1、2.3直线、平面垂直的判定及其性质2.3.2平面与平面垂直的判定,点、直线、平面之间的位置关系,掌握二面角的概念，会求简单的二面角的大小，掌握平面与平面垂直的判定定理，并能灵活应用,基础梳理,1二面角 (1)二面角：从一条直线出发的_所组成的图形叫做二面角；_叫做二面角的棱_叫做二面角的面 如图，记作：二面角_或_或_ (2)二面角的平面角 如图：二面角l,(1)两个半平面这条直线这两个半平面 l P AB QP l Q,若有O_lOA_，OB_OA_l，OB_l则AOB就叫做二面角l的平面角练习1. 如右图所示，PA平面ABCD， ABCD是正方形，求证：平面PCD平面PAD.,(2),证明
2、：因为PA平面ABCD，所以PACD，又ABCD是正方形，所以ADCD，又PA与AD相交，所以CD平面PAD，因为CD平面PCD，所以平面PCD平面PAD.,练习2.正方体六个面之间构成多少对互相垂直的平面？练习3.若，a，则a对吗？练习4.若，a，b，ab，则a对吗？练习5.若ab，a，则b对吗？2面面垂直定义：如果两个平面相交，且它们所成的二面角是_，就说这两个平面互相垂直,练习2. 12对 练习3.错练习4.错 练习5.对2直二面角,画法：记作：_.面面垂直的判定定理文字语言：一个平面过另一个平面的_，则这两个平面垂直符号表示： ,一条垂线a,思考应用,1二面角的平面角的大小，是否与角的
3、顶点在棱上的位置有关？,解析：如图，在二面角l的棱上任取点O，以O为垂足，在半平面和内分别作垂直于棱的射线OA和OB，则射线OA和OB组成AOB.再取棱上另一点O，在和内分别作l的垂线OA和OB，则它们组成AOB.因为OAOA，OBOB，所以AOB与AOB的两边分别平行且方向相同，即AOBAOB. 上述结论说明了按照上述方法作出的角的大小，与角的顶点在棱上的位置无关,2应用面面垂直的判定定理的关键是什么？,解析：应用此定理的关键在于，在其中一个平面内找到或作出另一个平面的垂线，即实现面面垂直向线面垂直的转化,自测自评,1经过平面外一点和平面内一点与平面垂直的平面有()A0个 B1个C无数个 D
4、1个或无数个解析：当两点连线与平面垂直时，可作无数个垂面，否则，只有1个答案：D2若一个二面角的两个半平面分别平行于另一个二面角的两个半平面，则这两个二面角的大小关系是()A相等 B互补 C相等或互补 D不确定解析：若方向相同则相等，若方向相反则互补答案：C,3已知a，b，c，ab，ac，则()A B与相交C D以上都有可能4两个平面相交可形成_个二面角5若，a，则a与的位置关系是_,垂直,D,4,利用二面角解决相关问题,如图所示，在四面体ABCD中，ABD、ACD、BCD、ABC都全等，且ABAC，BC2，求以BC为棱，以BCD和BCA为面的二面角的大小 分析：分析题目可知，本题主要考查二面
5、角的概念和全等三角形的有关知识以及解三角形的有关知识，解决本题的关键是：看清图形的对称性，由于是具有公共边的两个等腰三角形，所以根据二面角的平面角的定义很容易作出二面角的平面角,解析：取BC的中点E，连接AE、DE，ABAC，AEBC.又ABDACD，ABAC，DBDC，DEBC，AED为二面角ABCD的平面角又ABCDBC，且ABC是以BC为底的等腰三角形，DBC也是以BC为底的等腰三角形ABACDBDC ，又ABDBDC，ADBC2，在RtDEB中，DB ，BE1，,在AED中，AEDE ，AD2，AD2AE2DE2，AED90，以BCD和BCA为面的二面角的大小为90.点评：(1)求二面
