1、基础知识一、单调性定义1单调性定义：给定区间D上的函数f(x)，若对于 D，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，则f(x)为区间D上的增函数对于 D，当x1,2证明单调性的步骤：证明函数的单调性一般从定义入手，也可以从导数入手(1)利用定义证明函数单调性的一般步骤是： ； ； (2)设函数yf(x)在某区间内可导如果f (x) 0，则f(x)为增函数；如果f (x) 0，则f(x)为减函数,任取x1、x2D，且x1,二、单调性的有关结论1若f(x)，g(x)均为增(减)函数，则f(x)g(x) 函数2若f(x)为增(减)函数，则f(x)为 函数3互为反函数的两个函数有 的单调性4yfg(x
2、)是定义在M上的函数，若f(x)与g(x)的单调性相同，则其复合函数fg(x)为 ；若f(x)与g(x)的单调性相反，则其复合函数fg(x)为 5奇函数在其对称区间上的单调性 ；偶函数在其对称区间上的单调性 ,仍为增,(减),减(增),相同,增函数,减函数,相同,相反,三、函数单调性的应用有：(1)利用函数的单调性可以比较函数值或自变量值的大小(2)求某些函数的值域或最值(3)解证不等式(4)作函数图象,易错知识一、不理解函数单调性概念而失误1函数f(x) 的单调减区间为_答案：(，0)和(0，)2已知f(x)为偶函数，在(0，)为减函数，若f( )0f( )，则方程f(x)0的根的个数是_答
3、案：2,二、求函数的单调性时忽视函数定义域而失误3函数ylog0.7(x23x2)的单调性为_答案：在(，1)上为增函数，在(2，)上为减函数,三、函数与方程思想应用失误4若 则a，b，c的大小关系为_答案：cab解题思路：方法一：,方法二：构造函数f(x) (x0)，y .令y 0，lnx1，xe.f(x) 在(e，)上是减函数，在(0，e)上是增函数解法一：a .543e，f(5)f(4)f(3)bac.,解法二：由y 在(e，)上为减函数，又e35， ，bc.ac (6a6b) (ln8ln9)0，ab.ac (10a10b) (ln32ln25)0，ac，故bac.,错因分析：误区1：
4、解题思路不清，找不到解题方法，不会构造函数f(x) (x0)；误区2：能构造出函数，判断出函数单调性，但2、3、5不在一个单调区间，而a 这一巧变学生很难过渡解法二中比较a、b，a、c的技巧，在于系数找最小公倍数启示：思想方法是数学中考查的一个重点，方法灵活多变，平时学生注意多积累,回归教材1下列函数中，在区间(0,2)上是增函数的是()Ayx1ByCyx24x5 Dy解析：A是减函数，B中y2x(x0)由二次函数的图象可知x(0,2)上是增函数，C中y(x2)21在x(0,2)上是减函数，D是反比例函数是减函数答案：B,2(教材P1601题改编)函数y(2k1)xb在(，)上是减函数，则()
5、Ak BkCk Dk解析：xR，y(2k1)xb是减函数，2k10，得k .答案：D,3(教材P602题改编)反比例函数y .若k0，则函数的递减区间是_若k0，则函数的递增区间是_答案：(，0)，(0，)(，0)，(0，),4(2009华东师大附中)若函数ymx2x5在2，)上是增函数，则m的取值范围是_解析：根据题意可得：当m0，yx5在(2，)上是增函数；当m0时，且 2，解得：0m .综上所述，m的取值范围是0m .答案：0m,5函数f(x)log5(x22x8)的增区间是_；减区间是_答案：(4，)(，2),【例1】已知函数f(x) log2 ，求函数f(x)的定义域，并讨论它的奇偶
