1、函数的图象,在平面直角坐标系中, 以函数 y=f(x) 中的 x 为横坐标, 函数值 y 为纵坐标的点 (x, y) 的集合, 叫做函数 y=f(x) 的图象.,一、函数的图象,注: 图象上每一点的坐标 (x, y) 均满足函数关系 y=f(x), 反过来, 满足 y=f(x) 的每一组对应值 x, y 为坐标的点 (x, y), 均在其图象上.,二、基本步骤,1.讨论函数的定义域及函数的基本性质；,2.如果函数的图象与图象变换有关, 应考虑用图象变换作出图象；,3.作函数的图象必须准确描出关键的点线(如图象与 x, y 轴的交点, 极值点, 对称轴, 渐近线等).,描点法作函数图象是根据函数
2、解析式, 列出函数中 x, y 的一些对应值表, 在坐标系内描出点, 然后用平滑的曲线将这些点连接起来. 利用这种方法作图时, 要与研究函数的性质结合起来.,1.描点法,常用变换方法有三种: 平移变换; 伸缩变换; 对称变换.,2.图象变换法,函数图象的画法有两种常见的方法: 一是描点法; 二是图象变换法.,三、函数图象的画法,(1)平移变换:,由 y=f(x) 的图象变换得 y=f(x+a)+b 的图象.,沿 x 轴向左平移 (a0) 或 向右平移 (a0) 或 向下平移 (b0, A1, 0, 1)的图象., y=f(x) 与 y=f(-x), y=f(x) 与 y= -f(x), y=f
3、(x) 与 y= -f(-x),关于 y 轴对称,关于 x 轴对称,关于原点对称, y=f(x) 与 y=f -1(x),关于直线 y=x 对称, y=f(x) 与 y=f(|x|), y=f(x) 与 y=|f(x)|, y=f(x) 与 y= -f -1(-x),关于直线 y=-x 对称,保留 y 轴右边图象, 去掉左边图象, 再作关于 y 轴的对称图象.,保留 x 轴上方图象, 将 x 轴下方图象翻折上去.,四、函数图象的对称性,对于函数 y=f(x), 若对定义域内的任意 x 都有：, f(a-x)=f(a+x)(或 f(x)=f(2a-x), 则 f(x) 的图象关于直线 x=a 对
4、称;, f(a-x)+f(a+x)=2b(或 f(x)+f(2a-x)=2b), 则 f(x) 的图象关于点 (a, b) 对称.,课堂练习,1.函数 y=2-x 的图象向左平移 2 个单位得函数 的图象.,2.将函数 y=tan|x| 的图象向右平移 2 个单位得函数_的图象.,3.函数y=log2(3x-1)的图象左移2个单位得函数_ 的图象.,4.将函数 y=(x-2)3 的图象各点的横坐标伸长到原来的 3 倍(纵坐标不变)得到函数_的图象.,y=2-(x+2),y=tan|x-2|,y=log2(3x+5),5.如图表示一位骑自行车者和一位骑摩托车者在相距80km的两城间旅行的函数图象
5、.,由图可知骑自行车者用了6小时(含途中休息1小时), 骑摩托车者用了2小时. 有人根据这个函数图象提出关于这两个旅行者的如下信息:,骑自行车者比骑摩托车者早出发3小时, 晚到1小时;,骑自行车者是变速运动, 骑摩托车者是匀速运动;,骑摩托车者在出发1.5小时后追上了骑自行车者.,其中正确信息的序号是 .,6.方程 lgx=sinx 的实根的个数是 .,3,7.设奇函数 f(x) 的定义域为-5, 5, 若当x0, 5时, f(x)的图象如右图所示. 则不等式 f(x)0 的解集是 .,A,(-2, 0)(2, 5,9.设 f(x)=ax3+bx2+cx+d 的图象如右下图,则 b 属于( )
