1、第十一章 计数原理、随机变量及分布列第 1 课时 分类加法计数原理与分步乘法计数原理(对应学生用书( 理)165 166 页)考情分析 考点新知近几年高考两个基本计数原理在理科加试部分考查，预测以后高考将会结合概率统计进行命题，考查对两个基本计数原理的灵活运用，以实际问题为背景，考查学生学习基础知识、应用基础知识、解决实际问题的能力，难度将不太大理解两个基本计数原理.能根据具体问题的特征，选择分类加法计数原理或分步乘法计数原理解决一些简单的实际问题.1. (选修 23P8 练习 3 改编 )某班级有男生 5 人，女生 4 人，从中任选一人去领奖，有_种不同的选法答案：9解析：不同选法种数共有
2、N 549 种2. (选修 23P8 例 4 改编)书架上层放有 6 本不同的数学书，下层放有 5 本不同的语文书，从中任取数学书与语文书各一本，有_种不同的取法答案：30解析：共有 5630 种不同取法3. (选修 23P8 练习 5 改编)5 位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同的报名方法共有_种答案：32解析：每位同学有 2 种不同的报名方法，故 5 位同学有 2532 种不同的报名方法4. (选修 23P9 习题 3 改编)从甲地到乙地有 2 条路可通，从乙地到丙地有 3 条路可通；从甲地到丁地有 4 条路可通，从丁地到丙地有 2 条路可通则从甲地到丙地共
3、有_种不同的走法答案：14解析：共有 234214 种不同的走法5. 如图，一环形花坛分成 A、B、C 、D 四块，现有 4 种不同的花供选种，要求在每块里种 1 种花，且相邻的 2 块种不同的花，则不同的种法总数为_答案：84解析：分两类：A、C 种同种花有 43336 种不同的种法； A、C 种不同种花有432248 种不同的种法故共有 364884 种不同的种法1. 分类加法计数原理：完成一件事，有 n 类办法，在第 1 类办法中有 m1 种不同的方法，在第 2 类办法中有 m2 种不同的方法， ，在第 n 类办法中有 mn 种不同的方法，那么完成这件事共有 Nm 1m 2m n 种不同
4、的方法2. 分步乘法计数原理：完成一件事，需要分成 n 个步骤，做第 1 步有 m1 种不同的方法，做第 2 步有 m2 种不同的方法， ，做第 n 步有 mn 种不同的方法，那么完成这件事共有 Nm 1m2mn 种不同的方法3. 分类和分步区别，关键是看事件能否完成，事件完成了就是分类；必须要连续若干步才能完成的则是分步分类要用分类计数原理将种数相加；分步要用分步计数原理，分步后要将种数相乘备课札记题型 1 分类计数原理例 1 满足 AB1，2的集合 A、B 共有多少组？解：集合 A、B 均是1，2的子集： ，1，2，1，2，但不是随便两个子集搭配都行，本题尤如含 A、B 两元素的不定方程，
5、其全部解分为四类： 当 A 时，只有 B1 ，2，得 1 组解； 当 A1 时， B2或 B1 ，2，得 2 组解； 当 A2 时， B1或 B1 ，2，得 2 组解； 当 A1，2时，B 或1或2或1，2 ，得 4 组解根据分类计数原理，共有 12249 组解变 式 训 练如下图，共有多少个不同的三角形？解：所有不同的三角形可分为三类：第一类：其中有两条边是原五边形的边，这样的三角形共有 5 个；第二类：其中有且只有一条边是原五边形的边，这样的三角形共有 5420 个；第三类：没有一条边是原五边形的边，即由五条对角线围成的三角形，共有 5510个由分类计数原理得，不同的三角形共有 52010
