1、1.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理,1.通过实例,总结分类加法计数原理与分步乘法计数原理的意义,分清它们的条件和结论.2.掌握分类加法计数原理与分步乘法计数原理,理解两个原理的区别与联系.3.能根据具体问题的特征,选择分类加法计数原理或分步乘法计数原理解决一些简单的实际问题.,1.如何使用分类加法计数原理和分步乘法计数原理剖析:分类加法计数原理和分步乘法计数原理的根本区别在于:一个与分类有关,一个与分步有关.区分的主要依据是分类时各类方法都能独立完成这件事,并且各种方法互不影响;而分步时每一步都不能独立完成这件事,各个步骤相互依存,步与步之间有连续性.在应用两个计数原理处理具体问题时,一
2、般要按五个步骤进行:(1)明确完成的这件事是什么;(2)思考如何完成这件事;(3)判断它属于分类还是分步;(4)确定运用哪个计数原理; (5)进行运算.,2.对于两个计数原理的综合应用问题,是应该先分类还是先分步剖析:对于两个计数原理的综合应用问题,一般是先分类再分步,分类时要设计好标准,设计好分类方案,防止重复和遗漏;分步时要注意步与步之间的连续性,同时应合理设计步骤的顺序,使各步互不干扰.我们也可以根据题意恰当合理地画出示意图或者列出表格,使问题的实质直观地显现出来,从而便于我们解题.,题型一,题型二,题型三,分类加法计数原理的应用【例1】 某校从高二的四个班中抽出一些同学组成数学课外小组
3、,其中一、二、三、四班分别抽出了4名、5名、6名、7名同学.若任选其中一名同学担任组长,有多少种不同的选法?分析:本题要完成的一件事是“任意选出一名同学担任组长”,所以只要从四个班抽出的同学中任意选出一名同学就算完成任务,故应用分类加法计数原理求解.解:分四类:第一类,从一班抽出的同学中选一名同学担任组长,有4种不同选法;第二类,从二班抽出的同学中选一名同学担任组长,有5种不同选法;第三类,从三班抽出的同学中选一名同学担任组长,有6种不同选法;第四类,从四班抽出的同学中选一名同学担任组长,有7种不同选法.根据分类加法计数原理,共有4+5+6+7=22种不同选法.,题型一,题型二,题型三,【变式
4、训练1】 在所有两位数中,个位上的数字大于十位上的数字的两位数,共有多少个?解:方法一:按十位上的数字分别是1,2,3,4,5,6,7,8的情况分成8类,在每一类中满足条件的两位数分别有8个、7个、6个、5个、4个、3个、2个、1个,根据分类加法计数原理,符合题意的两位数共有8+7+6+5+4+3+2+1=36(个).方法二:按个位上的数字分别是2,3,4,5,6,7,8,9的情况分成8类,在每一类中满足条件的两位数分别有1个、2个、3个、4个、5个、6个、7个、8个,根据分类加法计数原理知,符合题意的两位数共有1+2+3+4+5+6+7+8=36(个).,题型一,题型二,题型三,分步乘法计数
5、原理的应用【例2】 已知集合M=-3,-2,-1,0,1,2,P(a,b)(a,bM)表示平面上的点,问:(1)点P可表示平面上多少个不同的点?(2)点P可表示平面上多少个第二象限内的不同的点?分析:完成“确定点P”这件事,需要依次确定点P的横坐标和纵坐标,应运用分步乘法计数原理求解.解:(1)确定平面上的点P(a,b),可分两步完成:第一步确定a的值,有6种不同方法;第二步确定b的值,也有6种不同方法.根据分步乘法计数原理,得到平面上不同的点P的个数为66=36.(2)确定平面上第二象限内的点P(a,b),可分两步完成:第一步确定a的值,因为a0,所以有2种不同方法.由分步乘法计数原理,得到
6、平面上第二象限内不同的点P的个数为32=6.,题型一,题型二,题型三,【变式训练2】 现要排一份5天的值班表,每天有1人值班,共有5人,每人都可以值多天班或不值班,但相邻两天不准由同一人值班,问此值班表有多少种不同的排法?解:先排第1天,可排5人中任意一人,有5种排法;再排第2天,此时不能排第1天已排的人,有4种排法;再排第3天,此时不能排第2天已排的人,有4种排法;同理第4,5天均有4种排法.由分步乘法计数原理,知值班表不同排法的种数是54444=1 280.,题型一,题型二,题型三,分析:因为要求相邻(有公共边)的区域不同色,所以可按“1号区域与4号区域同色”和“1号区域与4号区域不同色”
7、两种情况分类,然后根据两个原理分别求解.,题型一,题型二,题型三,解:第一类:1号区域与4号区域同色,此时可分三步来完成,第一步,涂1号区域和4号区域,有5种涂法;第二步,涂2号区域,只要不与1号区域和4号区域同色即可,因此有4种涂法;第三步,涂3号区域,只要不与1号区域和4号区域同色即可,因此也有4种涂法.由分步乘法计数原理知,有544=80种涂法.第二类:1号区域与4号区域不同色,此时可分四步来完成,第一步,涂1号区域,有5种涂法;第二步,涂4号区域,只要不与1号区域同色即可,因此有4种涂法;第三步,涂2号区域,只要不与1号区域和4号区域同色即可,因此有3种涂法;第四步,涂3号区域,只要不
8、与1号区域和4号区域同色即可,因此也有3种涂法.由分步乘法计数原理知,有5433=180种涂法.依据分类加法计数原理知,不同涂色的方法种数为80+180=260.,题型一,题型二,题型三,反思涂色(种植)问题一般是综合应用两个计数原理求解,但也有几种常用方法:(1)按区域的不同,以区域为主分步计数,用分步乘法计数原理分析;(2)以颜色(种植作物)为主分类讨论,适用于“区域、点、线段”等问题,用分类加法计数原理分析.其中,涂色问题中有关空间几何体的,将空间问题平面化,转化成平面区域的涂色问题.,题型一,题型二,题型三,【变式训练3】 编号为A,B,C,D,E的五个小球,放到如图所示的五个盒子中,要求每个盒子只能放一个小球,且A球不能放到1,2号,B球必须放到与A相邻的盒子中,求不同的放法有多少种?解:根据A球的位置分三类:(1)若A球放入3号盒里,则B球只能放在4号盒里,剩下的三个盒子分别放C,D,E三球,共有321=6种放法.(2)若A球放入5号盒子里,则B球只能放入4号盒中,剩下的三个盒子分别放C,D,E三球,共有321=6种放法.(3)若A球放入4号盒子里,则B球可以放到2号、3号或5号盒子中,剩下的三个盒子分别放C,D,E三球,只有3321=18种放法.综合上述,由分类加法计数原理得不同放法共有6+6+18=30种.,