6、 A. (-, 0) B. (0, 1) C. (1, 2) D. (2, +),11.若函数 f(x)=x2+bx+c 的图象顶点在第四象限, 则函数 f (x)的图象是( ),A,C,A,B,A,15.作出下列函数的图象:,(1)y=|x2-2x|+1; (2)y=|log2(|x|-1)|;,A,16.对于正整数 k, 若关于 x 的方程 (x-2k)2=ax 在区间 (2k-1, 2k+1上有两个不相等的实根, 求 a 的取值范围.,解: 设 f(x)=(x -2k)2 (x(2k -1, 2k+1),f(x) 的图象是以 A(2k -1, 1) 及 B(2k+1, 1) 为端点, 顶
7、点为 (2k, 0) 的一段抛物线.,f(2k -1)=f(2k+1)=1,设 g(x)=ax, 它表示过原点且斜率 k=a 的直线.,则命题等价于: 求使 f(x) 与 g(x) 的图象有两个交点的 a 的取值范围.,画出直线 y=-x-1, 与半圆交于点A.,如图所示:,18.已知函数 y=f(x) 的图象与 x 轴有三个不同的交点 (m, 0), (n, 0), (p, 0). 试分别就下列情况求 m+n+p 的值: (1) y=f(x)为奇函数; (2) y=f(x) 的图象关于直线 x=2 对称.,解: (1)由于 f(x) 为奇函数, 它的图象关于原点对称, 因而f(x)的图象与
8、x 轴的三个不同交点中, 有一个为原点, 另两个关于原点对称.,m, n, p 中有一个为 0, 另两个互为相反数.,m+n+p=0.,(2)由于 y=f(x) 的图象关于直线 x=2 对称. 因而 f(x) 的图象与 x 轴的三个不同交点中, 有一个为(2, 0), 另两个关于点 (2, 0) 对称.,m+n+p=2+22=6.,即 m+n+p 的值为 0.,即 m+n+p 的值为 6.,m, n, p 中有一个为 2, 另两个之和为 2 的 2 倍.,19.设函数 f(x)=x3+2x2, 若函数 g(x) 的图象与 f(x) 的图象关于点 (2, 1) 对称, 求 g(x) 的解析式.,
9、解: 设 P(x, y) 是 g(x) 图象上任意一点, P 关于点 (2, 1) 的对称 点为 Q(u, v),则由已知 v=u3+2u2 , 且有:,代入得 2-y=(4-x)3+2(4-x)2.,整理得 y=x3-14x2+64x-94.,即 g(x)=x3-14x2+64x-94.,20.已知函数 f(x)=ax3+bx2+cx+d 的图象 如图所示, 则 ( ) A. b(-, 0) B. b(0, 1) C. b(1, 2) D. b(2, +),A,解析: 根据图象提供的信息, 可以发现以下关系及规律:, f(0)=0, 即 d=0;, f(1)=0, 即 a+b+c=0;, f
10、(2)=0, 即 8a+4b+2c=0;, f(x)=ax3+bx2+cx+d=ax(x-1)(x-2);, 当 x(-, 0)(1, 2) 时, f(x)0, 有 f(-1)0, 即 -a+b-c0, 有 f(3)0, 得 a0.,法一: 由 , 解得: b=-3a,又由 知: a0,b0.,法二: + 得: 2b0,b0,b0.,法四: 由, 取特殊函数: f(x)=x(x-1)(x-2),得: b=-30.,解: (3) 作出函数 f(x) 的图象,显然, 若 f(x)=a 有解, 则 a0, 1,22.若 1x3, a 为何值时, x2-5x+3+a=0 有两解, 一解, 无解?,解: 原方程即为 a=-x2+5x-3 (1),作出函数 y=-x2+5x-3(1x0, b0,f(x)有最小值 2,a=b2.,2b2-5b+20,又 bN*,b=1.,a=1.,解: (1)法二f(x) 是奇函数, f(-1)=-f(1).,-b+c=-b-c,c=0.,显然是奇函数.,c=0 满足条件.,(2)设存在一点 (x0, y0) 在 y=f(x) 的图象上并且关于点 (1, 0) 对称的点,(2-x0, -y0) 也在 f(x) 图象上,消去 y0 得:,x02-2x0-1=0,
