某一邻域内具有连续偏导(,)Fxy0(,)Pxy数， ， ，则方程 在点 的某一邻域内恒能0(,)Fxy0(,)y0x唯一确定一个连续且具有连续导数的函数 它满足条件 ，并有()yf 0()yfdxyF例 1 验证方程 在点 的某一邻域内能唯一确定一个sine10xy(,)单值可导的隐函数 ，并求 ()f2d,0y
19、yx解 设 ， 则(,)sine1xFxy1） ， 连续；excoy2） ；(0,)3） 1yF因此由定理 1 可知，方程 在点 的某一邻域内能唯一确sine10xy(,)定一个单值可导的隐函数 ()f，d0yx0xyFe10,cosxy122d0yxde()0,1cosxyy 021 ()(e)sin)csxxxy 3隐函数存在定理 2 设函数 在点 的某一邻域内具有连续(,)Fxyz0(,)Pxyz的偏导数，且 ， ，则方程 在点0(,)Fxyz0z(,)0Fxyz的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续偏导数的函数0(,)xy， 它满足条件 ，并有zf00(,)zfxy， xzFyz例
20、 2 设 ，求 240xyz2x解 设 ，则 ， ， 22(,)FzxF24z，4xz 2 2223()()()()xxxzxz z隐函数存在定理 3 设 ， 点 的某一邻(,)Fyuv(,)Gxyuv00(,)Pyuv域内具有对各个变量的连续偏导数，又 ，00，且偏导数所组成的函数行列式（或称雅可比（Jacobi）行列00(,)Gxyuv式） (,)FGuvJv在点 不等于零，则方程组 ， ，在点00(,)Pxyuv(,)0Fxyv(,)0Gxyuv13的某一邻域内恒能唯一确定一组连续且具有连续偏导数的函数00(,)Pxyuv(,)uxyv，它们满足条件 ， ，且有00(,)uxy0(,)，
21、 ，1(,)xvuvFGxJv1(,)uxvuFGJx， 1(,)yvuvuFyJvG1(,)yuvFJyG七、微分学定理罗尔中值定理如果函数 f(x)满足以下条件：在闭区间a,b上连续，在(a,b)内可导，f(a)=f(b)，则至少存在一个 (a,b)，使得 f()=0.罗尔中值定理证明:方程 3ax2+2bx-(a+b)=0 在（0，1）内有实根.设 F(x)=ax3+bx2(a+b)x，则 F(x)在0,1上连续，在(0,1)内可导，F(0)=F(1)=0，所以由罗尔中值定理，至少存在一点 (0,1)，使得 F()=0. F(x)=3ax2+2bx(a+b)，所以 3a2+2b(a+b)
22、=0，所以 是方程方程3ax2+2bx(a+b)=0 在（0，1）内的一个实根.拉格朗日中值定理又称拉氏定理，是罗尔中值定理的推广，同时也是柯西中值定理的特殊情形。如果函数 f(x)在(a，b)上可导，a,b上连续，则必有一 (a,b)，使得f()*(b-a)=f(b)-f(a) 拉格朗日中值定理的几何意义14在(a，b)上可导，a,b上连续是拉格朗日中值定理成立的充分条件。拉格朗日中值定理的几何意义令 f(x)为 y，则该公式可写成y=f(x+x)*x (01)上式给出了自变量取得的有限增量x 时，函数增量y 的准确表达式， 因此本定理也叫有限增量定理。f(b)-f(a)=f(a+(b-a)
23、（b-a）,01.f(a+h)-f(a)=f(a+h)h,01.若函数 f(x)在区间a,b满足以下条件：(1)在a,b连续(2)在(a,b)可导则在(a,b)中至少存在一点 f(c)=f(b)-f(a)/(b-a) acb，f(b)-f(a)=f(c)(b-a) 成立，其中 acb易证明此函数在该区间满足条件:1.g(a)=g(b)=0;2.g(x)在a,b连续;3.g(x)在(a,b)可导.若连续曲线 y=f(x)在 A(a,f(a),B(b,f(b)两点间的每一点处都有不垂直于 x 轴的切线,则曲线在 A,B 间至少存在 1 点 P(c,f(c),使得该曲线在 P 点的切线与割线 AB
24、平行。证明：f(b)-f(a)=f()*(b-a) a,b由于已知 f()=0，f(b)-f(a)=0，即 f(b)=f(a)这就是说，在区间内任意两点的函数值都相等。因此函数在区间内是一个常数。八、洛必达法则定义设函数和满足下列条件：f（x） 、g（x）在 x0 邻域内可导。且 00lim()li()xxfg g（x）0；15 ，()limgxfA则 00()()lilixxff洛必达第一法则 若函数 和 满足条件：)(xfg对于点 近旁的 （或绝对值足够大的 ） ，有导数 和 且()iaaxx)(xfg；0xg；()i0)(lim)(l xgfaxax(有限数或 )；iAax)l)( 则有
25、 0)(lim)xgfax xgfax)(li)(洛必达第二法则 若函数 和 满足条件：f)(对于点 近旁的 （或绝对值足够大的 ） ，有导数 和 且()iaaxx()fxg；0xg；()i)()(lmax(有限数或 )；iAgfax)l)( 则有 )(lim)xgfax xgfax)(li)(九、 函数单调性(一)函数单调性概念(1)增减函数定义一般地,设函数 y=f(x)的定义域为 I,对于定义域 I 内某个区间 D 上的任意两个自变量的值 x1 、x2 :如果当 x1x2 时,都有 f(x1 ) f(x2 ),那么就说函数 y=f(x)在区间 D 上是增16函数;如果当 x1x2 时,都
