1、第十一章 计数原理、随机变量及分布列第 6 课时 离散型随机变量的均值与方差(对应学生用书( 理)177 178 页)考情分析 考点新知离散型随机变量的分布列、期望、方差和概率的计算问题结合在一起进行考查，这是当前高考命题的热点，因为概率问题不仅具有很强的综合性，而且与实际生产、生活问题密切联系，能很好地考查分析、解决问题的能力了解取有限值的离散型随机变量的均值、方差的意义会求离散型随机变量的均值、方差和标准差，并能解决有关实际问题.1. (选修 23P67 习题 4 改编)某单位有一台电话交换机，其中有 8 个分机设每个分机在1h 内平均占线 10min，并且各个分机是否占线是相互独立的，则
2、任一时刻占线的分机数目X 的数学期望为_答案：43解析：每个分机占线的概率为 ，X B ，即 X 服从二项分布，所以期望 E(X)16 (8， 16)8 .16 432. (选修 23P66 例 2 改编)有一批数量很大的商品的次品率为 1%，从中任意地连续取出200 件商品，设其中次品数为 X，则 E(X)_，V(X)_.答案：2 1.98解析：XB(200, 0.01)，所以期望 E(X)2000.012，V(X)2000.01(10.01)1.98.3. (选修 23P71 习题 4 改编)某人进行射击，每次中靶的概率均为 0.8，现规定：若中靶就停止射击，若没中靶，则继续射击，如果只有
3、 3 发子弹，则射击数 X 的均值为_(填数字)答案：1.24解析：射击次数 X 的分布列为X 1 2 3P 0.8 0.16 0.04E(X) 0.810.1620.04 31.24.4. (选修 23P71 习题 1 改编)随机变量 X 的分布列如下：X 1 0 1P a b c其中 a，b，c 成等差数列，若 E(X) ，则方差 V(X)的值是_13答案：59解析：a、b、c 成等差数列，有 2ba c，又 abc 1，E(X)1a1 cc a .13得 a ，b ，c ， V(X) 2 2 2 .16 13 12 ( 1 13) 16 (13) 13 (23) 12 595. 一高考考
4、生咨询中心有 A、B、C 三条咨询热线已知某一时刻热线 A、B 占线的概率均为 0.5，热线 C 占线的概率为 0.4，各热线是否占线相互之间没有影响，假设该时刻有 条热线占线，则随机变量 的期望为_答案：1.4解析：随机变量 可能取的值为 0、1、2、3.依题意，得 P(0)0.15, P(1)0.4，P(2)0.35，P(3)0.1 的分布列为 0 1 2 3P 0.15 0.4 0.35 0.1 它的期望为 E()00.1510.420.3530.11.4.1. 均值(1) 若离散型随机变量 的分布列为： x1 x2 xnP p1 p2 pn则称 E()x 1p1x 2p2x npn 为
5、 的均值或数学期望，简称 期望(2) 离散型随机变量的期望反映了离散型随机变量取值的平均水平(3) 数学期望的性质E(c)c ，E(a b)aE b(a、b、c 为常数)2. 方差(1) 若离散型随机变量 所有可能的取值是 x1，x 2，x n 且这些值的概率分别是p1，p 2，p n，则称：V()(x 1E() 2p1(x 2E() 2p2(x nE() 2pn 为 的方差(2) ，叫标准差V(3) 随机变量 的方差反映了 取值的稳定性(4) 方差的性质a、b 为常数，则 V(ab)a 2V.3. 若 B(n，p)，则 E() np，V() np(1 p)4. 期望与方差的关系均值(期望)
6、反映了随机变量取值的平均水平，而方差则表现了随机变量所取的值对于它的均值( 期望)的集中与离散的程度，因此二者的关系是十分密切的，且有关系式 V()E( 2)(E() 2.备课札记题型 1 离散型随机变量的期望例 1 已知离散型随机变量 1 的概率分布为 1 1 2 3 4 5 6 7P 17 17 17 17 17 17 17离散型随机变量 2 的概率分布为 2 3.7 3.8 3.9 4 4.1 4.2 4.3P 17 17 17 17 17 17 17求这两个随机变量数学期望、方差与标准差解：E( 1)1 2 7 4；17 17 17V(1)(1 4) 2 (24) 2 (7 4) 2
7、4， 1 2.17 17 17 V（1）E(2) 3.7 3.8 4.3 4；17 17 17V(2)0.04， 2 )0.2.V（2变 式 训 练甲、乙两射手在同一条件下进行射击，分布列如下：射手甲击中环数 8，9，10 的概率分别为 0.2，0.6，0.2；射手乙击中环数 8，9，10 的概率分别为 0.4，0.2，0.4.用击中环数的期望与方差比较两名射手的射击水平解：E 180.290.6100.29，V(1)(8 9) 20.2(99) 20.6(10 9) 20.20.4；同理有 E(2)9，V( 2)0.8.由上可知，E( 1)E( 2)，V( 1)E()，说明在一次射击中甲的平
8、均得分比乙高，但 V()V()，说明甲得分的稳定性不如乙，因此甲、乙两人技术都不够全面1. (2013广东)已知离散型随机变量 X 的分布列为X 1 2 3P 35 310 110则 X 的数学期望 E(X)_答案：32解析：E(X) 1 2 3 .35 310 110 1510 322. (2013湖北理)如图，将一个各面都涂了油漆的正方体，切割成 125 个同样大小的小正方体经过搅拌后，从中随机取出一个小正方体，记它的涂油漆面数为 X，则 X 的均值为 E(X)_ 答案：65解析：用分布列解决这个问题，根据题意易知 X0，1，2，3.列表如下：X 0 1 2 3 27125 54125 3
