1、闸北区 2015 学年度第二学期高三数学（理、文合卷）期中练习卷考生注意：1. 本次测试有试题纸和答题纸，解答必须在答题纸上，写在试题纸上的解答无效2. 答卷前 ，考生务必在答题纸上将姓名、学校、考试 号，以及试卷类型等填写清楚，并在规定区域内贴上条形码3. 本试卷共有 18 道试题，满分 150 分考试时间 120 分钟一、填空题（60 分）本大题共有 10 题，要求在答题纸相应题序的空格内直接填写结果，每个空格填对得 6 分，否则一律得零分1设函数 ，且 ，则 的值是 ()(01xfaa且 ） ()3f(0)1(2)ff2已知集合 ， ，若 ，则实数 的取值|2|A2|BxBAa范围是 3
2、如果复数 满足 且 ，其中 ，则 的最大值是 z|12zabi,Rab4 （理 ）在直角坐标系 中，已知三点 ，若向量 ， 在向xoy(1)2,(34)ACOB量 方向上的投影相同，则 的值是 OC34（文）已知 、 满足 ,若使得 取最大值的点 有无数个,则xy50xyzaxy()xy的值等于 来源:学 科网 ZXXKa5 （理）某科技创新大赛设有一、二、三等奖(参与活动的都有奖)且相应奖项获奖的概率是以 为首项， 为公比的等比数列，相应的奖金分别是以 元、 元、2 7056元，则参加此次大赛获得奖金的期望是 元420（文） ）在直角坐标系 中，已知三点 ，若向量 ， 在xoy(,1)2,(
3、3,4)AaBbCOAB向量 方向上的投影相同，则 的值是 OC34b6已知 、 是椭圆 的两个焦点， 为椭圆上一点，且1F22:(0)aP，若 的面积为 ，则 P12P97 中， 分别是 的对边且 ，若 最大边长ABC,bc,ABC22acbaABC是 且 ，则 最小边的边长为 sini8 （理）在极坐标系中，曲线 与 的公共点到极点的距离为sin2si_来源: 学+科+网（文）设等差数列 的公差为 ，若 的方差为 ，则 = nad1234567,aa1d9 （理）如右图， 、 是直线 上的两点，且ABl，两个半径相等的动圆分别与 相切于 、2BlA两点， 是这两个圆的公共点，则圆弧 ，圆C
4、C弧 与线段 围成图形面积 的取值范围是 S（文）已知函数 ，则关于 的方程 的实2cos,|1()xfx2()320fxf根的个数是 个 10 （理）设函数 2()1fx，对任意 ，,23x24()4(fmffm恒成立，则实数 的取值范围是 （文）设函数 ,对任意 ， 恒成立，则实数1()fx1,)x()(0fxmf的取值范围是 二、 选 择 题 （ 15 分 ） 本 大 题 共 有 3 题 ， 每 题 都 给 出 四 个 结 论 ， 其 中 有 且 只 有 一 个 结 论 是 正 确的 ， 必 须 把 答 题 纸 上 相 应 题 序 内 的 正 确 结 论 代 号 涂 黑 ， 选 对 得
5、5 分 ， 否 则 一 律 得 零 分 .11 （理）已知 与 均为单位向量，其夹角为 ，则命题 是命题ab:P|1ab的( ):,26Q充分非必要条件 必要非充分条件AB充分 且必要条件 非充分且非必要条件CD（文）若一个长方体共顶点的三个面的对角线长分别是 ，则长方体的对角线长是,abc( ) A22abcB22abcCD3(2)bca12 （理）已知 是球 表面上的点， 平面 ， ，,SCOSABAC1，则球 的表面积等于（ ）2BCBA lD1.A1C1EA BCDB1 A4B3C2D（文）已知 与 均为单位向量，其夹角为 ，则命题 是命题ab:P|1ab的( )5:,26Q充分非必要
6、条件 必要非充分条件B充分且必要条件 非充分且非必要条件C13已知数列 的前 项和为 ，对任意正整数 ， ，则下列关于 的论nanSn13naSna断中正确的是（ ）一定是等差数列 一定是等比数列 AB可能是等差数列，但不会是等比数列 可能是等比数列，但不会是等差数列CD三、解答题（本题满分 75 分）本大题共有 5 题，解答下列各题必须在答题纸的规定区域（对应的 题号）内写出必要的步骤14 （理） （本题满分 12 分，第（1）小题 5 分，第（2）小题 7 分）在长方体 中， ， ， ，点 在棱 上移ABCDB1EA动（1）探求 多长时，直线 与平面E1E成 角；45（2）点 移动为棱 中