26、有 f(x1 ) f(x2 ),那么就说函数 y=f(x)在区间 D 上是减函数。如果函数在区间 D 上是增函数或减函数,那么就说函数在这一区间具有 (严格的) 单调性 ,区间 D 叫做的单调区间。（2）函数单调性判断方法介绍1、图象法: 画函数 y=f(x)的图象,看在某区间 D 上,y 的值随 x 值的增大而增大还是减少,从而做出函数单调性的判断。2、定义法: 利用增减函数的定义判断。在判断过程中,把数式的大小比较转化为求差比较( 或求商比较)。3、导数法 :利用函数单调性与可导函数的正负性关系判断。设可导函数在定义域的某个区间(a,b)内,如果 ,那么函数 f(x)在这个区间内单调递增;
27、如果 ,那么函数 f(x)在这个区间内单调递减。求导判断函数单调性的程序:求函数的导数;把导函数 进行变形,化简,因式分解,判断正负;十、函数的极值1.极大值： 一般地，设函数 f(x)在点 x0 附近有定义，如果对 x0 附近的所有的点都有 f(x)f(x0)，就说 f(x0)是函数 f(x)的一个极大值，记作 y 极大值=f(x0)，x0 是极大值点2.极小值：一般地，设函数 f(x)在 x0 附近有定义，如果对 x0 附近的所有的点，都有 f(x)f(x0).就说 f(x0)是函数 f(x)的一个极小值，记作 y 极小值=f(x0)，x0 是极小值点3. 求可导函数 f(x)的极值的步骤
28、:(1)确定函数的定义区间，求导数 (2)求方程 =0 的根(3)用函数的导数为 0 的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格.检查 在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么 f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么 f(x)在这个根处取得极小值；如果左右不改17变符号，那么 f(x)在这个根处无极值4、讲解范例：例 2 求 y=(x21)3+1 的极值解：y=6x(x21)2=6x(x+1)2(x1)2令 y=0 解得 x1=1，x2=0，x3=1当 x 变化时，y，y 的变化情况如下表 -1 (-1,0) 0 (0,1) 1 0 0 + 0 + 无极值 极小值 0
29、无极值 当 x=0 时， y 有极小值且 y 极小值=05、课堂练习：1求下列函数的极值.(1)y=x27x+6 (2)y=x327x十一、函数作图法1、函数的凸凹与拐点定义 如果在某区间内，曲线 上每一点处的切线都位于曲线的上)(xfy方，则称曲线 在此区间内是凸的；如果在某区间内，曲线 上)(xfy )(xfy每一点处的切线都位于曲线的下方，则称曲线 在此区间内是凹的)(xfy定理 设 在 上连续，在 内具有二阶导数，则：)(xf,ba),(ba（）若在 内， ,则曲线 在 上是凹的,0)(xf (xfy,ba（）若在 内， ,则曲线 在 上是凸的)()定义 2 曲线 上，凸与凹的分界点称
30、为该曲线的拐点xfy例 求函数 的凸凹区间及拐点32)()解 ， 313245(xxf 334319)25(90( xxf 令 得 ；而 为 不存在的点用 将定义0)f)f 0,区间 分成三个部分区间（见下表）,(18由表可知，曲线 的凸区间是 ，凹区间是 , ；点)(xf )52,()052()(是拐点)2541,(3x,(52)0,(0 ),()f 0不存在(x凸 拐点 凹 不是拐点 凹2、曲线的渐近线定义 2 若曲线上一点沿曲线无限远离原点时，该点与某条直线的距离趋于零，则称此直线为曲线的渐近线（一）水平渐近线若函数 的定义域是无限区间，且有 （或 ，)(xfy axf)(limaxfx
31、)(li） ，则直线 称为曲线 的水平渐近线axfx)(limay)(fy例 对于曲线 ，由于 ，xfrctn)( 2arctnlixx，所以直线 与 是曲线 的水平渐近2arctnlixx 2yxfarctn)(线（二）垂直渐近线若 是函数 的间断点，且 （或 ，0)(xfy)(lim0xf )(li0xfx） ，则直线 称为曲线 的垂直渐近线)(lim0xfx 0y例 求 的垂直渐近线1)(xf解 因为 ，所以， 是曲线的一条垂直渐近线li1x 1x（三）斜渐近线若曲线 的定义域为无限区间，且有 ，)(fy axf)(lim，则直线 称为曲线 的斜渐近线baxfx)(limbaxyfy例
32、求曲线 的渐近线1219解 因为 ，所以直线 是曲线的垂直渐近线，又xx1lim2 1x，1limli)(li2xxfax；1)(li)(li)(lim2 xafbxxx所以 为曲线的斜渐近线1y三、函数图形的作法描绘函数的图形可按下面的步骤第一步 确定函数 的定义域及函数的某些特性（如奇偶性，周期性)(xfy等）第二步 求出方程 和 在函数定义域内的全部实根和0)(f)(xf， 不存在的点；用 这些点把定义域划分成部分区间)(xff第三步 确定在这些部分区间内 和 的符号，并由此确定函数的)(xf)(f升降、凸凹、极值点和拐点第四步 确定函数图形的水平、铅直和斜渐近线以及其它变化趋势例 描绘函数 的图形 2xey解 （1）函数的定义域为 ，且 ，故 图形在上半平面内),(0y（2） 是偶函数，图2xey形关于 轴对称（3）曲线 与 轴的2xey交点为 )1,0(（4）因 ，故0lim2xe是一条水平渐近线y 图720（5） ，令 得驻点 2xey 0y0x（6） ，令 得 2)1(2/1列表如下： x0)/,(/),/(y 0y极大值 1凸 拐点 凹由上面分析画出草图（图 37）
