1、 2019 届高三第一次大考试题理 科 数 学一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1已知集合 Ax 2x30，B x yln （2x） ，则 AB2xA （1，3） B （1，3 C1，2） D （1，2）2下列命题中，正确的是A R，sinx 0cosx 00x32B复数 z1，z 2，z 3C，若 0，则 z1z 31()z 23()zC “a0， b0” 是“ 2”的充要条件abD命题“ R， x20”的否定是：“ R， x20”23我国古代有着辉煌的数学研究成果 周髀算经 、 九章算术 、 海岛算经 、
2、孙子算经、 辑古算经等 10 部专著，有着十分丰富多彩的内容，是了解我国古代数学的重要文献这 10 部专著中有 7 部产生于魏晋南北朝时期某中学拟从这 10 部专著中选择 2 部作为“数学文化”校本课程学习内容，则所选 2 部专著中至少有一部是魏晋南北朝时期的专著的概率为A B C D145974若 x（ ，1） ，a lnx，b ，c ，则e ln1()2xlnxeAbca Bc b a Cbac Dabc5设 ，则 的展开式中常数项是0sinxd61()xA160 B160 C20 D206执行如图所示的程序框图。若 p08，则输出的 nA3 B4 C5 D67. 把边长为 1 的正方形
3、沿对角线 折起，使得平面 平面 ，形成三棱ABABDC锥 的正视图与俯视图如下图所示，则侧视图的面积为CDA. B. C. D. 122418在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 ，b4，则 ABC2ac osCB的面积的最大值为A4 B2 C3 D339.某校象棋社团组织中国象棋比赛,采用单循环赛制,即要求每个参赛选手必须且只须和其他选手各比赛一场,胜者得 分,负者得 分,平局两人各得 分.若冠军获得者得分比其他人都多,且获01胜场次比其他人都少,则本次比赛的参赛人数至少为A. B. C. D.456710.如图，已知函数 的图象与坐标轴交于点 ，()sin)(0,|)
4、2fx1,(,0)2ABC直线 交 的图象于另一点 ， 是 的重心. 则 的外接圆的半径为BCfDOABDA2 B C D857657311已知 ，直线 与函数,abR2yaxb的图象在 处相切，设 ，tnfx42xgeba若在区间 上，不等式 恒成立，则实数1,22mxmA有最小值 B有最小值 C有最大值eD有最大值e112已知 P 为椭圆 上一个动点，过点 P 作圆243xy 的两条切线，切点分别是 A，B，则 的取值范围为2(1)xy A- ， ） B- ， C2 3， D2 3， ）323256925692二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.13已知向量 a
5、与 b 的夹角为 30，且a1，2a b1，则b_ 14.已知实数 ， 满足 ，若 的最大值为 ，则正数 的值为xy20()xym3zxy5m_15.双曲线 的左、右焦点分别为 ， ，点 ， 分别在双曲2:1(0,)xyCab1F2MN线的左右两支上，且 ， ，线段 交双曲线 于点 ，12/MNF121CQ，则该双曲线的离心率是 _1125FQ16如图，在长方体 中， ， ，点1ABCD12AB1在侧面 上若点 到直线 和 的距离相等， 则 的P1PCDAP最小值是_三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17 （本小题满分 12 分）已知数列 满
6、足 na2nSa*N（1）证明： 是等比数列；1（2）求 13521.n*18. (本小题满分 12 分)如图，四棱锥 P-ABCD 的底面 ABCD 为平行四边形，DA=DP，BA=BP （1）求证： ；PABD（2）若 ，求二面角,60,2ABPDDPCB 的正弦值19.（本小题满分 12 分）据中国日报网报道：2017 年 11 月 13 日，TOP500 发布的最新一期全球超级计算机 500 强榜单显示，中国超算在前五名中占据两席，其中超算全球第一“神威太湖之光”完全使用了国产品牌处理器。为了了解国产品牌处理器打开文件的速度，某调查公司对两种国产品牌处理器进行了 12 次测试，结果如下
