1、3.1.3空间向量的数量积运算,1.掌握空间向量的夹角与长度的概念.2.掌握空间向量的数量积的定义、性质、运算律及计算方法.3.能用向量的数量积判断向量共线与垂直.,1.理解向量数量积的概念剖析:(1)与向量的数乘运算区分开:向量的数乘运算的结果仍是向量,而向量的数量积的结果是数量;(2)书写要规范:不能写成ab,也不能写成ab;(3)向量的数量积运算不满足结合律,也不满足消去律,即(ab)ca(bc),ab=ac b=c.2.空间向量数量积的应用剖析:(1)利用向量的数量积可以求出向量的模和夹角,进而可以求出两点间的距离或两条直线所成的角.(2)利用向量的数量积可以证明两个非零向量垂直,进而
2、可以证明两条直线垂直.,题型一,题型二,题型三,题型四,数量积的运算【例1】 已知在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=AA1=2,AD=4,E为AB1的中点,F为A1D1的中点.试计算:,题型五,题型一,题型二,题型三,题型四,题型五,题型一,题型二,题型三,题型四,反思在几何体中进行向量的数量积运算,要充分利用向量加减法的几何性质,把待求向量用已知夹角和模的向量表示后再进行运算.,题型五,题型一,题型二,题型三,题型四,题型五,题型一,题型二,题型三,题型四,利用数量积证明垂直【例2】 已知在空间四边形OACB中,OB=OC,AB=AC.求证:OABC.,题型五,题型一,题型二,题型
3、三,题型四,反思立体几何中直线与直线的垂直问题可转化为空间向量的数量积为零的问题.,题型五,题型一,题型二,题型三,题型四,【变式训练2】 如图所示,已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是菱形,且C1CB=C1CD=BCD=60,求证:CC1BD.,题型五,题型一,题型二,题型三,题型四,利用数量积求异面直线所成的角【例3】 已知空间四边形O -ABC的各边及对角线的长都相等,E,F分别为AB,OC的中点,求OE与BF所成的角的余弦值.,题型五,题型一,题型二,题型三,题型四,题型五,题型一,题型二,题型三,题型四,题型五,题型一,题型二,题型三,题型四,【变式训练3】 如图
4、,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是棱CD,CC1的中点,则异面直线A1M与DN所成的角的大小是.,答案:90,题型五,题型一,题型二,题型三,题型四,利用数量积求两点间的距离【例4】 已知线段AB在平面内,线段AC,线段BDAB,且与所成的角是30,如果AB=a,AC=BD=b.求C,D两点间的距离.分析:求C,D两点间的距离即求CD的长,首先将CD用向量表示,然后求其与自身数量积,根据已知向量的模及向量间的夹角得其模的平方,最后开平方即为所求.,题型五,题型一,题型二,题型三,题型四,题型五,题型一,题型二,题型三,题型四,题型五,题型一,题型二,题型三,题型四,【变式训练4】 如图,在平行四边形ABCD中,AB=AC=1,ACD=90,将它沿对角线AC折起,使AB与CD成60角,求B,D两点间的距离.,题型五,题型一,题型二,题型三,题型四,题型五,题型一,题型二,题型三,题型四,题型五,易错辨析易错点混淆向量夹角与异面直线夹角的范围致错,题型一,题型二,题型三,题型四,题型五,
