1、3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示,1.了解空间向量的正交分解的含义.2.掌握空间向量的基本定理,并能用空间向量基本定理解决一些简单问题.3.掌握空间向量的坐标表示,能在适当的坐标系中写出向量的坐标.,1.空间向量基本定理的证明,(2)唯一性:设还有实数x,y,z,使p=xa+yb+zc,而p=xa+yb+zc,则xa+yb+zc=xa+yb+zc,所以(x-x)a+(y-y)b+(z-z)c=0.又a,b,c不共面,所以x-x=0,y-y=0,且z-z=0,即x=x,y=y,且z=z.所以p=xa+yb+zc的表示形式是唯一的.,2.空间向量的坐标表示剖析:(1)单位正交基底.如果空间
2、的一个基底的三个基向量互相垂直,且长都为1个单位,则这个基底叫做单位正交基底,用i,j,k或e1,e2,e3表示.(2)空间直角坐标系.在空间选定一点O和一个单位正交基底i,j,k,以点O为原点,分别以i,j,k的方向为正方向画三条数轴:x轴、y轴、z轴,它们都叫做坐标轴,则建立了一个空间直角坐标系Oxyz,点O叫原点,向量i,j,k都叫做坐标向量.,(4)空间任一点P的坐标的确定.过点P作平面xOy的垂线,垂足为点P,在平面xOy中,过点P分别作x轴、y轴的垂线,垂足分别为点A,C,则|x|=|PC|,|y|=|AP|,|z|=|PP|,如图所示.,题型一,题型二,题型三,基底的概念【例1】
3、 若a,b,c是空间的一个基底,试判断a+b,b+c,c+a能否作为空间的一个基底.分析:解答本题可以使用反证法,判断a+b,b+c,c+a是否共面,若不共面,则可作为一个基底;否则,不能作为一个基底.解:假设a+b,b+c,c+a共面,则存在实数和,使得a+b=(b+c)+(c+a),a+b=a+b+(+)c.a+b,b+c,c+a不共面.a+b,b+c,c+a可以作为空间的一个基底.,题型一,题型二,题型三,反思判断给出的某一向量组中的三个向量能否作为基底,关键是看它们是否共面,常用反证法来判断.,题型一,题型二,题型三,【变式训练1】 设x=a+b,y=b+c,z=c+a,且a,b,c是
4、空间的一个基底,给出下列向量组:a,b,x,x,y,z,b,c,z,x,y,a+b+c,其中可以作为空间的基底的向量组有()A.1个B.2个C.3个D.4个解析:x=a+b,y=b+c,z=c+a,x,a,b共面,故不能作为基底.x,y,z不共面可以作为一个基底,故可作为基底.z=c+a与b和c不共面,故可以构成一个基底.假设a+b,b+c,a+b+c共面,则a+b+c=(a+b)+(b+c)=a+(+)b+c,故x,y,a+b+c不共面,可以作为空间的一个基底.答案:C,题型一,题型二,题型三,用基底表示向量,题型一,题型二,题型三,题型一,题型二,题型三,反思利用空间向量的一组基底a,b,
5、c可以表示出任意一个空间向量.要注意结合图形,灵活地应用向量的三角形法则、平行四边形法则及向量的数乘运算.,题型一,题型二,题型三,题型一,题型二,题型三,题型一,题型二,题型三,求向量的坐标【例3】 如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是直角梯形,BAD=90,ADBC,AB=BC=a,AD=2a,PA底面ABCD,PDA=30,AEPD.试建立适当的空间直角坐标系并求出图中各点的坐标.,分析:由题意知,AP,AB,AD两两垂直,故以A为坐标原点,AB,AD,AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系.,题型一,题型二,题型三,题型一,题型二,题型三,反思建立空间直角坐标系,必须牢牢抓住相交于同一点的两两垂直的三条直线,要在题目中找出或构造出这样的三条直线,因此要充分利用题目中所给的垂直关系,即线线垂直、线面垂直、面面垂直,要使尽可能多的点落在坐标轴上,尽可能多的线段平行于坐标轴,有直角的把直角边放在坐标轴上的原则.,题型一,题型二,题型三,【变式训练3】 在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是BB1,D1B1的中点,建立适当的空间直角坐标系,求E,F两点的坐标.,
