1、【命题热点突破一】古典概型与几何概型例 1、三位学生两位老师站成一排，则老师站在一起的概率为_【答案】 25【解析】 三位学生两位老师站成一排，有 A 120（种）站法，老师站在一起，共有 A A 48（种）5 42站法，故老师站在一起的概率为 .48120 25【特别提醒】求古典概型的概率的关键是计算基本事件的个数和所求的随机事件含有的基本事件的个数，在计算时要注意不要重复也不要遗漏【变式探究】 已知圆 O：x 2y 212，直线 l：4x3y25，则圆 O 上的 点到直线 l 的距离小于 2 的概率为_【答案】 16【特别提醒】与角度相关的几何概型问题一般用直接法，或转化为与线段长度、面积
2、有关的几何概型问题计算与线段长度有关的几何概型的方法是：求出基本事件对应的线段长度、随机事件对应的线段长度，随机事件对应的线段长度与基本事件对应的线段长度之比即为所求【举一反三】如图所示，来源:学&科&网大正方形的面积是 34，四个全等直角三角形围成一个小正方形，直角三角形的较短直角边长为 3，向大正方形内抛撒一颗黄豆(假设黄豆不落在线上)，则黄豆恰好落在小正方形内的概率为( )A. B.117 217C. D.317 417【答案】B 【特别提醒】计算与面积相关的几何概型的方法：算出基本事件对应图形的面积和随机事件对应图形的面积，随机事件对应图形的面积与基本事件对应图形的面积之比即为所求【变
3、式探究】某高二学生练习投篮，每次投篮命中率约为 30%，现采用随机模拟的方法估计该生投篮命中的概率：选用计算器产生 0 到 9 之间的整数值的随机数，指定 0，1，2 表示命中，4，5，6，7，8，9 表示不命中，再以每 3 个随机数为一组，代表 3 次投篮的结果经随机模拟产生了如下随机数：807 956 191 925 271 932 813 458 569 683431 257 393 027 556 488 730 113 527 989据此估计该学生 3 次投篮恰有 2 次命中的概率为( )A0.15 B0.25C0.2 D0.18【答案】C 【解析】 随机数共有 20 组，其中表示
4、3 次投篮恰有 2 次命中的有 191，271，027，113，共 4 组，所以所求概率约为 0.2.420【特别提醒】每次命中率约为 30%，3 次投篮命中 2 次的概率，可以看作 3 次独立重复试验恰好成功2 次的概率，直接计算为 C 0.320.70.189，与随机模拟方法求得的概率具有差异随机模拟的方法求23得的概率具有随机性，两次随机模拟求得的概率值可能是不同的【命题热点突破二】相互独立事件和独立重复试验例 2、某项比赛规则是：甲、乙两队先进行个人赛，每支参赛队中成绩的前三名队员再代表本队进行团体赛，团体赛是在两队名次相同的队员之间进行，且三场比赛同时进行根据以往比赛统计：两名队员中
5、个人赛成绩高的队员在各场胜的概率为 ，负的概率为 ，且各场比赛互不影响已知甲、乙两队各有 5 名队员，这 10 名队员的23 13个人赛成绩如图所示(1)计算两队在个人赛中成绩的均值和方差；来源:Z+xx+k.Com(2)求甲队在团体赛中至少有 2 名队员获胜的概率【特别提醒】在做涉及相互独立事件的概率题时，首先把所求的随机事件分拆成若干个互斥事件的和，其次将分拆后的互 斥事件分拆为若干个相互独立事件的乘积，如果某些相互独立事件符合独立重复试验的特点，那么就用独立重复试验的概率计算公式解答【变式探究】已知 2 件次品和 3 件正品混放在一起，现需要通过检验将其区分，每次随机检测一件产品，检测后
6、不放回，直到检测出 2 件次品或者检测出 3 件正品时检测结束(1)求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率；(2)已知每检测一件产品需要费用 100 元，设 X 表示直到检测出 2 件次品或者检测出 3 件正品时所需要的检测费用(单位：元)，求 X 的分布列和均值(数学期望)解：（1）记“第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品”为事件 A，则 P（A） .310（2）X 的可能取值为 200，300，400.P（X200） ，110P（X300） ，310P（X400）1P（X200）P（X300）1 .110 310 610故 X 的分布列为X 200 300 400P 11
7、0 310 610所以 E（X）200 300 400 350.110 310 610【命题热点突破三】随机变量的分布列、均值与方差例 3、某银行规定，一张银行卡若 在一天内出现 3 此密码尝试错误，该银行卡将被锁定小王到该银行取钱时，发现自己忘记了银行卡的密码，但可以确定该银行卡的正确密码是他常用的 6 个密码之一，小王决定从中不重复地随机选择 1 个进行尝试若密码正确，则结束尝试；否则继续尝试，直至该银行卡被锁定(1)求当天小王的该银行卡被锁定的概率；(2)设当天小王用该银行卡尝试密码的次数为 X，求 X 的分布列和数学期望【特别提醒】求离散型随机变量分布列的关键有两点：一是确定离散型随机