9、6125 8125所以 E(X)0 1 2 3 .27125 54125 36125 8125 150125 653. (2013上海理)设非零常数 d 是等差数列 x1，x 2，x 3， ，x 19 的公差，随机变量 等可能地取值 x1，x 2，x 3，x 19，则方差 V()_ 答案： |d|30解析：Ex 10，V() |d|.d219（92 82 12 02 12 92） 304. (2013浙江)设袋子中装有 a 个红球，b 个黄球，c 个蓝球，且规定：取出一个红球得1 分，取出一个黄球得 2 分，取出一个蓝球得 3 分(1) 当 a3，b2，c1 时，从该袋子中任取(有放回，且每球
10、取到的机会均等)2 个球，记随机变量 为取出此两球所得分数之和，求 分布列；(2) 从该袋子中任取( 且每球取到的机会均等)1 个球，记随机变量 为取出此球所得分数若 E() ，V() ，求 abc.53 59解：(1) 由已知得到：当两次摸到的球分别是红红时 2，此时 P(2) ；3366 14当两次摸到的球分别是黄黄、红蓝、蓝红时 4 时，P(4) 2266 3166 ；1366 518当两次摸到的球分别是红黄，黄红时 3 时，P(3) ；3266 2366 13当两次摸到的球分别是黄蓝，蓝黄时 5 时，P(5) ；1266 2166 19当两次摸到的球分别是蓝蓝时 6 时，P(6) .1
11、166 136所以 的分布列为 2 3 4 5 6P 14 13 518 19 136(2) 由已知得到： 有三种取值即 1，2，3，所以 的分布列为 1 2 3P aa b c ba b c ca b c所以， 222533553(1)()()9EabcDbcacab所以 b2c，a3c ，所以 abc321.1. 袋中有 5 只红球，3 只黑球，现从袋中随机取出 4 只球，设取到一只红球得 2 分，取到一只黑球得 1 分，则得分 的数学期望 E_答案：132解析： 可取 5、6、7、8，P(5) (3 黑 1 红); P( 6) (2 黑 2 红)；570 3070P(7) (3 红 1
12、黑)；P(8) (4 红) E 6.5.3070 570 455702. 为防止山体滑坡，某地决定建设既美化又防护的绿化带，种植松树、柳树等植物某人一次种植了 n 株柳树，各株柳树成活与否是相互独立的，成活率为 p，设 为成活柳树的株数，数学期望 E()3，标准差 ()为 .62(1) 求 n、p 的值并写出 的分布列；(2) 若有 3 株或 3 株以上的柳树未成活，则需要补种，求需要补种柳树的概率解：(1) 由 E()np3，() 2np(1p) ，得 1p ，从而 n6，p ，32 12 12 的分布列为 0 1 2 3 4 5 6P 164 664 1564 2064 1564 664
13、164(2) 记“需要补种柳树”为事件 A, 则 P(A)P(3)，得 P(A) .1 6 15 2064 21323. 将一枚硬币抛掷 6 次，求正面次数与反面次数之差 的概率分布列，并求出 的期望 E.解：设正面的次数是 ，则 服从二项分布 B(6，0.5) ，概率分布为 P(k)C 0.56，k0，1，6，且 E3.而反面次数为 6 ， (6 )26.k6于是 的概率分布为P(2k6)P(k) C 0.56，k0，1，6.k6故 E() E(26)2E()62360.4. (2013 新课标理)一批产品需要进行质量检验，检验方案是：先从这批产品中任取4 件作检验，这 4 件产品中优质品的
14、件数记为 n.如果 n3，再从这批产品中任取 4 件作检验，若都为优质品，则这批产品通过检验；如果 n4，再从这批产品中任取 1 件作检验，若为优质品，则这批产品通过检验；其他情况下，这批产品都不能通过检验假设这批产品的优质品率为 50%，即取出的产品是优质品的概率都为 ，且各件产品12是否为优质品相互独立(1) 求这批产品通过检验的概率；(2) 已知每件产品检验费用为 100 元，凡抽取的每件产品都需要检验，对这批产品作质量检验所需的费用记为 X(单位：元) ，求 X 的分布列及数学期望解：(1) 设第一次取出的 4 件产品中恰有 3 件优质品为事件 A，第一次取出的 4 件产品中全为优质品
15、为事件 B，第二次取出的 4 件产品都是优质品为事件 C，第二次取出的 1 件产品是优质品为事件 D，这批产品通过检验为事件 E， P(E)P(A)P(B|A) P(C)P(D|C)C .34(12)212 (12)4(12)412 364(2) X 的可能取值为 400，500 ，800，并且 P(X400)1C ，P(X500) ，P(X800)C ，34(12)312 (12)4116 116 34(12)312 14 X 的分布列为X 400 500 800P 1116 116 14EX400 500 800 506.25.1116 116 14数学期望中的注意问题：(1) 数学期望是离散型随机变量的一个特征数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平(2) E(X)是一个常数，由随机变量 X 的概率分布唯一确定，即随机变量 X 是可变的，而 E(X)是不变的，它描述 X 取值的平均状态(3) 随机变量的方差和标准差既反映了随机变量取值偏离于均值的平均程度，方差或标准差越小，则随机变量偏离于均值的平均程度越小，也反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度(4) 标准差与随机变量本身有相同的单位，所以在实际问题中应用更广泛请 使 用 课 时 训 练 （B）第 6课 时 （见 活 页 ）.备课札记