7、点时，求点 到AB平面 的距离1DC14 （文） （本题满分 12 分，第（1）小题 5 分，第（2）小题 7 分）如图几何体 是由一个棱长为 2 的正方体 与一个侧棱长为 2 的正四1ABCD棱锥 组合而成1PABCD（1）求该几何体的主视图的面积；A1 B1C1D1ECBAPD.（2）若点 是棱 的中点，求异面直线 与 所成角EBCAE1P的大小（结果用反三角函数表示）.15 （ 本题满分 14 分，第（1）小题 6 分，第（2）小题 8 分）某公司生产的某批产品的销售量 万件（生产量与销售量相等）与促销费用 万元Px满足 (其中 ， 为正常数)已知生产该批 产品还需投入成本42xPax0
8、万元(不含促销费用 )，产品的销售价格定为 元件)16 )204(P（1）将该产品的利润 万元表示为促销费用 万元的函数；yx（2）当促销费用投入多少万元时，该公司的利润最大？16 （本题满分 15 分，第（1）小题 7 分，第（2）小题 8 分）来源:学科网 ZXXK已知函数 的周期为 ，图象的一个对称中心()sin)fx(0,)为 .将函数 图象上所有点的横坐标伸长到原来的 倍(纵坐标不变)，再将所得,04 2到的图象向右平移 个单位长度后得到函数 的图象2()gx（1）求函数 与 的解析式；()fxg（2） （理）求证：存在 ，使得 ， ， 能按照某种顺序0(,)640()f00()fx
9、g成等差数列（文）定义：当函数取得最值时，函数 图像上对应的点称为函数的最值点，如果函数的图像上至少有一个最大值点和一个最小值点在圆()3sinxyFxk的内部或圆周上，求 的取值范围22(0)xykk17 （本题满分 16 分，第（1）小题 8 分，第（2）小题 8 分）若动点 到定点 与定直线 的距离之和为 M(0,)A:3ly4（1）求点 的轨迹方程，并在答题卡所示位置画出方程的曲线草图；（2） （理）记（1）得到的轨迹为曲线 ，问曲线 上关于点 对称的不同点C(0,)BtR有几对？请说明理由（文）记（1）得到的 轨迹为曲线 ，若曲线 上恰有三对不同的点关于点对称，求 的取值范围(0,)
10、BtRt18 （本题满分 18 分，第（1）小题 4 分，第（2）小题 6 分，第（2）小题 8 分）已知数列 ， 为其前 项的和，满足 naSn(1)nS（1）求数列 的通项公式；（2）设数列 的前 项和为 ，数列 的前 项和为 ，求证：当1nanTnnR时 ；,*N1()nR（3） （理）已知当 ，且 时有 ，其中 ，求满61(1)(32nm1,2n足 的所有 的值4(2)()nann（文）若函数 的定义域为 ，并且 ，求1()3qxfxpRlim()0*)nfaN证 1pq高三数学（理文合卷）期中练习卷参考答案一、 填空题1、 2、 3、 4、 （理） ；（文） 5、 （理） ；（文）a
11、221026、 7、 8、 （理） ；（文） 9、 （理） ；（文）5 311(,210、 （理） 2m或 ；（文） m二、 11、 12、 （理） ；（文） 13、 来源:Zxxk.ComBABC三、14、 （理） （本题满分 12 分，第（1）小题 5 分，第（2）小题 7 分）解：（1）法一：长方体 中，因为点 在棱 上移动，1CDEA所以 平面 ，从而 为直线 与平面 所成的平面角，EA11D1中， . 5 分1Rt14512AE法二：以 为坐标原点，射线 依次为 轴轴，建立空间直角坐标D,C,xyz系，则点 ，平面 的法向量为 ，设 ，得1(0,)1D(0,)(1,0)Ey，由 ，得
12、 ，故 1,Ey1sin4E2y2A（2 ）以 为坐标原点，射线 依次为 轴，建立空间直角坐标系，则点D1,AC,xz， ， ，(1,0)1(,)1(02)从而 ， ， 3 分,A,(,0)DE设平面 的法向量为 ，由1DAC(,)nxyz10nDAC02xzy令 ，所以点 到平面 的距离为 . 4 分(,)2nE1Edn114、 （文） （本题满分 12 分，第（1）小题 5 分，第（2）小题 7 分）解：（1）画出其主视图（如下图） ， 可知其面积 为三角形与正方形面积之和.S在正四棱锥 中，棱锥的高 ，1PABCDh. 5 分24（2）取 中点 ，联结 ，11E11AE则 为异面直线 与
