1、上海市长宁、嘉定区 2013 届高三第二次模拟数学（理）一填空题（本大题满分 56 分，共 14 小题，每小题 4 分）1 函 数 的 最 小 正 周 期 是 _)32sin()xf2若关于 的不等式 的解集为 ，则实数 _0a(,1)m3（理）已知集合 ，若 ，则实数 的取值范3,1xBAABa围是 4已知复数 z满足 1i3 ，则复数 z的实部与虚部之和为_5求值： _220132004()CC6已知向量 不超过 5，则 k 的取值范围是_|.,5),(bakba若7设 ，行列式 中第 3 行1,04210Dx第 2 列的代数余子式记作 ，函数 的反函yxf数图像经过点 ，则 ,a8（理）
2、如图是一个算法框图，则输出的 的值k是 _9（理）已知 ，且 ，则135sin,)cos( )0,2(),0(_sin10（理）设函数 ，则将 的曲线绕 轴旋转一周所1,0)(2xxf )(xfy得几何体的体积为_11（理）抛掷一枚质地均匀的骰子，记向上的点数是偶数的事件为 ，向上的点数大于A2且小于或等于 的事件为 ，则事件 的概率 _5BA)(BP是 否结束开始 11k0562k输出理第 8 题，12（理）设定义域为 的函数 ，若关于 的方程R)1(|)(xf x有三个不同的实数解 ，则0)(2cxbff 32,_31x13.（理）函数 的最大值和最小值分别为 ，则1sin)()2xf m
3、M,_mM14（理）设 为数列 的前 项和，若不等式 对任意等差数列nSna212anS及任意正整数 都成立，则实数 的最大值为nam._二选择题（本大题满分 20 分，共 4 小题，每小题 5 分）15. 已知 ， 是坐标平面上不与原点重合的两个点，则 的充要),(1bA),(2aB OAB条件是 （ ）A B. C. D.21a021b21ba121ba16.（理）关于直线， m及平面 ，下列命题中正确的是 （ ）A若 则 B若 则,/ll/ ,/lC若 则 D若 ，则m17. 过点 作直线与双曲线 交于 A、B 两点，使点 P 为 AB 中点，则这样(1,)P21yx的直线 （ ）A存在
4、一条，且方程为 B存在无数条20xyC存在两条，方程为 D不存在118. （理）已知 0a且 ，函数 )(log)(2bxxfa在区间 ),(上既是奇函数又是增函数，则函数 g|的图象是 ( )三解答题（本大题满分 74 分，共 5 小题）19. （理）（本题 满分 12 分，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 6 分）如图：已知 平面 ， ， 与平面ABCDBA所成的角为 ，且 BCD302（1）求 与平面 所成角的大小；（2）求点 到平面 的距离20. （本题满分 12 分，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 6 分）在 中，角 ， ， 所对应的边 ， ， 成等比数列ABC
5、Cabc（1）求证： ；03（2）求 的取值范围1sin2coyB21.（本题满分 14 分，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 10 分）设函数 是定义域为 的奇函数)10()()( akaxfx且 R（1）求 的值；k（2）（理）若 ，且 在 上的最小值为23f )(2xfmgx),1，求 的值m22.（本题满分 18 分，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 8 分，第 3 小题满分 6 分）如图，已知点 ，直线 ： ， 为平面上),0(Fm1yP的动点，过点 作 的垂线，垂足为点 ，且PQQ（1）求动点 的轨迹 的方程；CmF xyOABC D（2）（理）过轨迹 的准线与
