1、1、排列组合1.排列组合的定义：(1)排列从 n 个不同元素中取出 m(mn) 个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从 n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列(2)排列数从 n 个不同元素中取出 m(mn) 个元素的所有不同排列的个数，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的排列数，记作 .mnA(3)组合从 n 个不同元素中取出 m(mn) 个元素合成一组，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个组合(4)组合数从 n 个不同元素中取出 m(mn) 个元素的所有不同组合的个数，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的组合数，记作 .nC【说明】 排列与组合最根本的区别在于“有序”
2、和“无序” 2活用排列数与组合数的公式及性质公式排列数公式A n(n 1)(n2)(nm 1)mnn！n m！组合数公式C mnAmnAmnn 1n m 1m！n！m！ n m！性质(1)A n！；n(2)0！1(1)C 1；0n(2)C ；mn Cn mn(3)C C Cmn m 1n mn 1备注 n，m N *，且 mn3破解排列、组合问题的十种方法与技巧(1)特殊元素优先安排；(2)合理分类与准确分步；(3)排列、组合混合问题先选后排；(4)相邻问题捆绑处理；(5)不相邻问题插空处理；(6)定序问题排除法处理；(7)分排问题直排处理；(8)“小集团”排列问题先整体后局部；(9)构造模型
3、；(10) 正难则反，等价条件二、熟记二项式定理及通项1.二项式定理：(1)定理公式(ab) nC anC an1 bC ank bkC bn(nN *)叫做二项式定理0n 1n kn n(2)通项Tk1 C ank bk为展开式的第 k1 项kn说明 C anr br是第 r1 项，而不是第 r 项；rn通项公式中 a，b 的位置不能颠倒；通项公式中含有 a，b，n，r，T r1 五个元素，只要知道其中的四个，就可以求出第五个，即“知四求一” 2活用二项式系数的性质(1)对称性：与首末两端等距离的两个二项式系数相等，即 C C .mn n mn(2)增减性与最大值：二项式系数 C ，当 k
4、时，二项式系数是递增的；当 k 时，二项式系knn 12 n 12数是递减的当 n 是偶数时，中间一项取得最大值当 n 是奇数时，中间两项 C n和 C n相等，且同时取得最大值n 12 n 12(3)各二项式系数的和(ab) n的展开式的各个二项式系数的和等于 2n，即 C C C 2 n.0n 1n n二项展开式中，偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和，即C C C C 2n1 .0n 2n 1n 3n3古典概型计算三注意：（1）本试验是否是等可能的；（2）本试验的基本事件有多少个；（3）事件 A 是什么，它包含的基本事件有多少个4.求解几何概型的概率问题，一定要正确确定试验的
5、全部结果构成的区域，从而正确选择合理的测度，进而利用概率公式求解(1)一般地，一个连续变量可建立与长度有关的几何概型，只需把这个变量放在坐标轴上即可；(2)若一个随机事件需要用两个变量来描述，则可用这两个变量的有序实数对来表示它的基本事件，然后利用平面直角坐标系就能顺利地建立与面积有关的几何概型；(3)若一个随机事件需要用三个连续变量来描述，则可用这三个变量组成的有序数组来表示基本事件，利用空间直角坐标系建立与体积有关的几何概型5.求复杂的互斥事件的概率一般有两种方法：(1)直接法：将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率的和，运用互斥事件的求和公式计算；(2)间接法：先求此事件的对立事
6、件的概率，再用公式 ，即运用逆向思维(正难则反)，1)(AP特别是“至多” 、 “至少”型题目，用间接法就显得比较简便6相互独立事件与 n 次独立重复试验(1)若 A1，A 2，A n是相互独立事件，则 P(A1A2An)P(A 1)P(A2)P(An)(2)如果在一次试验中事件 A 发生的概率为 p，事件 A 不发生的概率为 1p，那么在 n 次独立重复试验中事件 A 发生 k 次的概率为：P n(k) C pk(1p) nk .kn7离散型随机变量的分布列、期望与方差的基本公式：E()x 1p1x 2p2x npn；D()(x 1E() 2p1(x 2E() 2p2(x nE() 2pn；