8、变量的所有可能取值，不要遗漏；二是根据离散型随机变量取值的实际意义求出其各个值的概率【变式探究】某树苗培育基地为了解该基地内榕树树苗的长势情况，随机抽取了 100 株树苗，分别测出它们的高度(单位：cm)，并将所得数据分组，得到频率分布表如下：组距 频数 频率100，102)17 0.17102，104)18 0.18104，106)24 0.24106，108)a b108，110)6 0.06110，112 3 0.03合计 100 1(1)求上表中 a，b 的值；(2)估计该基地榕树树苗的平均高度；(3)该基地从高度在区间108，112内的树苗中随机选出 5 株进行育种研究，其中高度在区
9、间110，112内的有 X 株，求 X 的分布列和数学期望X 0 1 2 3P 121 514 1021 542所以 E（X）0 1 2 3 .121 514 1021 542 53【特别提醒】常见的离散型随机变量的概率分布模型有两个：超几何分布和二项分布从摸球模型上看，超几何分布是不放回地取球，二项分布是有放回的取球注意从摸球模型理解这两个分布【变式探究】将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处，小球自由下落，小球在下落的过程中，将遇到如图所示的黑色障碍物，最后落入 A 袋 或 B 袋中已知小球每次遇到障碍物时，向左、右两边下落的概率分别是 ， .13 23(1)分别求出小球落入
10、 A 袋和 B 袋中的概率；(2)在容器的入口处依次放入 4 个小球，记 为落入 B 袋中的小球个数，求 的分布列和数学期望P(1)C ，14(23)1 (13)3 881P(2)C ，24(23)2 (13)2 827P(3)C ，34(23)3 (13)1 3281P(4)C .4(23)4 (13)0 1681故 的分布列为 0 12来源:学。科。网3 4P 181 881 827 3281来源:Z+xx+k.Com1681故 的数学期望 E()4 .23 83【特别提醒】求解离散型随机变量的期望和方差的基本方法：先根据随机变量的意义，确定随机变量可以取哪些值，然后分别求出取这些值时的概
11、率，列出分布列，最后根据公式计算 随机变量的数学期望和方差【命题热点突破四】求解离散型随机变量的分布列、期望与方差，利用期望与方差进行决策问题例 4、某茶厂现有三块茶园，每块茶园的茶叶估值为 6 万元根据以往经验，今年 5 月 12 日至 14 日是采茶的最佳时间，在此期间，若遇到下雨，当天茶园的茶叶估值减少为前一天的一半，否则与前一天持平现有两种采摘方案：方案：茶厂不额外聘请工人，一天采摘一块茶园的茶叶；方案：茶厂额外聘请工人，在 12 日采摘完全部茶叶，额外聘请工人的成本为 3.2 万元根据天气预报，该地区 5 月 12 日不降雨，13 日和 14 日这两天降雨的概率均为 40%，每天是否
12、下雨互不影响(1)若采用方案，求茶厂 14 日当天采茶的预期收益；(2)从统计学的角度分析，茶厂采用哪种方案更合理(2)茶厂若采用方案，设茶厂 13 日采茶的预期收益为 万元，则 的可能取值为 6 和 3.因为 P(6) ，P( 3) ，35 25所以 的分布列为 6 3P 35 25所以 的数学期望 E()6 3 4.8，35 25所以若茶厂采用方案，则采茶的总收益为 64.83.8414.64(万元)；若茶厂采用方案，则采茶的总收益为 633.214.8(万元)因为 14.64 时，E()E()，即先回答问题 A，再回答问题 B，该参与者获奖金额的期望值较大；mn34当 时，E()E()，
13、无论是先回答问题 A，再回答问题 B，还是先回答问题 B，再回答问题 A，该mn 34参与者获奖金额的期望值相等；当 时， E()E()，即先回答问题 B，再回答问题 A，该参与者获奖金额的期望值较大mn34【高考真题解读】1(2015广东，4)袋中共有 15 个除了颜色外完全相同的球，其中有 10 个白球，5 个红球从袋中任取 2 个球，所取的 2 个球中恰有 1 个白球，1 个红球的概率为( )A1 B. C. D.1121 1021 521【答案】 C2(2015江苏，5)袋中有形状、大小都相同的 4 只球，其中 1 只白球，1 只红球，2 只黄球，从中一次随机摸出 2 只球，则这 2
14、只球颜色不同的概率为_【答案】 56【解析】 这两只球颜色相同的概率为 ，故两只球颜色不同的概率为 1 .16 16 563(2015陕西，11)设复数 z(x1)yi(x，yR)，若|z|1，则 yx 的概率为( )A. B. C. D. 34 12 14 12 12 1 12 1【答案】 B【解析】 由|z|1 可得(x1) 2y 21，表示以(1，0)为圆心，半径为 1 的圆及其内部，满足 yx的部分为如图阴影所示，由几何概型概率公式可得所求概率为：P 14 12 1212 12 4 12 .14 124(2015新课标全国，4) 投篮测试中，每人投 3 次，至少投中 2 次才能通过测试已知某同学每次