6、 轴的交点 作直线 与轨迹 交于不同两点 、CyMmCA，且线段 的垂直平分线与 轴的交点为 ，求 的取值范围；BA),0(yD0（3）（理）对于（2）中的点 、 ，在 轴上是否存在一点 ， 使得 为等ABDB边三角形？若存在，求出点 的坐标；若不存在，请说明理由23（本题满分 18 分，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 8 分，第 3 小题 6 分）（理）已知三个互不相等的正数 ， ， 成等比数列，公比为 在 ， 之间和 ，abcqab之间共插入 个数，使这 个数构成等差数列cn3（1）若 ，在 ， 之间插入一个数，求 的值；abcq（2）设 ， ，问在 ， 之间和 ， 之间各插入
7、几个数，请说明理由；4abc（3）若插入的 个数中，有 个位于 ， 之间，个位于 ， 之间，试比较 与的nsbs大小来源:Zxxk.Com数学理（参考答案）一、填空题（每小题 4 分，共 56 分）1 2。 3。（理） 4。 5。 6. 7。)1,0(316,248（理） 9。（理） 10。（理） 66511（理） 12。（理） 13。（理） 14（理） 5251二、选择题（每小题 5 分，共 20 分）15B 16。B 17。D 18。（理）A 三、解答题19（本题满分 12 分，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 6 分）（理）解：（1）因为 平面 ，所以 ，又 ，所以 平BCDA
8、CBD面 ，AC就是 与平面 所成的角 2 分A因为 平面 ， 与平面 所成的角为 ，故 ，BD3030A由 ，得 ， ， 4 分242所以 ，cosAC所以 与平面 所成角的大小为 6 分B45（2）设点 到平面 的距离为 ，由（1）可得 ， ，Dd32BD2C则 ，8 分4631 ACBASVBCBDA 10 分ddC 3由 ，得 ACDBA2所以点 到平面 的距离为 12 分（文）解：（1）由题意 2124SA表 ，解得 14A. 2 分在 中， 0,OAP，所以 3P来源:学。科。网在 中， 26B，所以 2B 4 分所以 1 13APAPVS 834 6 分（2）取 中点 Q，连接
9、O， ，则 1/QA，得 O或它的补角为异面直线 1B 与 P所成的角. 8 分又 3AP， 2A，得 2， 4，由余弦定理得 cosOQ， 10 分所以异面直线 1AB 与 P所成角的大小为 2arcos4 12 分 来源:学科网ZXXK20（本题满分 12 分，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 6 分）解：（1）由已知， ，所以由余弦定理，acb2得 2 分aBcos22由基本不等式 ，得 4 分21osacB所以 因此， 6 分1,cs30（2） ， 4sin2cosincosin)(cosin22 BBBBy9 分由（1）， ，所以 ，所以 ，3012741,si所以， 的取
10、值范围是 12 分Bycosin2,21（本题满分 14 分，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 10 分）（理）解：（1）由题意，对任意 ， ，Rx)(xff即 ， 2 分xxx akak)1()1(即 ， ，0 0)(2xak因为 为任意实数，所以 4 分x2解法二：因为 是定义域为 的奇函数，所以 ，即 ， )(fR)(f 0)1(k2k当 时， ， ， 是奇函数2kxa)(xafxf所以 的值为 4 分（2）由（1） ，因为 ，所以 ，xf)( 23)1(f 231解得 6 分a故 ， ，xxf2)( )(2)( xxmg令 ，则 ，由 ，得 ，xt tx,1,23t所以 ，2
11、22)()(ttthg ,t9 分当 时， 在 上是增函数，则 ， ，3m)(t,33h234m解得 （舍去） 11 分125当 时，则 ， ，解得 ，或 （舍 去）2)(f 2m13 分综上， 的值是 14 分m（文）解：（1）由题意，对任意 ， ，即Rx)(xff，xx akak)1()(2 分即 ， ，0)()(1xx 0)(2xak因为 为任意实数，所以 4 分x2k解法二：因为 是定义域为 的奇函数，所以 ，即 ， )(fR)(f 0)1(k2k当 时， ， ， 是奇函数2kxa)(xafxf所以 的值为 4 分（2）由（1）知 ，由 ，得 ，解得 xaxf)(0)1(f01a1a6