6、性和单调性,解析(1)x须满足所以函数f(x)的定义域为(1,0)(0,1)(2)因为函数f(x)的定义域关于原点对称，且对定义域内的任意x，有,研究f(x)在(0,1)内的单调性，任取x1、x2(0,1)，且设x10，即f(x)在(0,1)内单调递减由于f(x)是奇函数，所以f(x)在(1,0)内单调递减,总结评述由于函数f(x)是奇函数，只要判断其在(0,1)上的单调性便可知道它在对称区间(1,0)上的单调性，故在判断其单调性时，首先在(0,1)上任取x1、x2，否则，若直接在(1,0)(0,1)上任取x1x2，则f(x1)f(x2)变形后的符号便不能判断综合利用函数的单调性与奇偶性是解决
7、本题的关键,判断下列函数的单调性并证明(1)f(x) ，x(1，)；(2)f(x)x22x1，x1，)；(3)f(x) ，x1，)命题意图：先判断单调性，再用单调性的定义证明(1)采用通分进行变形，(2)采用因式分解进行变形，(3)采用分子有理化的方式进行变形,解析：(1)函数f(x) 在(1，)上为减函数利用定义证明如下：任取x1、x2(1，)，且1x1x2，则有x1x2x11，x2x11，x2x10，x2x12，x2x120，f(x1)f(x2)(x2x1)(x2x12)0，即有f(x1)f(x2)故函数f(x)x22x1在1，)上为减函数,(3)函数f(x) 在1，)上为增函数，证明如下
8、：任取x1、x21，)且1x1x2，则有x1x21时f(x)0，(1)判断函数f(x)在1，)上的单调性；(2)在(1)的条件下解不等式f(x22x3)x21，则x1x20，x1x211，所以f(x1x21)0.又f(x1x21)f(x1x2)f(1)2(x1x2)1，所以f(x1)f(x2)f(x2(x1x2)f(x2)f(x1x2)2x2(x1x2)1f(x1x21)2(x1x2)(x21)0.所以f(x1)f(x2)，即f(x)在1，)上单调递增,(2)令y1，则f(x1)f(x)12x，所以f(x1)f(x)2x1.所以f(2)f(1)3，f(3)f(2)5，f(4)f(3)7，f(n
9、)f(n1)2(n1)12n1，上述等式两边分别相加得f(n)f(1)357(2n1)n21，又因为f(1)0，所以f(n)n21，而当n21120时，n11，所以不等式f(x22x3)120等价于f(x22x3)f(11)，又因为x22x3(x1)222.所以不等式又等价于x22x311，所以2x4.即不等式f(x22x3)120的解集为x|2x1时，f(x)0，且f(xy)f(x)f(y)(1)求f(1)；(2)证明f(x)在定义域上是增函数；(3)如果f( )1，求满足不等式f(x)f( )2的x的取值范围,分析：(1)的求解是容易的；对于(2)，应利用单调性定义来证明，其中应注意f(x
10、y)f(x)f(y)的应用；对于(3)，应利用(2)中所得的结果及f(xy)f(x)f(y)进行适当配凑，将所给不等式化为f g(x)f(a)的形式，再利用f(x)的单调性来求解,解析：(1)令xy1，得f(1)2f(1)，故f(1)0.,总结评述：本题中的函数是抽象函数，涉及了函数在某点处的值、函数单调性的证明、不等式的求解在本题的求解中，一个典型的方法技巧是根据所给式子f(xy)f(x)f(y)进行适当的赋值或配凑这时该式及由该式推出的f( )f(x)实际上已处于公式的地位，在求解中必须依此为依据,1单调性首先要求函数的定义域，单调区间是定义域的子区间2单调性的定义中x1，x2要有任意性，且不能用两个特殊值的大小判断函数在区间上的单调性例如：对函数f(x) ，由于f(1)f(2)，所以函数是单调递减函数这是错误的说法其实函数f(x) 在(，0)上是单调递增，在(0，)上是单调递增,3单调区间不能用并集表示因为两个区间的并集，并不一定是一个区间4重要性质：(1)注意函数yf(x)与ykf(x)的单调性与k(k0)的相关性(2)注意函数yf(x)与y 的单调性间的关系,请同学们认真完成课后强化作业,