6、35 个题型 2 分步计数原理例 2 用五种不同颜色给图中四个区域涂色，每个区域涂一种颜色(1) 共有多少种不同的涂色方法？(2) 若要求相邻(有公共边)的区域不同色，那么有多少种不同的涂色方法？1234解：(1) 每一个区域都有 5 种不同的涂色的方法，所以涂完四个区域共有5555625 种不同的涂色方法(2) 若 2 号，4 号区域同色，有 54360 种涂法；若 2 号，4 号区域异色，有5432120 种涂法所以共有 60120180 种涂法备 选 变 式 （教 师 专 享 ）用三种不同的颜色填涂下图 33 方格中的 9 个区域，要求每行、每列的三个区域都不同色，则不同的填涂方法共有_
7、种分析：将 9 个区域顺次标号，利用分步计数原理求解答案：12解析：可将 9 个区域标号如图：1 2 34 5 67 8 9用三种不同颜色为 9 个区域涂色，可分步解决：第一步，为第一行涂色，有3216 种方法；第二步，用与 1 号区域不同色的两种颜色为 4、7 两个区域涂色，有212 种方法；剩余区域只有一种涂法综上由分步计数原理可知共有 6212 种涂法题型 3 两个基本原理的联系例 3 某同学有 12 本课外参考书，其中有 5 本不同的外语书，4 本不同的数学书，3本不同的物理书，他欲带参考书到图书馆去阅读(1) 若从这些参考书中带一本去图书馆，有多少种不同的带法？(2) 若带外语、数学
8、、物理参考书各一本，有多少种不同的带法？(3) 若从这些参考书中选 2 本不同学科的参考书带到图书馆，有多少种不同的带法？解：(1) 完成的事情是带一本书，无论是带外语书，还是带数学书、物理书，事情都已经完成，从而应用加法原理，结果为 54312 种(2) 完成的事情是带三本不同学科的参考书，只有从外语、数学、物理中各选一本后，才能完成这件事，因此应用乘法原理，结果为 54360 种(3) 要完成的这件事是带 2 本不同的书，先乘法原理，再用加法原理，结果为54533447 种选法备 选 变 式 （教 师 专 享 ）三边长均为整数，且最大边长为 7 的三角形的个数为_答案：16解析：另两边长用
9、 x、y 表示，且不妨设 1xy7，要构成三角形，必须有 xy8.当 y 取值 7 时，x1，2，3，7，可有 7 个三角形；当 y 取值 6 时，x2，3，4，5，6，可有 5 个三角形；当 y 取值 5 时，x3，4，5，可有 3 个三角形；当y 取值 4 时，x4，可有 1 个三角形，所求三角形的个数合计为 16 个1. (2013山东理)用 0，1，9 这十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为_答案：252解析：组成三位数的个数为 91010900.没有重复数字的三位数有 C A 648，19 29所以有重复数字的三位数的个数为 900648252.2. (2013福建理)满足
10、a、b 1，0，1，2，且关于 x 的方程 ax22xb0 有实数解的有序数对(a，b)的个数为 _答案：13解析：方程 ax22xb0 有实数解，分析讨论 当 a0 时，很显然为垂直于 x轴的直线方程，有解此时 b 可以取 4 个值故有 4 种有序数对； 当 a0 时，需要44ab0 ，即 ab1.显然有 3 个实数对不满足题意，分别为(1 ，2)，(2，1)，(2，2) (a，b)共有 16 种实数对，故答案应为 163 13.3. 将字母 a、a 、b、b、c、c，排成三行两列，要求每行的字母互不相同，每列的字母也互不相同，则不同的排列方法共有_种答案：12解析：第一步先排第一列有 A
11、6，再排第二列，当第一列确定时，第二列有 2 种方3法，如图a bb cc aa cb ac b，所以共有 6212 种4. (2013四川理 )从 1，3，5，7，9 这五个数中，每次取出两个不同的数分别为 a，b，共可得到 lga lgb 的不同值的个数是_答案：18解析：首先从 1，3，5，7，9 这五个数中任取两个不同的数排列，共有 5420 种排法因为 ， ，所以从 1，3，5，7，9 这五个数中，每次取出两个不同的数分别记31 93 13 39为 a、b，共可得到 lgalgb 的不同值的个数是 20218.1. 某赛季足球比赛的规则是：胜一场，得 3 分；平一场，得 1 分；负一