13、 所成角. 在 中， ，PAP1P11,2AEP又在正四棱锥 中，斜高为 ，1BCD3由余弦定理可得 6 分145cos102AE所以 ，异面直线 与 所成的角为 .1 分13ar0PAEPA3arcos51015、 （本题满分 14 分，第（1）小题 6 分，第（2）小题 8 分）解：（1）由题意知， )1()4(pxpy将 代入化简得： （ ）. 6 分2xPx23490a（2） ，1)(162)16(3 xy上式当且仅当 ,即 时，取等号。 4 分当 时, 促销费用投入 万元时，厂家的利润最大; 2a2当 时,易证 在 上单调递增, 所以 时,函数有最大值。yx0axa综上：当 时, 促
14、销费用投入 2 万元，厂家的利润最大;当 时促销费用投入 万元，厂家的利润最大4 分02a16、 （本题满分 15 分，第（1）小题 7 分，第（2）小题 8 分）解：(1)、由函数 的周期为 ， ，得 ,()sin)fx02T又曲线 的一个对称中心为 ， ，y,4(,)故 ，得 ，所以 4 分sin204f2cos2fx将函数 图象上所有点的横坐标伸长到原来的 倍(纵坐标不变)后可得 的()x cosyx图象，再将 的图象向右平移 个单位长度后得到函数 的图cosy()=g象，所以 3 分()ing(2)、 （理）当 时， ， ，,64x12sinx10cos2x所以 3 分sico2ico
15、问题转化为方程 在 内是否有解i,64设 ，()sincs2Gxxx,， ，1064()0且函数 的图象连续不断，故可知函数 在 内存在零点 5 分()x()Gx,640x（文）函数 当 时取得最大值或最小值，当 ，即yF(2nZk2kn与原点距离最近的的最大值和最小值点分别是点 和 ，于是有(,3)2k(,3)k，所以 的取值范围是 8 分22()3k17、 （本题满分 16 分，第（1）小题 8 分，第（2）小题 8 分）解： 、设 ，由题意 4 分()(,)Mxy(1)|3|4xy ：当 时，有 ，化322简得： 24xy ：当 时，有 ，化322(1)7xyy简得： （二次函数）21(
16、4)xy综上所述：点 的轨迹方程为M（如图） 4 分2,31(4)xy、 （理）当 或 显然不存在符合题意的对称点()0t当 时，注意到曲线 关于 轴对称，至少存在一对（关于 轴对称的）对称点0tCyy下面研究曲线 上关于 对称但不关于 轴对称的对称点 (,)Bt设 是轨迹 上任意一点，则 ，它关于0(,)Pxy24xy3)2004(3)xy的对称点为 ，由于点 在轨迹 上，,)Bt0(,QtQ1所以 ，联立方程组 （* ）得200(14)xty200(4)xyt，化简得004yt006(3)yt 当 时， ，此时方程组(*)有两解，即(,3)(2,)t增加有两组对称点。 当 时， ，此时方程
17、组(*)只有一组解，即增0yt加一组对称点。 （注：对称点为 ， ）(0,)P(,4)Q 当 时， ，此时方程组(*)有两解为03yt，没有增加新的对称点。(2,)(,)PQ综上所述： 8 分4(0,2)1,34ttt 不 存 在对， 对（ ， 对） ， 对、 （文）若 ，则 ，所以曲线 关于 轴对称，(2)0(,)xyC0(,)xyCy所以一对存在关于 轴对称的对称点下面研究曲线 上关于 对称但不关于 轴对称的对称点C(0,)Bty设 是轨迹 上任意一点，则0(,)Pxy24xy3)，它关于 的对称点为 ，2043(,t0(,2)Qxty由于点 在轨迹 上，Q21)xy所以 ，联立方程组 （
18、* ）得200()(4t 20041()xyt，化简得0041)yty006(3)yt当 时， ，此时方程组(*)有两解，即增加有两组对称点。(,3)(2,所以 的取值范围是 8 分t3t18、 （本题满分 18 分，第（1）小题 4 分，第（2）小题 6 分，第（2）小题 8 分）解：（1）当 时，2n1()1nnnaS又 ，所以 51aS分(2)、 ， ，n12nTn1 1()()23R 1()nn6 分)(1)()2232nTn ：数学归纳法 时， ， 1 分n11RTa212()()Ta假设 时有 1 分(,*)kN1kkR当 时，1 1()()()k kkTTa 是原式成立来源:学1()1k kTn科网由可知当 时 ； 4 分2,*nN()nnR(3)、 （理） ，1(1)(3m,2
