1、 有志者事竟成！ 勤奋努力+坚持不懈+ 沉着自信=成功！“千里之行，始于足下”今日事今日毕，努力从现在开始！ 1初二数学讲义勾股定理一知识归纳勾股定理内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为 ， ，斜边为 ，那么abc22abc勾股定理的由来：勾股定理也叫商高定理，在西方称为毕达哥拉斯定理我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦早在三千多年前，周朝数学家商高就提出了“勾三，股四，弦五”形式的勾股定理，后来人们进一步发现并证明了直角三角形的三边关系为：两直角边的平方和等于斜边的平方.勾股定理的证明勾股定理的证明方法很
2、多，常见的是拼图的方法用拼图的方法验证勾股定理的思路是图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理常见方法如下：方法一： ， ，化简可证4EFGHSS正 方 形 正 方 形 ABCD214()abc（方法一）cbaHGFED CBA（方法二）bac baccabcab（方法三）abccbaEDCBA方法二： 四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为 2214Sc大正方形面积为 所以22()Sababab方法三： ， ，化简得证1梯 形 21SADEBc梯 形.勾股定理
3、的适用范围勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形.勾股定理的应用已知直角三角形的任意两边长，求第三边在 中， ，则 ， ，ABC902cab2ca2cb知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系可运用勾股定理解决一些实际问题5.勾股数能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即 中， ， ， 为正整数时，称22abcabc有志者事竟成！ 勤奋努力+坚持不懈+ 沉着自信=成功！“千里之行，始于足下”今日事今日毕，努力从现在开始！ 2， ， 为一组
4、勾股数abc记住常见的勾股数可以提高解题速度，如 ； ； ； 等3,456,8105,237,45用含字母的代数式表示 组勾股数：n（ 为正整数） ； （ 为正整数）221,n,22,1nnn（ ， 为正整数）2,m,m例题解析题型一：直接考查勾股定理例.在 中， ABC90已知 ， 求 的长 已知 ， ，求 的长68AB17AB5CB分析：直接应用勾股定理 22abc考点一、已知两边求第三边例已知，如图在 ABC 中，AB=BC=CA=2cm，AD 是边 BC 上的高求 AD 的长；ABC 的面积练习一1已知直角三角形的两边长为 3、2，则另一条边长_2.（2009 年滨州）某楼梯的侧面视图
5、如图 4 所示，其中 米， ，4AB30C，因某种活动要求铺设红色地毯，则在 AB 段90C楼梯所铺地毯的长度应为 3在数轴上作出表示 的点104三角形 ABC 中,AB=10,AC=17,BC 边上的高线 AD=8,求 BC题型二：应用勾股定理建立方程例.在 中， ， ， ， 于 ， ABC905ABcm3CcDABC已知直角三角形的两直角边长之比为 ，斜边长为 ，则这个三角形的面积为 :415已知直角三角形的周长为 ，斜边长为 ，则这个三角形的面积为 3BCA 30有志者事竟成！ 勤奋努力+坚持不懈+ 沉着自信=成功！“千里之行，始于足下”今日事今日毕，努力从现在开始！ 3CBA DEF分
6、析：在解直角三角形时，要想到勾股定理，及两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积有时可根据勾股定理列方程求解例.如图 中， ， ， ， ，求 的长ABC90121.5CD2.BAC 21 EDC BA例 4.如图 ， ,分别以各边为直径作半圆，求阴影部分面积RtABC903,4ABC BAC考点二、利用列方程求线段的长例如图，铁路上 A，B 两点相距 25km，C，D 为两村庄，DAAB 于 A，CBAB 于 B，已知DA=15km，CB=10km，现在要在铁路 AB 上建一个土特产品收购站 E，使得 C，D 两村到 E 站的距离相等，则 E站应建在离 A 站多少 km 处？练习二如图，小红用一