6、角的大小的关键是作出二面角的平面角，这就需要紧扣它的三个条件即这个角的顶点是否在棱上；角的两边是否分别在两个平面内；这两边是否都与棱垂直在具体作图时，还要注意掌握一些作二面角的平面角的方法技巧如本例中，充分利用图形的对称性(即有公共底边的两个等腰三角形)，取BC的中点，很快作出二面角的平面角，也就是利用定义作出二面角的平面角(2)求二面角大小的基本程序是：先作出二面角的平面角，再以此角作出(或找到)相关三角形，解此三角形即可求出二面角的大小,跟踪训练,1正方体ABCDA1B1C1D1中，截面A1BD与底面ABCD所成二面角A1BDA的正切值等于(),解析：连AC交BD于点O，连A1O，O为BD
7、中点，A1DA1B，在A1BD中，A1OBD.又在正方形ABCD中，ACBD.A1OA为二面角A1BDA的平面角设AA11，则AO ，tanA1OA答案：C,平面与平面垂直的判定及综合应用,如图，正方体的棱长为1，BCBCO，求：(1)AO与AC所成角的度数；(2)AO与平面ABCD所成角的正切值；(3)平面AOB与平面AOC所成角的度数,解析：(1)ACAC，AO与AC所成的角就是OAC.AB平面BC，ABOC，又OCOB，OBABB，OC平面ABD，OCOA.,在RtAOC中，OC ，AC ，OAC30.即AO与AC所成角的度数为30.(2)作OEBC，平面BC平面ABCD，OE平面ABC
8、D，OAE为OA与平面ABCD所成的角(3)OCOA，OCOB，OC平面AOB.又OC平面AOC，平面AOB平面AOC，即平面AOB与平面AOC所成的角为90.,点评：本题包含了线线角、线面角和面面角三类问题，求角度问题主要是求两条异面直线所成的角，直线和平面所成的角，二面角三种；求角度问题解题的一般步骤是：(1)找出这个角；(2)证明该角符合题意；(3)作出这个角所在的三角形，解三角形，求出角；求角度问题不论哪种情况都归结到两条直线所成角的问题，即在线线成角中找到答案,跟踪训练,2如图所示，四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，PA平面ABCD，M、N分别是AB、PC的中点，PAADa.(
9、1)求证：MN平面PAD；(2)求证：平面PMC平面PCD.,证明：(1)如图所示，取PD的中点E，连接AE、NE，由N为PC的中点知EN綊 DC，又ABCD是矩形，DC綊AB，EN綊 AB,又M是AB的中点，EN綊AM，AMNE是平行四边形MNAE，而AE平面PAD，MN平面PAD，MN平面PAD.(2)PAAD，AEPD，又PA平面ABCD，CD平面ABCD，CDPA，而CDAD，PAADA，CD平面PAD.CDAE，PDCDD，AE平面PCD，MNAE，MN平面PCD，又MN平面PMC，平面PMC平面PCD.,1自二面角内任意一点分别向两个面引垂线，则两垂线所成的角与二面角的平面角的关系
10、是()A相等 B互补C互余 D无法确定,解析：如图，BD，CD为AB，AC所在平面与，的交线，则BDC为二面角l的平面角且ABDACD90，ABDC180.答案：B,2已知直线l平面，则经过l且和垂直的平面()A有一个 B有两个C有无数个 D不存在,解析：经过l的任一平面都和垂直答案：C,1二面角是从一条直线出发的两个半平面组成的图形其大小是用二面角的平面角来度量的二面角的平面角必须具备三个条件：角的顶点在二面角的棱上；角的两边分别在二面角的两个半平面内；角的两边分别与二面角的棱垂直求二面角的平面角的难点和关键在于正确地作出二面角的平面角，其过程是“一作、二证、三计算”2面面垂直的判定有两个方法，其一是根据定义，其二是根据判定定理，根据定义，判定实质上转化成了求二面角的平面角；根据判定定理判定面面垂直，难点和关键是在其中一个平面内找到另一个平面的垂线.,祝,您,学业有成,
