上海市（长宁、宝山、嘉定、青浦）四区2016年高三4月质量调研测试（二模）数学（理）试题（含解析）.doc

1、长宁、青浦、宝山、嘉定四区 2016 届第二学期高三教学质量检测数学试卷（理科） 2016.04.（满分 150 分，考试时间 120 分钟）考生注意：1本试卷共 4 页，23 道试题，满分 150 分考试时间 120 分钟2本考试分设试卷和答题纸试卷包括试题与答题要求作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，在试卷上作答一律不得分3答卷前，务必用钢笔或圆珠笔在答题纸上将姓名、学校、班级等信息填写清楚，并将核对后的条形码贴在指定位置上一填空题（本大题共有 14 题，满分 56 分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对 4 分，否则一律得零分1设集合 ， ，则 _,2|

2、RxA ,0342RxxBABI2已知 为虚数单位，复数 满足 ，则 _izi1|z3设 且 ，若函数 的反函数的图像经过定点 ，则点 的坐标0a12)(xaf P是_4计算： _2)(CPlimn5在平面直角坐标系内，直线 ，将 与两条坐标轴围成的封闭图形绕 轴:l02yxl y旋转一周，所得几何体的体积为_6已知 ， ，则 _0sin2i,tan7设定义在 上的奇函数 ，当 时， ，则不等式 的R)(xfy042)(xf 0)(xf解集是_8在平面直角坐标系 中，有一定点 ，若线段 的垂直平分线过抛物线O)1,(AOA（ ）的焦点，则抛物线 的方程为_:Cpxy20C9曲线 （ 为参数）与

3、曲线 （ 为参数）的公共点的坐标为ty521, cosin,yx_10记 ）的展开式中第 项的系数为 ，若 ，则 _nx12*(Nmmb432n11从所有棱长均为 的正四棱锥的 个顶点中任取 个点，设随机变量 表示这三个点所5构成的三角形的面积，则其数学期望 _E12已知各项均为正数的数列 满足 （ ），则na2123naL*Nn_1231naaL13甲、乙两人同时参加一次数学测试，共有 道选择 题，每题均有 个选项，答对得 分，答043错或不答得 分甲和乙都解答了所有的试题，经比较，他们有 道题的选项不同，如果甲最终的0 2得分为 分，那么乙的所有可能的得分值组成的集合为_5414已知 ，函

4、数 （ ）的图像的两个端点分别为 、 ，设 是函数axaf)(2,1ABM图像上任意一点，过 作垂直于 轴的直线 ，且 与线段 交于点 ，若 恒成)(xf Ml N1|立，则 的最大值是 _二选择题（本大题共有 4 题，满分 20 分）每题有且仅有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，每题选对得 5 分，否则一律得零分15“ ”是“ ”的（ ）0sin1cos（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件16下列命题正确的是（ ）（A）若直线 平面 ，直线 平面 ，则 ；1l2l1l2（B）若 直线 上有两个点到平面 的距离

5、相等，则 ；（C）直线 与平面 所成角的取值范围是 ；l,0（D）若直线 平面 ，直线 平面 ，则 .12l1l217已知 ， 是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量 满足 ，则arb cr()0acbr的最大值是（ ）|c（A） （B ） （C） （D）122218已知函数 若存在实数 ， ， ， 满足,153,6sin0|log|)(xxf1x234x，其中 ，则 的取值范围是)()(4321fffxf 4321 4321（ ）（A） （B ） （C） （ D）)96,0( )72,45( )48,30( )24,15(三解答题（本大题满分 74 分）本大题共有 5 题，解答下列各题 必须

6、在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤19（本题满分 12 分）本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 5 分，第 2 小题满分 7 分如图，在直三棱柱 中，底面 是等腰直角三角形，1CBAAB， 为侧棱 的中点21ABCD（1）求证： 平面 ；1（2）求二面角 的大小（结果用反三角1函数值表示）20（本题满分 14 分）本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分已知函数 （ ， ），且函数13cos3cossin3)( xxxf 0Rx的最小正周期为 )(xf（1）求函数 的解析式；f（2）在 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，若 ， ，且ABCCa

7、bc0)(Bf23CA，求 的值4cab21（本题满分 14 分）本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分定义在 上的函数 ，如果满足：对任意 ，存在常数 ，都有 成立，D)(xf Dx0Mxf)(则称 是 上的有界函数，其中 称为函数 的上界)(xf M)(f（1）设 ，判断 在 上是否为有界函数，若是，请说明理由，并写出1f )(xf21,的所有上界 组成的集合；若不是，也请说明理由；)(xf（2）若函数 在 上是以 为上界的有界函数，求实数 的取值范xxag42)(,03a围ABCA1B1C1D22（本题满分 16 分）本题共有 3 个小题，第 1 小题满

