1、1第三讲：公因数和公倍数知识点拨一、 公约数的概念与最大公约数几个数公有的约数，叫做这几个数的公约数；其中最大的一个，叫做这几个数的最大公约数。0 被排除在约数与倍数之外。例如：12 的约数有：1,2,3,4,6,1218的约数有：1,2,3,6,9,1812和 18的公约数有：1,2,3,6，其中 6是 12和 18的最大公约数，记作（12，18）=61 求最大公约数的方法分解质因数法：先分解质因数，然后把相同的因数连乘起来例如： ， ，所以 ；23172537(231,5)721短除法：先找出所有共有的约数，然后相乘例如： ，所以 ；89632(,8)236辗转相除法：每一次都用除数和余数
2、相除，能够整除的那个余数，就是所求的最大公约数用辗转相除法求两个数的最大公约数的步骤如下：先用小的一个数除大的一个数，得第一个余数；再用第一个余数除小的一个数，得第二个余数；又用第二个余数除第一个余数，得第三个余数；这样逐次用后一个余数去除前一个余数，直到余数是 0 为止那么，最后一个除数就是所求的最大公约数 (如果最后的除数是 1，那么原来的两个数是互质的 )例如，求 600 和 1515 的最大公约数：； ； ； ； ；所以560235 601285 3130 28591 30521515 和 600 的最大公约数是 152 最大公约数的性质几个数都除以它们的最大公约数，所得的几个商是互质
3、数；几个数的公约数，都是这几个数的最大公约数的约数；几个数都乘以一个自然数 ，所得的积的最大公约数等于这几个数的最大公约数乘以 n n2、公倍数的概念与最小公倍数几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数；其中最小的一个，叫做这几个数的最小公倍数。例如：12 的倍数有：12,24,36,48,60,72,84.18的倍数有：18,36,54,72,90.12和 18的公倍数有：36,72.，其中 36是 12和 18的最小公倍数，记作12，18=361. 求最小公倍数的方法分解质因数的方法；2例如： ， ，所以 ；23172537231,53712短除法求最小公倍数；例如： ，所以 ；839621
4、8,2326 ,(,)ab2. 最小公倍数的性质两个数的任意公倍数都是它们最小公倍数的倍数两个互质的数的最小公倍数是这两个数的乘积两个数具有倍数关系，则它们的最大公约数是其中较小的数，最小公倍数是较大的数三、最大公约数与最小公倍数的常用性质1 两个自然数分别除以它们的最大公约数，所得的商互质。如果 为 、 的最大公约数，且 ， ，那么 互质，所以 、 的最小公倍数为mABAmaBba、 AB，所以最大公约数与最小公倍数有如下一些基本关系：ab ，即两个数的最大公约数与最小公倍数之积等于这两个数的积；ABmaba最大公约数是 、 、 、 及最小公倍数的约数BAB2 两个数的最大公约和最小公倍的乘
5、积等于这两个数的乘积。即 ，此性质比较简单，学生比较容易掌握。(,),abab3 对于任意 3 个连续的自然数，如果三个连续数的奇偶性为a)奇偶奇，那么这三个数的乘积等于这三个数的最小公倍数例如： ，210 就是 567 的最小公倍数567210b)偶奇偶，那么这三个数的乘积等于这三个数最小公倍数的 2 倍例如： ，而 6,7,8 的最小公倍数为833618性质（3）不是一个常见考点，但是也比较有助于学生理解最小公倍数与数字乘积之间的大小关系，即“几个数最小公倍数一定不会比他们的乘积大” 。例题精讲【例 1】 两根电线分别长 24m 和 16m，现将两根电线剪成相等的小段并且没有剩余，剪成的小
6、段最长可以是多少米？3【巩固】求 12 和 18 的最大公因数。【例 2】 找出下面每组数的最大公因数，你有什么发现吗？4 和 20 6 和 36 7 和 8 6 和 19【巩固】说出下面各组数的最大公因数。4 和 16 15 和 22【例 3】 用一个数去除 30、60、75，都能整除，这个数最大是多少？【巩固】一个数用 3、4、5 除都能整除，这个数最小是多少？【例 4】 有三根铁丝，长度分别是 120 厘米、180 厘米和 300 厘米.现在要把它们截成相等的小段，每根都不能有剩余，每小段最长多少厘米？一共可以截成多少段？【巩固】加工某种机器零件，要经过三道工序。第一道工序每个工人每小时