7、张长方形纸片 ABCD 进行折纸，已知该纸片宽 AB 为 8cm，长 BC为 10cm当小红折叠时，顶点 D 落在 BC 边上的点 F 处（折痕为 AE） 想一想，此时 EC 有多长？题型三：实际问题中应用勾股定理例 5.如图有两棵树，一棵高 ，另一棵高 ，两树相距 ，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵数8cm2c8cm的树梢，至少飞了 ADE BC有志者事竟成！ 勤奋努力+坚持不懈+ 沉着自信=成功！“千里之行，始于足下”今日事今日毕，努力从现在开始！ 4AB CDE题型四：与展开图有关的计算例 4、如图一个圆柱，底圆周长 6cm，高 4cm，一只蚂蚁沿外壁爬行，要从 A 点爬到 B 点，则最
8、少要爬行 cm题型五：勾股定理的实际应用用勾股定理求两点之间的距离问题例、如图所示，在一次夏令营活动中，小明从营地 A 点出发，沿北偏东 60方向走了 到达 B 点，然后再沿北偏西 30方向走了 500m 到达目的地 C 点。（1）求 A、C 两点之间的距离。（2）确定目的地 C 在营地 A 的什么方向。练习.如图 8，公路 MN 和公路 PQ 在点 P 处交汇，且 QPN=300，点 A 处有一所中学， AP=160 米，假设拖拉机行驶时，周围 100 米以内会受到噪音的影响，那么拖拉机在公路 MN 上沿 PN 方向行驶时，学校是否回受到噪声的影响？说明理由如果受影响，已知拖拉机的速度为 1
9、8 千米/时，那么学校受影响的时间为多少秒？图 8AB有志者事竟成！ 勤奋努力+坚持不懈+ 沉着自信=成功！“千里之行，始于足下”今日事今日毕，努力从现在开始！ 5AB CD E第 7 题FEDCBA第 9 题BA6cm3cm1cm第 10 题图勾股定理提高训练（一）1、在 RtABC 中,若直角边的长分别为 1cm，2cm ，则斜边长为_2、已知直角三角形的两边长为 3、2，则另一条边长是_3在一个直角三角形中，若斜边长为 5cm，直角边的长为 3cm，则另一条直角边的长为( ).A4cm B4cm 或 C D不存在cm4c344、在直角三角形 ABC 中，斜边 AB=1，则 AB 的值是（
10、 ）22ABA.2 B.4 C.6 D.85、直角三角形两直角边长分别为 5 和 12，则它斜边上的高为_6、如图，学校有一块长方形花铺，有极少数人为了避开拐角走“捷径” ，在花铺内走出了一条“路” 他们仅仅少走了 步路（假设 2 步为 1 米） ，却踩伤了花草7、如图，在 ABC 中， AB AC13， BC10， D 是 AB 的中点，过点 D 作 DE AC 于点 E，则 DE的长是_.8、把一根长为 10的铁丝弯成一个直角三角形的两条直角边，如果要使三角形的面积是 92，那么还要准备一根长为_的铁丝才能把三角形做好9如图，将一个边长分别为 4、8 的长方形纸片 ABCD 折叠，使 C
11、点与A 点重合，则 EB 的长是（ ） A3 B4 C D5 510、如图，长方体的底面边长分别为 1cm 和 3cm，高为 6cm如果用一根细线从点 A 开始经过 4 个侧面缠绕一圈到达点 B，那么所用细线最短需要_cm；如果从点 A 开始经过 4 个侧面缠绕 3 圈到达点 B，那么所用细线最短需要_cm11、在数轴上作出表示 的点10“路”4m3m第 6 题图有志者事竟成！ 勤奋努力+坚持不懈+ 沉着自信=成功！“千里之行，始于足下”今日事今日毕，努力从现在开始！ 612、如图，某学校（A 点）与公路（直线 L）的距离为 300 米，又与公路车站（D 点）的距离为500 米，现要在公路上建一个小商店（C 点） ，使之与该校 A 及车站 D 的距离相等，求商店与车站之间的距离13、如图， AB 为一棵大树，在树上距地面 10m 的 D 处有两只猴子，它们同时发现地面上的 C处有一筐水果，一只猴子从 D 处上爬到树顶 A 处，利用拉在 A 处的滑绳 AC，滑到 C 处，另一只猴子从 D 处滑到地面 B，再由 B 跑到 C，已知两猴子所经路程都是 15m，求树高 AB.BACD.第 12 题图