7、E(ab)aE()b，D(ab)a 2D()；二项分布：B(n，p)，则 P(k) C pk(1p) nk ，E()np，D()np(1p).kn8. 正确把握三种抽样方法的适用范围及特点，能根据具体情况正确选择抽样方法：（1）当总体中的个体个数较少时，通常采用简单随机抽样，一般可用从总体中逐个抽取的；（2）当总体中的个体个数较多且均衡时，通常采用系统抽样，将总体平均分成几部分，按一定的规则分别在各部分中抽取；（3）当总体是由差异明显的几部分组成时，则采用分层抽样，将总体按差异分成几层，按分层个体数之比抽取9.频率分布直方图：画一个只有横、纵轴正方向的直角坐标系，把横轴分成若干段，每一段对应一
8、个组的组距，然后以此段为底作一矩形，它的高等于该组的 ，这样得出一系列的矩形，每个矩形的面积恰频 率组 距好是该组上的频率，这些矩形就构成了频率分布直方图.在频率分布直方图中，每个小矩形的面积等于相应数据的频率，各小矩形的面积之和等于 ；110.样本的数字特征：（1）众数：一组数据中，出现次数最多的数据就是这组数据的众数（一组数据中的众数可能只有一个，也可能有多个）.在频率分布直方图中，最高的矩形的中点的横坐标即为该组数据的众数；（2）中位数：将一组数据由小到大（或由大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就
9、是这组数据的中位数.在频率分布直方图中，中位数 对应的直线 的左右两边的矩形面积之和均为 ，可以根据这个特点axa0.5求频率分布直方图中的中位数；（3）平均数：设 个数分别为 、 、 、 ，则 叫做这 个数的算数平均数.在n1x2 n12nxx频率分布直方图中，它等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和；（4）方差：设 个数分别为 、 、 、 ，则 叫做这12 nx 22221 ns x 个数的方差，方差衡量样本的稳定性的强弱.一般来讲，方差越大，样本的稳定性越差；方差越小越接n近于零，样本的稳定性越强；11.两个分类变量的独立性检验的一般步骤：1）列出两个分类变量
10、的列联表： 2）假设两个分类变量 、 无关系；xy3）求 ；4）把 的值与临界值比较，确定 、 有关的程度或无关系.2nadbcK2Kxy1 【2016 届山东潍坊一中高三下学期起初考试】设两个正态分布 和211(,)0N曲线如图所示,则有 （ ）2(,)0Nxy21(,)N2(,)NA 1212,B 1212,C D 1212,【答案】A【要点回扣】正态曲线2.将 四个数字随机填入右边 的方格中每个方格中恰填一个数字且数字可重复使用 则事1,2342件“ 方格的数字大于 方格的数字，且 方格的数字大于 方格的数字”的概率为（ ）ABCDA B C D 9256169642564【答案】C【解
11、析】根据题意，四个方格中填入数字共有 种，如果对于 A、B 两个方格可在 l、2、3、4 中的4任选 2 个，且较大的放入 A 方格，较小的放入 B 方格，共有 种情况；对于另外两个方格，每个方格246C有 4 种情况，则有 种，则 A 方格的数字大于 B 方格的数字共有 种，所以 A 方格的数416 196字大于 B 方格的数字的概率为 同理 C 方格的数字大于 D 方格的数字的概率亦为 ，所以则事件93258 38“ 方格的数字大于 方格的数字，且 方格的数字大于 方格的数字”的概率为 ,故选 CA 64【要点回扣】古典概型3已知研究 与 之间关系的一组数据如下表所示，则 对 的回归直线方
12、程 必过点（ ） xy yxabxyA B C D (2,)3(,0)2(1,2)3(,4)2x0 1 2 3y1 3 5 7【答案】D【要点回扣】线性回归方程的定义4 【2016 届河北石家庄高三复习教学质量检测（二） 】如右图，圆 内切于扇形 ， ，若CAOB3向扇形 内随机投掷 600 个点，则落入圆内的点的个数估计值为（ ） AOBA. 100 B. 200 C. 400 D. 450【答案】C.【解析】如下图所示，设扇形半径为 ，圆 半径为 ， ，RCr23Rr落入圆内的点的个数估计值为 ，故选 C.学科网260401(3)r【要点回扣】几何概型5.【2016 届四川资阳高三第三次模
13、拟考试】 将 A，B，C 共 3 本不同的书放到 6 个书柜里面，若每个书柜最多放 2 本，则不同的放法种数是A.210 B. 120 C.90 D.80 【答案】A【解析】将 共 3 本不同的书放到 6 个书柜里面，共有 种不同放法，其中 3 本书同时放到CB, 2163一个书柜里面有 6 种不同放法，所以每个书柜最多放 2 本的不同放法有 种；所以选 A 选项.20【要点回扣】排列组合6一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了 10 000 人，并根据所得数据画了样本的频率分布直方图（如下图） 为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系，要从这 10 000 人中再用分层抽样方法抽出