12、场，得 0分一球队打完 15 场，积 33 分若不考虑顺序，该队胜、负、平的情况共有_种答案：3解析：利用加法原理，考虑胜 11 场、胜 10 场、胜 9 场等情况2. 一栋 7 层的楼房备有电梯，在一楼有甲、乙、丙三人进了电梯，则满足有且仅有一人要上 7 楼，且甲不在 2 楼下电梯的所有可能情况种数有_答案：65解析：分两类：第一类，甲上 7 楼，有 52 种；第二类：甲不上 7 楼，有 425种故 5242565.3. 现有 5 位同学准备一起做一项游戏，他们的身高各不相同现在要从他们 5 个人当中选择出若干人组成 A、B 两个小组，每个小组都至少有 1 人，并且要求 B 组中最矮的那个同
13、学的身高要比 A 组中最高的那个同学还要高则不同的选法共有_种答案：49解析：给 5 位同学按身高的不同由矮到高分别编号为 1，2，3，4，5，组成集合M1 ，2，3，4，5 若小组 A 中最高者为 1，则能使 B 中最矮者高于 A 中最高者的小组 B 是2， 3，4，5的非空子集，这样的子集有 C C C C 2 4115 个， 不同的选14 24 34 4法有 15 个；若 A 中最高者为 2，则这样的小组 A 有 2 个：2 、1，2 ，能使 B 中最矮者高于 A 中最高者的小组 B 是3 ，4，5的非空子集，这样的子集 (小组 B)有 2317 个， 不同的选法有 2714 个；若 A
14、 中最高者为 3，则这样的小组 A 有 4 个：3、1， 3、 2，3 、1 ，2，3 ，能使 B 中最矮者高于 A 中最高者的小组 B 是4 ，5的非空子集，这样的子集(小组 B)有 2213 个， 不同的选法有 4312 个；若 A 中最高者为 4，则这样的小组 A 有 8 个：4、1 ，4、2 ，4、3 ，4、1 ，2，4、1，3，4 、2， 3，4、1，2，3，4，能使 B 中最矮者高于 A 中最高者的小组 B 只有5 1 个， 不同的选法有 8 个 综上，所有不同的选法是 151412849 个4. 75 600 有多少个正约数？有多少个奇约数？解：75 600 的约数就是能整除 7
15、5 600 的整数，所以本题就是分别求能整除 75 600 的整数和奇约数的个数由于 75 6002 433527.(1) 75 600 的每个约数都可以写成 2i3j5k7l 的形式，其中 0i4，0j3，0k2，0l1.于是，要确定 75 600 的一个约数，可分四步完成，即 i，j，k，l 分别在各自的范围内任取一个值，这样 i 有 5 种取法，j 有 4 种取法，k 有 3 种取法，l 有 2 种取法，根据分步计数原理得约数的个数为 5432120 个(2) 奇约数中不含有 2 的因数，因此 75 600 的每个奇约数都可以写成 3j5k7l 的形式，同上奇约数的个数为 43224 个
16、在应用两个计数原理解决具体问题时，常用以下几种方法技巧：(1) 建模法：建立数学模型，将所给问题转化为数学问题，这是计数方法中的基本方法(2) 枚举法：利用枚举法(如树状图，表格 )可以使问题的分析更直观、清楚，便于发现规律，从而形成恰当的分类或分步的设计思想(3) 直接法和间接法：在实施计算中，可考虑用直接法或间接法(排除法) ，用不同的方法，不同的思路来验证结果的正误(4) 分类计数原理和分步计数原理多数情形下是结合使用的，根据问题特点，一般是先分类再分步，某些复杂情形下，也可先分步再分类分类要“不重不漏” ，分步要“连续完整” 请 使 用 课 时 训 练 （A）第 1课 时 （见 活 页 ）.
