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类型第6-2讲-分配格和有补格.ppt

  • 上传人:无敌
  • 文档编号:55954
  • 上传时间:2018-03-08
  • 格式:PPT
  • 页数:11
  • 大小:175.55KB
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    第6-2讲-分配格和有补格.ppt
    资源描述:

    1、1,第6-2讲 分配格和有补格,1. 分配格2.有界格3.有补格4.有补分配格5. 课堂练习,2,1、分配格(1),格中任意三个元素a,b,c存在分配不等式: a(bc)(ab)(ac) a(bc)(ab)(ac)是否有成立分配等式的格呢?来看几个简单的例子:,右图所示三个偏序集都是格,它们都满足分配不等式,而且(1)和(2)还能使分配等式成立。(3)的情况就有些不同。,例如在(1)中: a(bc)=ab=b;(ab)(ac)=bc=b 在(3)中: a(bc)=aa=a;(ab)(ac)=bc=a 但 b(dc)=ba=b;(bd)(bc)=ee=e,3,1、分配格 (2),定理1 如果格中

    2、运算对运算可分配,则运算对运算可分配。反之亦然。,定义1 设是由格诱导的代数系统。如果对任意a,b,cA,满足 a(bc)=(ab)(ac) a(bc)=(ab)(ac)则称是分配格。,证:设a,b,c是格中任意元素,如果 a(bc)=(ab)(ac) 则(ab)(ac)=(ab)a)(ab)c) =a(ab)c)=a(ac)(bc) =(a(ac)(bc)= a(bc)类似可证 a(bc)=(ab)(ac) a(bc)=(ab)(ac),4,1、分配格 (3),例1 判断下列各图是否为分配格?,解: (1)、(4)是分配格。 (2)、(3)不是分配格。在(2)中, b(cd)=be=b,(b

    3、c)(bd)=aa=a在(3)中, d(bc)=be=b,(db)(dc)=ac=c,5,1、分配格 (4),定理2 链是分配格。,(2)ba且ca。这时必有bca(上界)。进而有 a(bc)=bc(格的性质8) 另一方面,由ba且ca可得:(ab)(ac)=bc 所以, a(bc)=(ab)(ac),证:设是链,则是格。对任意a,b,cA,可分两种情况讨论:,(1)ab或ac。这时,不论bc还是cb,应有 a(bc)=a和(ab)(ac)=a所以, a(bc)=(ab)(ac),6,1、分配格 (5),定理3 设是分配格,则对任意a,b,cA,如果 ab=ac且ab=ac,则b=c。,证:b

    4、=b(ba) (吸收律) =b(ab) (交换律) =b(ac)(已知ab=ac) =(ba)(bc) (结合律) =(ac)(bc)(交换律,已知ab=ac) =(ab)c =(ac)c =c(ca)=c,7,2、有界格 (1),格的全下界常记为0,全上界常记为1。,定义2 设是格,如果存在元素aA,对任意xA,都有ax(xa),则称a为格的全下界(全上界)。,定理4 格的全下界(全上界)如果存在必唯一。,证:假设格有两个全下界a和b,a,bA。那么按全下界的定义,应有ab和ba同时成立,从而a=b。,例如,设S是有限集合,那么格是有界格,其全下界是,全上界是S。,定义3 具有全下界和全上界

    5、的格称为有界格。,8,2、有界格 (2),证:因是有界格,对任意aA,应有0a1,由此式及格的性质8即可得上述四式。,定理5 设是有界格,则对任意aA,必有 a1=1,a1=a;a0=a,a0=0。,定义4 设是有界格,若对任意aA,存在bA,使ab=1,ab=0,则称b是a的补元。,例如,左图所示有界格中,d和c、d和e、a和e 、0和1互为补元,即a、c、d、e、0、1都有补元。但b没有补元。,9,3、有补格,证:设a有补元b、c,则有 ab=1,ab=0;ac=1,ac=0。那么, ab=ac, ab=ac所以,b=c(定理3)。,定义5 若有界格中,每个元素至少有一个补元,则称为有补格。,定理6 在有界分配格中,若某元素有补元,则必唯一。,10,4、有补分配格,定义6 若一个格既是有补格,又是分配格,则称为有补分配格,也叫布尔格。,将有补分配格中元素a的补元记作a。,11,5、课堂练习,练习1 指出下图所示有界格中各元素的补元。,解:(1)b、c是a的补元;a、c是b的补元; a、b是c的补元; 0、1互为补元。 (2)a、b的补元是c; c的补元是a、b;0、1互为补元。,

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