7、（数值越小，速度越快，单位是 MIPS）测试1测试2测试3测试4测试5测试6测试7测试8测试9测试10测试11测试12品牌A3 6 9 10 4 1 12 17 4 6 6 14品牌B2 8 5 4 2 5 8 15 5 12 10 21（1）从品牌 A 的 12 次测试中，随机抽取一次，求测试结果小于 7 的概率；（2）从 12 次测试中，随机抽取三次，记 X 为品牌 A 的测试结果大于品牌 B 的测试结果的次数，求 X 的分布列和数学期望 E（ X） ；（3）经过了解，前 6 次测试是打开含有文字和表格的文件，后 6 次测试是打开含有文字和图片的文件.请你依据表中数据，运用所学的统计知识，
8、对这两种国产品牌处理器打开文件的速度进行评价.20 （本小题共满分 12 分）已知抛物线 ，圆，点 为抛物线 上的动点， 为坐标原点，线段 的中点 的轨迹为曲线 .（1）求曲线 的方程；（2）点是曲线 上的点，过点 作圆 的两条切线，分别与 轴交于 两点.Q求 面积的最小值.QAB21.（本小题共满分 12 分）已知函数 ()3(0)axfe（1）求 的极值；（2）当 时，设 ，求证：曲线 存在两条斜率为 且021()=3axge()ygx1不重合的切线.选考题：共 10 分请考生在第 22，23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分22(本小题满分 10 分)选修 44：坐标系与
9、参数方程在平面直角坐标系 中，圆 C 的参数方程为 (t 为参数)，以坐标原点为极点，xOy1cosinxty，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系（1）求圆 C 的极坐标方程；（2）直线 l 的极坐标方程是 ，曲线 的极坐标方程为2sin241C，其中 满足 ，曲线 C1 与圆 C 的交点为 O，P 两点，与直线 l 的000ta交点为 Q，求线段 PQ 的长23(本小题满分 10 分)选修 45：不等式选讲已知函数 (|2|fxx（1）解不等式 ；)（2）若正实数 a，b 满足 ，试比较 与 的大小，并说明理由5b24ba()3fx答案一、选择题1-5 C D A A B 6-10 B D
10、A C B 11-12 D C 二、填空题13. 14.2 15. 16.373三、计算题17 （1）由 得： ，1 分12Sa1因为 ，nnn2n所以 ，3 分1从而由 得 ，5 分2nna1na所以 是以为首项，为公比的等比数列6 分（2）由（1）得 ，8 分n所以 ，32113521nnaa124n12 分2n18证明：（1）设 AB 中点为 O,连接 ,DOB因为 DA=DP， BA=BP，所以 O,PADB所以 面所以 . 4 分(2) 1,3,2B22OD,又由(1) O,PAB以 O 为 原 点 OP,OB， OD 为 x 轴 ,y 轴 ,z 轴 建 立 空 间 直 角 坐 标
11、系,(1,0)(30)1（ ， ， ） (1,0)CA设面 PDC 法向量 ，(,mxyz 3,)nPn设面 PBC 法向量 ，(,)nxyz0(3,1)nPBC,二面角大小正弦值为 . 12 分1cos,-7|m47a19.（）从品牌 的 12 次测试中，测试结果打开速度小于 7 的文件有：测试 1、2、5、6、9、10、11，共 7 次设该测试结果打开速度小于 7 为事件 ，因此 .3 分（）12 次测试中，品牌 的测试结果大于品牌 的测试结果的次数有：测试 1、3、4、5、7、8，共 6 次随机变量 所有可能的取值为：0，1，2，3.7 分随机变量 的分布列为0 1 2 3.8 分.9
12、分（）本题为开放问题，答案不唯一，在此给出评价标准，并给出可能出现的答案情况，阅卷时按照标准酌情给分.给出明确结论，1 分；结合已有数据，能够运用以下 8 个标准中的任何一个陈述得出该结论的理由，2 分.标准 1: 会用前 6 次测试品牌 A、品牌 B 的测试结果的平均值与后 6 次测试品牌 A、品牌 B 的测试结果的平均值进行阐述（这两种品牌的处理器打开含有文字与表格的文件的测试结果的平均值均小于打开含有文字和图片的文件的测试结果平均值；这两种品牌的处理器打开含有文字与表格的文件的平均速度均快于打开含有文字和图片的文件的平均速度） 标准 2: 会用前 6 次测试品牌 A、品牌 B 的测试结果
13、的方差与后 6 次测试品牌 A、品牌B 的测试结果的方差进行阐述（这两种品牌的处理器打开含有文字与表格的文件的测试结果的方差均小于打开含有文字和图片的文件的测试结果的方差；这两种品牌的处理器打开含有文字与表格的文件速度的波动均小于打开含有文字和图片的文件速度的波动） 标准 3：会用品牌 A 前 6 次测试结果的平均值、后 6 次测试结果的平均值与品牌 B 前 6次测试结果的平均值、后 6 次测试结果的平均值进行阐述（品牌 A 前 6 次测试结果的平均值大于品牌 B 前 6 次测试结果的平均值，品牌 A 后 6 次测试结果的平均值小于品牌 B 后 6 次测试结果的平均值，品牌 A 打开含有文字和