12、 分当 时， 是减函数， 也是减函数，所以 是减函0axyxyxxf)(数7 分由 ，所以 ，8 分0)4()(2xftxf )4()(2xftxf因为 是奇函数，所以 9 分)(2tf因为 是 上的减函数，所以 即 对任意 成)(xfRx0)1(2xt Rx立， 11 分所以 ， 12 分016)(2t解得 13 分53所以，的取值范围是 14 分),3(22（本题满分 18 分，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 8 分，第 3 小题满分 6 分）（理）解：（ 1）设 ，由题意， ， ， ，),(yxP)1,(xQ)1,0(yP)2,(xQF， ， 2 分),(yxFP2F由 ，得
13、 ，Q y化简得 所以，动点 的轨迹 的方程为 4 分42 Cx42（2）轨迹 为抛物线，准线方程为 ，C1即直线 ，所以 ， 6 分m),0(M设直线 的方程为 （ ），由 得 ，kxyyxk4,12 02kx由 ，得 8 分162k12设 ， ，则 ，),(xA),(B2所以线段 的中点为 ， 9 分)k所以线段 垂直平分线的方程为 ，10 分0)12(kyx令 ，得 11 分012y因为 ，所以 12 分12k),3(0（3）由（2）， ， ，所以kx4221x 2121)()(| yxAB4)()( 21212 x 6k 14 分4k假设存在点 ，使得 为等边三角形，,0yDABD则
14、到直线 的距离 15 分DAB|23ABd因为 ，所以 ，16 分)12,0(k 12)(1|220 kky所以 ，解得 17 分32k34所以，存在点 ，使得 为等边三角形 18 分,0DABD（文）（1）设 ，由题意， ， ， ，),(yxP)1,(xQ)1,0(yP)2,(xQF， ， 2 分1,(F)2,F由 ，得 ，Q )(yxy化简得 所以，动点 的轨迹 的方程为 4 分yx42PCx42（2）轨迹 为抛物线，准线方程为 ，即直线 ，所以 ，5C1ym)1,0(M分当 时，直线 的方程为 ，与曲线 只有一个公共点，故 60am0x a分所以直线 的方程为 ，由 得 ，1ya，ya4
15、,2 0)42(2yy由 ，得 8 分04)2(设 ， ，则 ， ，,1yxA,2yB221ay12y所以 ， ， 9 分a21x若 ，则 ，即 ，F0 0)1,(),(21yx， ， 11 分1)(2121yyx 42a解得 所以 12 分2aa（3）由（2），得线段 的中点为 ，线段 的垂直平分线的一个法向量AB12,aAB为 ，所以线段 的垂直平分线的方程为 ， )1,(anAB 012ayxa15 分令 ， ， 16 分0x2ay因为 ，所以 1312所以 的取值范围是 18 分0y),(23（本题满分 18 分，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 8 分，第 3 小题 6 分
16、）（理）解：（1）因为 ， ， 是互不相等的正数，所以 且 abc0q1由已知， ， ， 是首项为，公比为 的等比数列，则 ， ，2 分cqbc当插入的一个数位于 ， 之间， 设由 个数构成的等差数列的公差为 ，则4d，消去 得 ，dq312 0232因为 ，所以 4 分q（2）设所构成的等差数列的公差为 ，由题意， ，共插入 个数d045 分若在 ， 之间插入个数，在 ， 之间插入 个数，则 ，abbc3dbca2于是 ， ， ，解得 7 分42ca2022qq若在 ， 之间插入 个数，在 ， 之间插入个数，则 ，ab3bcdbca24于是 ， 解得 （不合题意，舍去） 924ca21q分若 ， 之间和 ， 之间各插入 个数，则 ， ，abdbca3bc解得 （不合题意，舍去） 11 分1q综上， ， 之间插入个数，在 ， 之间插入 个数 12 分b（3）设所构成的等差数列的公差为 ，d由题意， ， ，又 ， ，14 分 来源:学|sab)1(1sadtbc)1(1tcb科|网 Z|X|X|K所以 ，即 ，因为 ，所以 16tcs )(tqqs分