8、分 4 分，第 2 小题满分 6 分，第 3 小题满分 6 分如图，设 是椭圆 的下焦点，直线 （ ）与椭圆相交于 、 两F42yxkxy0AB点，与 轴交于 点yP（1）若 ，求 的值；ABk（2）求证： ；O（3）求 面积的最大值23（本题满分 18 分）本题共有 3 个小题，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 6 分，第 3 小题满分 8 分已知正项数列 ， 满足：对任意 ，都有 ， ， 成等差数列，nab*Nnnab1n， ， 成等比数列，且 ， nb1a1052a（1）求证：数列 是等差数列；n（2）求数列 ， 的通项公式；b（3）设 ，如果对任意 ，不等式 恒成立，求实数

9、的12nnSaaL*NnnnabS2a取值范围yPOFABx二模理科数学参考答案一填空题1 2 3 4 5 6 7,(1),(2332,0,(8 9 10 11 12xy42,056n21348，51，54，57，60 14 24来源:学。科。网 Z。X。X。K二选择题15B 16D 17C 18B三解答题19（1）因为底面 是等腰直角三角形，且 ，所以， ，（2 分）来源:学。科。网ABCABCA因为 平面 ，所以 ， （4 分）C11所以， 平面 （5 分）（2）以 为原点，直线 ， ， 为 ， ， 轴，建立空间直角坐标系，C1xyz则 ， ， ， ， ， ，)0,()0,2(A)0,2(

10、B)2,(C)2,0(1B)1,0(D由（1）， 是平面 的一个法向量， （2 分）BA， ，设平面 的一个法向量为 ，则有,C,DD1 ,zyxn即 令 ，则 ， ，,01n,02zxyx2zy所以 ， （5 分）)(设 与 的夹角为 ，则 ， （6 分）CB324|cosnCB由图形知二面角 的大小是锐角，11D所以，二面角 的大小为 （7 分）arcs20（1） ， （3 分）16sin21ossin3)( xxxf又 ，所以， ， （5 分）T2所以， （6 分）6i)(f（2） ，故 ，01snB216sinB所以， 或 （ ），62kB652kBZ因为 是三角形内角，所以 （3 分

11、）而 ，所以， ， （5 分）2cosaCAac又 ，所以， ，所以， ，410 7cos22Bab所以， （8 分）721（1） ，则 在 上是增函数，故 ，1)(xf )(xf21, 21)(21fxf即 ， （2 分）3故 ，所以 是有界函数 （4 分）|)(|xf)(f所以，上界 满足 ，所有上界 的集合是 （6 分）M1M),1（2）因为函数 在 上是以 为上界的有界函数，故 在 上恒成立，)(g2,0x33|)(|xg2,0即 ，所以， （ ）， （2 分）34xxa,0所以 （ ），xxa14142,0令 ，则 ，故 在 上恒成立，xt2,t tt2 1,4所以， （ ）， （5

12、 分）minmax)()(t,1令 ，则 在 时是减函数，所以 ；（6 分）tth24)h,4 214)(maxgth令 ，则 在 时是增函数，所以 （7 分）p()(tp1, 8inp所以，实数 的取值范围是 （8 分）a8,222.（1）由 得 ，所以 ，4,132kxy 0364)3(2kxk 0)4(12k设 ， ，则 ， ， （2 分）),(1xA),(2B21kx21k因为 ，所以 ，代入上式求得 。 （4 分）P12 56（2）由图形可知，要证明 ，等价于证明直线 与直线 的倾斜角互补，BFOAPAFB即等价于 。 （2 分）0BFAk 21212121 )(333 xkxkxk

13、xykF 。 （5 分）043622kk所以， 。 （6 分）BFOAP（3）由 ，得 ，所以02 212121 4)(3| xxxSSPAFBAF ， （3 分）43182k令 ，则 ， 故t0t163422tk ttkSABF 168431822（当且仅当 ，即 ， 取等号）。 （5 分）431628t2所以， 面积的最大值是 。 （6 分）ABF4323（1）由已知， ， （1 分）12nnab121nnb由可得， ， （2 分）11na将代入得，对任意 ， ，有 ，即 ，*N211nnn 11nnbb所以 是等差数列 （4 分）nb（2）设数列 的公差为 ，由 ， ，得 ， ，（1 分