14、 100 人作进一步调查，则在2500，3000） （元）月收入段应抽出 人【答案】25【要点回扣】频率分布直方图的计算7 【2016 届吉林长春高三质量监测（一） 】 的展开式中常数项是_.61(2)x【答案】 160【解析】常数项为 . 33461(2)0TCx【要点回扣】二项式定理8.【2016 届河北石家庄高三复习教学质量检测（二） 】将高三（1）班参加体检的 36 名学生，编号为：1，2，3， ， 36，若采用系统抽样的方法抽取一个容量为 4 的样本，已知样本中含有编号为 6 号、24 号、33 号的学生，则样本中剩余一名学生的编号是 .【答案】 . 5【解析】根据系统抽样的特点可知
15、抽取的 4 名学生的编号依次成等差数列，故穷举可知剩余一名学生的编号是 15，故填 .学科网 1【要点回扣】系统抽样.9小明通过做游戏的方式来确定周末活动，他随机地往单位圆中投掷一点，若此点到圆心的距离大于 ，21则周末看电影；若此点到圆心的距离小于 ，则周末打篮球；否则就在家看书那么小明周末在家看书的41概率是 【答案】 163【要点回扣】1几何概型；2互斥事件；10已知一个三角形的三边长分别是 5,5,6,一只蚂蚁在其内部爬行,若不考虑蚂蚁的大小,则某时刻该蚂蚁距离三角形的三个顶点的距离均超过 2 的概率是 【答案】 16【解析】 由已知三角形的面积为 ，阴影部分的面积为 ，故某时刻该蚂1
16、642S21蚁距离三角形的三个顶点的距离均超过 2 的概率是 1P6【要点回扣】几何概型11 【2016 届四川资阳高三第三次模拟考试】 的展开式中，所有项的系数和为 10()2x （用数字作答）【答案】2【解析】设 ，令 ，则12101)2( axax x，即所有项的系数和为 2.学科网)1(10a【要点回扣】二项式定理12.【2016 年石家庄市高中毕业班复习教学质量检测（二） 】为了解某地区某种农产品的年产量 （单位：x吨）对价格 （单位：千元 /吨）和利润 的影响，对近五年该农产品的年产量和价格统计如下表：yzx1 2 3 4 57.0 6.5 5.5 3.8 2.2（1）求 关于 的
17、线性回归方程 ；yybxa（2）若每吨该农产品的成本为 2 千元，假设该农产品可全部卖出，预测当年产量为多少时，年利润 取z到最大值？（保留两位小数）参考公式： 1122()()-nnii ii ii iixyxyb aybx ，【答案】 （1） ；（2） .8.693yx7【要点回扣】1.线性回归分析；2.函数最值13.【2016 届江西九校联考】已知正方形 CDA的边长为 2， 、 F、 G、 分别是边 A、 C、CD、 A的中点（1）在正方形 C内部随机取一点 ，求满足 的概率；1PE（2）从 、 、 、 D、 、 F、 G、 这八个点中，随机选取两个点，记这两个点之间的距离的平方为 ，
18、求随机变量 的分布列与数学期望 【答案】 （1） ；（2）略8【解析】 （1）这是一个几何概型，点 构成的区域是正方形 CDA的内部， 24S满足的点 构成的平面区域是以 为圆心， 1 为半径的圆的内部与正方形 内部的公共部分，PE所以 的概率为 - 4 分2S8（2）从 A、 、 C、 D、 、 F、 G、 这八个点中，任意选取两个点，共可构成 28C条不同的线段，其中长度为 1的线段有 条，长度为 2的线段有 4条，长度为 2的线段有 6条，长度为5的线段有 8条，长度为 2的线段有 条学科网所以 所有可能的取值为 ， ， 4， 5， 8，-6 分且 1287， 127，634， 8， 2
19、184-10 分所以随机变量 的分布列为：124587312714随机变量 的数学期望为 3214587-12 分【要点回扣】1.几何概型；2.离散型随机变量的分布列和期望14某班组织的数学文化节活动中，通过抽奖产生了 名幸运之星这 名幸运之星可获得 、 两种奖5AB品中的一种，并规定：每个人通过抛掷一枚质地均匀的骰子决定自己最终获得哪一种奖品，抛掷点数小于的获得 奖品，抛掷点数不小于 的获得 奖品3A3B（1）求这 名幸运之星中获得 奖品的人数大于获得 奖品的人数的概率；5A（2）设 、 分别为获得 、 两种奖品的人数，并记 ，求随机变量 的分布列及数学期XY XY望【答案】 （1） ；（2）详见解析， ；543185【要点回扣】1独立事件的概率；2随机变量的概率分布和数学期望；
