1、1.1.3导数的几何意义,1.了解导函数的概念;理解导数的几何意义.2.会求导函数.3.根据导数的几何意义,会求曲线上某点处的切线方程.,2.“用割线的极限位置来定义切线”和“与曲线只有一个公共点的直线是切线”的区别是什么?剖析:观察图中的曲线C,直线l1虽然与曲线C有唯一的公共点M,但我们不能说直线l1与曲线C相切;而直线l2尽管与曲线C有不止一个公共点,我们还是说直线l2是曲线C在点N处的切线.因此,对于一般的曲线,必须重新寻求曲线切线的定义.,我们会发现对于一个确定的自变量值x0,f(x0)也是确定的值.因此,我们可以得到对于函数y=f(x),当x变化时,f(x)是关于x的一个函数.需注
2、意f(x0)与f(x)的意义不同,f(x)为f(x)的导函数,而f(x0)为f(x)在x=x0处的导函数值.,题型一,题型二,题型三,题型四,求曲线的切线方程,分析:解答第(1)小题,可先求出切点坐标及斜率,然后利用直线的点斜式方程求切线方程;解答第(2)小题,可把第(1)小题中求得的直线方程与已知的曲线方程组成方程组,求方程组的解.,题型一,题型二,题型三,题型四,题型一,题型二,题型三,题型四,反思1.解决这类题,先求出函数y=f(x)在已知点处的导数即曲线在该点处切线的斜率,再由直线的点斜式方程便可求出切线方程.2.导数的几何意义中所说的点应在曲线上,否则函数在该点处的导数不是斜率.,题
3、型一,题型二,题型三,题型四,【变式训练1】 已知曲线C:f(x)=2x2+1,求过点P(0,0)且与曲线C相切的切线l的方程.,题型一,题型二,题型三,题型四,题型一,题型二,题型三,题型四,求切点坐标【例2】 已知抛物线y=f(x)=3x2+7,求:(1)在抛物线上哪一点处的切线的倾斜角为45?(2)在抛物线上哪一点处的切线平行于直线6x-y-2=0?(3)在抛物线上哪一点处的切线垂直于直线x+12y-3=0?分析:设点的坐标求出在该点处的导数利用条件建立方程求出点的坐标,题型一,题型二,题型三,题型四,题型一,题型二,题型三,题型四,反思解答此类题目,所给的直线的倾斜角或斜率是解题的关键
4、,由这些信息可知函数在所求点处的导数,进而可求得此点的横坐标.具体的解题步骤为:(1)先设切点坐标为(x0,y0);(2)求导函数f(x);(3)求切线的斜率;(4)由斜率与导数间的关系列出关于x0的方程,解方程求x0;(5)切点(x0,y0)在曲线f(x)上,将(x0,y0)代入曲线方程求得切点坐标.,题型一,题型二,题型三,题型四,【变式训练2】 求曲线y=f(x)=x3在哪一点处的切线,(1)平行于直线y=3x-5?(2)垂直于直线x+6y+5=0?(3)倾斜角为45?分析:本题主要考查导数的几何意义和两条直线平行、垂直的条件.解题的关键是设出切点的坐标,求出切线的斜率.,题型一,题型二
5、,题型三,题型四,题型一,题型二,题型三,题型四,导数几何意义的综合应用【例3】 设曲线f(x)=x2+1和g(x)=x3+x在其交点处的两条切线的夹角为,求cos .分析:本题考查了导数几何意义的综合应用,解决本题的关键是求出两条切线的方向向量,要求cos 的值,必须先求出两条曲线的交点,再利用导数分别求出在交点处的切线的斜率,通过向量的数量积可求得cos .,题型一,题型二,题型三,题型四,题型一,题型二,题型三,题型四,反思导数几何意义的综合应用,主要是根据函数y=f(x)在x=x0处的导数即曲线f(x)在x=x0处的切线的斜率去求切点坐标及切线方程,再利用题中所提供的诸如斜率的线性关系
6、、斜率的最值、斜率的范围、直线的方向向量等关系求解相关问题.,题型一,题型二,题型三,题型四,题型一,题型二,题型三,题型四,题型一,题型二,题型三,题型四,易错辨析易错点:考虑不全而致错【例4】 求过曲线y=f(x)=x3上的点(1,1)的切线方程.,错因分析:在求切线方程时,一定要注意是求过某一点的切线方程还是求在某点处的切线方程.前者可能会有多个结果,而后者通常只有一个结果.,题型一,题型二,题型三,题型四,题型一,题型二,题型三,题型四,反思1.求在某点处的切线,该点就是切点,因此可直接求出切线斜率(该点处导数的值),写出切线方程.2.求过某点的切线,要注意该点不一定是切点.因此,在解题时先设出切点,再求出切线斜率(该点处导数的值),根据切点与斜率写出切线方程,最后再将该点坐标代入.在解题过程中不必考虑该点是否为切点.,