14、）d10a5221b8所以 ， ，所以 ， （3 分）251b23b12所以， ， （4 分）)4()(5)1( nndnn所以， ， ， （5 分）24bn 2312bann （6 分）2)4(3nan（3）解法一：由（2）， ， （1 分）4132)4(31nnan所以， ，（3 分）1654Sn 故不等式 化为 ，nab2324n即 当 时恒成立， （4 分）)3(na*N令 ，)3(212312342)(42) nnnnnf则 随着 的增大而减小，且 恒成立。 （7 分）(f 1)(f故 ，所以，实数 的取值范围是 。 （8 分）1aa,解法二：由（2）， ， （1 分）4132)4(

15、31nnn所以， ，（3 分） 412654 nSn 故不等式 化为 ，nab23241n所以，原不等式对任意 恒成立等价于 对任意 恒成立， *N08)()(a*N（4 分）设 ，由题意， ，8)(3)1(2nf 01当 时， 恒成立； （5 分）a0nf当 时，函数 图像的对称轴为 ，8)2(3)1(2xax 0123ax在 上单调递减，即 在 上单调递减，故只需 即可，)(xf),0f*N)(f由 ，得 ，所以当 时， 对 恒成立154a451nbaS4*N综上，实数 的取值范围是 （8 分）,(答案解析一、填空题1.【测量目标】数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关方程与代数

16、的基本知识.【知识内容】方程与代数/集合与命题 /交集，补集，并集 .【参考答案】 (2,1【试题分析】 ，|,|2AxxR 2|430,BxxR，所以 .故答案为 .3x 或 (,1B(,12.【测量目标】数学基本知识和基本技能/理解或涨掌握初等数学中有关数与运算的基本知识.【知识内容】数与运算/复数初步 /复数的四则运算.【参考答案】1【试题分析】因为 ，所以 ，1iz21i(i)1()i izz则 .故答案为 1.2|0()z3.【测量目标】数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关函数与分析的基本知识.【知识内容】函数与分析/指数函数与对数函数 /指数函数的性质与图像、反函数 .

17、【参考答案】（3,1）【试题分析】因为函数 经过定点（1,3 ），根据互为反函数的两个函数之间的关系1()2xfa知，函数 的反函数经过定点（3,1），故答案为（3,1）.()fx4.【测量目标】数学基本知识和基本技能/理解或掌握初 数学中有关方程与代数的基本知识 .【知识内容】方程与代数/数列与数学归纳法 /数列的极限 .【参考答案】 32【试题分析】 ，故答案为 .来源:学科网 ZXXK22223(1)()PC3()lim4(1)nnnn 325.【测量目标】数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关图形与几何的基本知识.【知识内容】图形与几何/简单几何体的研究 /锥体.【参考答案】

18、 23【试题分析】设直线 与条坐标轴的交点分别为 A,B,则 ，B （0,2），20xy(1,0)于是 绕 y 轴旋转一周，该几何体为底面半径为 1，高为 2 的圆锥，AOB所以 ，故答案为 .221133VRh236.【测量目标】数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关函数与分析的基本知识.【知识内容】函数与分析/三角比 /二倍角及半角的正弦、余弦、正切 .【参考答案】【试题分析】由 得， ，所以 ，因为 ，sin2i02sincosin1cos2(,2所以 ， ，又 ，故答案为 .3sita32tat3137.【测量目标】数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关函数与分析的

19、基本知识.【知识内容】函数与分析/函数及其基本性质 /函数的基本性质 .【参考答案】 (,20,【试题分析】当 时，因为 ，所以 ，又因为 是定义在x()240xf 2x ()yfx上的奇函数，所以 在 上单调递增，并且 ，所以R(),fy(,)20f，综上，不等式 的解集为 ，故答案为()0fx - (,0,.,2,8.【测量目标】数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关图形与几何的基本知识.【知识内容】图形与几何/曲线与方程 /抛物线的标准方程和几何性质 .【参考答案】 24yx【试题分析】设抛物线的焦点坐标为 ，线段 的中点坐标为 ，因为 ,所以经(,0)2pOA1(,)21OAk过抛物线焦点的线段 OA 的垂直平分线的斜率 ，所以 ，则抛物线的标准方012kp程为 ，故答案为 .来源:学| 科|网24yx24yx9.【测量目标】数学基本知识和基本技能/能按照一定的规则和步骤进行计算、画图和推理.【知识内容】图形与几何/参数方程和极坐标 /参数方程. 【参考答案】 (0,1)【试题分析】因为 ，所以将 代入 2(sinco)sinco151,2xty代入得 ，解得 或 ,将 、sico,xy255(1)()tt5t 5t代入求得 或 ，因为 ，所以只有520,xy3,2sinco2(sin)24y