14、表格的文件的速度慢于品牌 B，品牌 A 打开含有文字和图形的文件的速度快于品牌 B） 标准 4：会用品牌 A 前 6 次测试结果的方差、后 6 次测试结果的方差与品牌 B 前 6 次测试结果的方差、后 6 次测试结果的方差进行阐述（品牌 A 前 6 次测试结果的方差大于品牌 B前 6 次测试结果的方差，品牌 A 后 6 次测试结果的方差小于品牌 B 后 6 次测试结果的方差，品牌 A 打开含有文字和表格的文件的速度波动大于品牌 B，品牌 A 打开含有文字和图形的文件的速度波动小于品牌 B） 标准 5：会用品牌 A 这 12 次测试结果的平均值与品牌 B 这 12 次测试结果的平均值进行阐述（品
15、牌 A 这 12 次测试结果的平均值小于品牌 B 这 12 次测试结果的平均值，品牌 A 打开文件的平均速度快于 B） 标准 6：会用品牌 A 这 12 次测试结果的方差与品牌 B 这 12 次测试结果的方差进行阐述（品牌 A 这 12 次测试结果的方差小于品牌 B 这 12 次测试结果的方差，品牌 A 打开文件速度的波动小于 B） 标准 7：会用前 6 次测试中，品牌 A 测试结果大于（小于）品牌 B 测试结果的次数、后6 次测试中，品牌 A 测试结果大于（小于）品牌 B 测试结果的次数进行阐述（前 6 次测试结果中，品牌 A 小于品牌 B 的有 2 次，占 1/3. 后 6 次测试中，品牌
16、 A 小于品牌 B 的有 4 次，占 2/3. 故品牌 A 打开含有文字和表格的文件的速度慢于 B，品牌 A 打开含有文字和图片的文件的速度快于 B）标准 8：会用这 12 次测试中，品牌 A 测试结果大于（小于）品牌 B 测试结果的次数进行阐述（这 12 次测试结果中，品牌 A 小于品牌 B 的有 6 次，占 1/2.故品牌 A 和品牌 B 打开文件的速度相当）参考数据期望 前 6 次 后 6 次 12 次品牌 A 5.50 9.83 7.67品牌 B 4.33 11.83 8.08品牌 A 与品牌 B 4.92 10.83方差 前 6 次 后 6 次 12 次品牌 A 12.30 27.3
17、7 23.15 品牌 B 5.07 31.77 32.08 品牌 A 与品牌 B 8.27 27.97 20 （）设 ，则点 在抛物线 上，所以，即 ，所以曲线 C 的方程为： （4 分） （）设切线方程为： ，令 y=0，解得，所以切线与 x 轴的交点为 ，圆心(2，0) 到切线的距离为，整理得：，设两条切线的斜率分别为，则，（8 分）记，则 ， 在 上单增， ， 面积的最小值为 （12） 21.解：（） ，()(1)axaxfee0,)xR令 ，得 0x当 时， 与 符号相同，a()fax当 变化时， ， 的变化情况如下表：x(,0)0(0,)()f 极小 当 时， 与 符号相反，0a()
18、fx1axe当 变化时， ， 的变化情况如下表：x(,0)0(0,)()fx 极小 综上， 在 处取得极小值 .5 分()f0(0)2f（） ， 3()axgfxe,aR故 ()11注意到 ， ， ，02f2()51fae2()1fae所以， ， ，使得 1(,)x20,x12()fxf因此，曲线 在点 ， 处的切线斜率均为 . （9 分）yg11(,)Pf2, 1下面，只需证明曲线 在点 ， 处的切线不重合.x1()f22(,)Pfx曲线 在点 （ ）处的切线方程为 ，即()x(,)iif, ()iiygx假设曲线 在点 （ ）处的切线重合，则()iiyxg()ygx(,)iiPfx1,22
19、1(x令 ，则 ，且 .G12G()gfx由（）知，当 时， ，故 2(,)()fx)0Gx所以， 在区间 上单调递减，于是有 ，矛盾！()x112(因此，曲线 在点 ( )处的切线不重合 12 分yg(,)iiPf,222(1) 圆 C： cosint， :1Cxy圆得圆 C 极坐标方程: 4 分=2（2）由 得 其中0cos， 05(,)P0tan2由 得 其中0sin(24)=0(,)3Q0t则 10 分125|PQ23(1)由题知 ，|4x当 时， 2x24，解得 x3；当 时，24，矛盾，无解；0当 时， 2x24，x1；所以该不等式的解集为x| x3 或 x1 5 分(2)因为 ，当且仅当 时，取“=” ，|2 20x 所以 ，即 ()|fx ()3f又 ，由柯西不等式:5ab,222 211() 4bba所以 （或用二次函数方法）24a所以 10 分2()3bfx