7、可完成 3 个零件，第二道工序每个工人每小时可完成 10 个，第三道工序每个工人每小时可完成 5 个，要使加工生产均衡，三道工序至少各分配几个工人？【巩固】有三根钢管，它们的长度分别为 240cm，200cm，480cm，如果把它们截成同样长的小段，且不许有剩余，每小段最长可以是多少厘米？4【例 5】 一张长方形的纸，长 7 分米 5 厘米、宽 6 分米。现在要把它裁成一块正方形，而且正方形边长为整厘米数，有几种裁法？如果要使裁得的正方形面积最大，可以裁多少块？【巩固】把 1 米 3 分米 5 厘米长、1 米 5 厘米宽的长方形纸，裁成同样大小的正方形而无剩余，至少能裁几块？【例 6】 用一张
8、长 1072 毫米、宽 469 毫米的长方形纸，剪成面积相等的正方形，并且最后没有剩余，这些正方形的边长最长是多少？（辗转相除法）【巩固】用辗转相除法判断 1547 和 3135 是否互质。【例 7】 用辗转相除法求 4811 和 1981 的最大公约数。【巩固】求 1008、1260、882 和 1134 四个数的最大公约数是多少？【例 8】 求 21672 和 11352 的最小公倍数。【例 9】 已知两个自然数的最大公约数为 4，最小公倍数为 120，求这两个数5【巩固】两个数的最大公约数是 15，最小公倍数是 90，求这两个数分别是多少？【巩固】已知两数的最大公约数是 21，最小公倍数
9、是 126，求这两个数的和是多少？【例 10】 两个自然数的积是 360，最小公倍数是 120，这两个数各是多少？【巩固】已知两数的最小公倍数是 210，它们的积是 1260，它们的和是 72，求这两个数的差？【例 11】 两个自然数的和是 125，它们的最大公约数是 25，试求这两个数【例 12】 甲乙丙三人是朋友，他们每隔不同的天数到图书馆去一次，甲 3 天去一次，乙 4 天去一次，丙 5 天去一次，有一天，他们三人正好在图书馆相会。问至少再过多少天他们三人又会在图书馆相会？【巩固】1 路、2 路和 5 路都从东站发车，1 路车每隔 10 分钟发一辆，2 路车每隔 15 分钟发一辆，而 5
10、路车每隔 20 分钟发一辆。当这三种路线的车同时发车后，至少要过多少分钟又有这三种路线的车同时发车？【巩固】甲、乙、丙从同一起点出发沿同一方向在圆形跑道上跑步，甲跑一圈用 120 秒，乙跑一圈用 80秒，丙跑一圈用 100 秒，问：再过多长时间三人第二次从同时从起点出发？6【例 13】 一所学校的同学排队做操，排成 14 行、16 行、18 行都正好能成长方形。这所学校至少有多少人？【巩固】有一批乒乓球，总数在 1000 个以内，4 个装一袋，5 个装一袋或 6 个、7 个、8 个装一袋最后都剩下一个。这批乒乓球到底有多少个？【例 14】 学校六年级有若干同学排队做操，如果 3 人一行余 2
11、人，7 人一行余 2 人，11 人一行也余2 人。六年级最少有多少人？【巩固】一袋糖，平均分给 15 个小朋友或 20 各小朋友后，最后都余下 5 块。这袋糖至少有多少块？【巩固】一个数能被 3、5、7 整除，但是被 11 除余 1，这个数最少是多少？【例 15】 一盒围棋子，4 颗 4 颗数多 3 颗，6 颗 6 颗数多 5 颗，15 颗 15 颗数多 14 颗，这盒棋子在150-200 颗之间，问共有多少颗？【巩固】五一班的五十多位同学去大扫除，平均分成 4 组多 2 人，平均分成 5 组多 3 人，请你算一算，五一班有多少位同学？【巩固】有一批水果，每箱放 30 个则多 20 个，每箱放
12、 35 个则少 10 个。这批水果至少有多少个？7【例 16】 从学校到少年宫的这段公路上，一共有 37 根电线杆，原来每两根电线杆之间相距 50,米，现在要改成每两根之间相距 60 米，除两端两根不需移动外，中途还有多少根不必移动？【巩固】插一排红旗共 26 面。原来每两面之间的距离是 4 米，现在改为 5 米。如果起点一面不移动，还可以有几面不移动？【例 17】 在一根长木棍上用红、黄、蓝三种颜色做标记，分别将木棍平均分成了 10 等份、12 等份和15 等份。如果沿这三种标记把木棍锯断，木棍总共被锯成多少段？【巩固】父子二人在雪地散步，父亲在前，每步 80 厘米，儿子在后，每步 60 厘米。在 120 米内一共留下多少个脚印？
