1、2.3.3 等比数列的前n项和,第2章 数列,目标定位,学习目标,1理解并掌握等比数列前n项和公式及其推导过程；2能够应用前n项和公式解决等比数列的有关问题；3进一步提高解方程（组）的能力，以及整体代换思想的应 用能力.,重、难点,重点：探索并掌握等差数列前n项和公式.难点：等差数列前n项和公式的推导思路的获得,学习目标和重难点,知识链接,完成下面的因式分解：（1） 3 1=_； （2） 3 3+2=_.,()( + ),() (+),新知探究,问题1. 已知等比数列an中，公比为. （1）若 1 + 2 + 3 + 1 =， 求 2 + 3 + 的值； 求 1 .,（一）等比数列的前n项和公
2、式,【解析】 2 + 3 + 1 + = 1 + 2 + 3 + 1 =, 1 =( 2 + 3 + )( 1 + 2 + 3 + 1 ) =,新知探究,（2）若已知 1 =， =，求 .,（一）等比数列的前n项和公式,【解析】 = 1 + 2 + 3 + 1 + = 2 + 3 + 1 + + 以上两式相减，得 1 = 1 1，即10 = 1 1q .,新知探究,问题2. 若把等比数列通项公式代入上式，你会得到什么呢？,（一）等比数列的前n项和公式,答： = 1 1q = 1 ( 1 1 ) 1q = 1 (1 ) 1q,新知探究,获取新知（1）等比数列前n项和公式： _.（2）上面推导等比
3、数列前n项和公式的方法是:_.,（一）等比数列的前n项和公式, = ，= = ( ) ，,错位相减法,典例突破,例1. （1）求下列等比数列前8项的和： 1 2 ， 1 4 ， 1 8 ，； a1=27，a9= 1 243 .,（一）等比数列前n项和公式的基本运算,【解析】（1） 由条件易 1 = 1 2 ， = 1 2 8 = 1 2 1 ( 1 2 ) 8 1 1 2 = 255 256 由a1=27，a9= 1 243 ，可得 1 243 =27q8，解得= 1 3,典例突破,（一）等比数列前n项和公式的基本运算,当= 1 3 时， 8 = 271 ( 1 3 ) 8 1 1 3 = 3
4、280 81 ；当q = 1 3 时， 8 = 271 ( 1 3 ) 8 1+ 1 3 = 1640 81 .,典例突破,（一）等比数列前n项和公式的基本运算,【解析】 若q=1，则S3=3a1=6，符合题意，此时q=1，a3=a1=2. 若q1，则由等比数列的前n项和公式得 3 = 2(1 3 ) 1 =6， 即 3 3+2=0，化简整理得 (1) 2 (+2)=0， 解得q=1(舍去)或q= 2. 此时，a3=a1q2=2( 2)2=8.,（2）已知等比数列an中，a1=2，S3=6，求a3和q.,综上所述，q1，a32或q2，a38.,典例突破,（一）等比数列前n项和公式的基本运算,解
5、题反思（1）等比数列前n项和公式的使用条件是什么？利用该公式解 题时，需要注意什么问题？（2）在等比数列的五个基本量a1，an，n，q，Sn中，至少要 知道几个量才能求其他的量呢？,典例突破,（一）等比数列前n项和公式的基本运算,答：（1）等比数列前n项和公式的使用条件是1. 利用该公式解 题时，要注意对公比q是否为1进行讨论.（2）在等比数列的通项公式及前n项和公式中共有a1，an，n， q，Sn五个量，知道其中任意三个量，都可通过方程组求 出其余两个量,典例突破,（一）等比数列前n项和公式的基本运算,变式1. 在等比数列an中，S3 7 2 ，S6 63 2 ，求an.,【解析】由已知 6
6、 2 3 1 又 S3= 7 2 ，S6= 63 2 1 (1 3 ) 1 = 7 2 1 (1 6 ) 1 = 63 2 ，解得a1= 1 2 ，q=2. an=a1qn1=2n2,典例突破,（二）等比数列前n项和的实际应用,例2某商场今年销售计算机5000台，如果平均每年的销售量比上一年的销售量增加10%，那么从今起，大约几年可使总销售量达到30000台(结果保留到个位)?,典例突破,（二）等比数列前n项和的实际应用,【解析】根据题意，每年销售量比上一年增加的百分率相同所以，从今年起，每年的销售量组成一个等比数列an，其中a15000，q110%1.1，Sn30000.于是得到 5000（
7、1 1.1 ） 11.1 =30000，整理，得1.1n1.6.两边取对数，得nlg 1.1lg 1.6.用计算器算得= lg1.6 lg1.1 5n (年)大约5年可使总销售量达到30 000台,典例突破,（二）等比数列前n项和的实际应用,解题反思：如何求解以等比数列为模型的应用题？,答：建立数列的模型，首先要确定数列类型，然后根据题意找准首项、公比和项数或者首项、末项和项数，特别关于年份的问题，一定要找准n的取值与年份的对应,典例突破,（二）等比数列前n项和的实际应用,变式2. 水土流失是我国西部大开发中最突出的生态问题已知西部某地区有耕地3 000万亩需要退耕还林，国家确定2000年在该
8、地区退耕还林的土地面积为300万亩，以后每年退耕还林的土地面积比上一年递增20%.那么从2000年起，到哪一年该地区基本解决退耕还林问题？(计算时取log1.236),典例突破,（二）等比数列前n项和的实际应用,【解析】设该地区从2000年起每年退耕还林的面积组成一个数列an，由题意，得an1an(120%)， an是首项为a1300，公比为1.2的等比数列 设 an的前n项和为Sn，则Sn3 000. 5000（1 1.2 ） 11.2 =3000，即1.2n3，解得nlog1.236. 到2005年该地区基本解决退耕还林问题,新知探究, = ( ) = ,问题3. 类比等差数列前n项和的性
9、质，你能否得出等比数列前n项和的性质? 请完成下表.,一前n项和公式与函数的关系,（一）等比数列前n项和公式与函数的关系,新知探究, 是关于n的一个指数式与一个常数的差构成的，而指数式的系数与常数项互为相反数,求解时，常设 = ()，用待定系数法.,（一）等比数列前n项和公式与函数的关系,新知探究, ， ， ，成等比数列，且公比为 .,二性质对比,当 的项数为偶数 时， 偶 奇 = .,（二）等比数列前n项和的性质,典例突破,（三）等比数列前n项和性质的应用,例3. 在正项等比数列an中，Sn是其前n项和，若S1010，S30 130，则S20的值为_,【解析】由S10，S20S10，S30S
10、20 成等比数列， 得 (S20S10)2S10(S30S20)， 即 (S2010)210(130S20)， 解得S2040或S2030 又 S200 S2040.,40,典例突破,变式3. 在等比数列an中，已知 2 =2， 5 = 1 4 ，则 1 2 + 2 3 + +1 =( ) A16(1 4 ) B16(1 2 ) C 32 3 (1 4 ) D 32 3 (1 2 ),C,（三）等比数列前n项和性质的应用,典例突破,【解析】 3 = 5 2 = 1 8 ，解得 = 1 2 1 = 2 =4， 1 2 =8 又 +1 也是等比数列，且首项为 1 2 =8，公比为 2 = 1 4 1 2 + 2 3 + +1 = 8 1 ( 1 4 ) 1 1 4 = 32 3 (1 4 ) .,（三）等比数列前n项和性质的应用,
