1、第二章 有理数 32.1 正数和负数 31. 相反意义的量 .32. 正数与负数 4练习 43. 有理数 .5练习 6习题 2.1.6阅读材料中国人最早使用负数 72.2 数轴 .81. 数轴 8练习 92.在数轴上比较数的大小 .10练习 11习题 2.2.112.3 相反数 .13练习 14习题 2.3 152.4 绝对值 .15练习 17习题 2.4.172.5 有理数的大小比较 .18练习 20习题 2.5 212.6 有理数的加法 211. 有理数加法法则 .21练习 242. 有理数加法的运算律 25练习 26习题 2.6 272.7 有理数的减法 28练习 29习题 2.7 30
2、2.8 有理数的加减混合运算 .311. 加减法统一成加法 31练习 322. 加法运算律在加减混合运算中的应用 32练习 33习题 2.8 332.9 有理数的乘法 341.有理数的乘法法则 34练习 362有理数乘法的运算律 36练习 38练习 39习题 2.9.402.10 有理数的除法 .41练习 43习题 2.10.442.11 有理数的乘方 .45练习 46习题 2. 11.472.12 科学计数法 .47练习 48习题 2.12.48阅读材料光年和纳米 .482.13 有理数的混合运算 49练习 51练习 52习题 2. 13.532.14 近似数和有效数字 53练习 55习题
3、2.14 55读一读 562.15 用计算器进行数的简单运算 .56练习 60习题 2. 15 60小结 61复习题 61第二章 有理数在上面的天气预报电视屏幕上，我们看到，这一天上海的最低温度是-5，读作负 5，表示零下 5。这里，出现了一种新数负数. 我们将会看到，除了表示温度以外，还有许多量需要用负数来表示.有了负数，数的家族引进了新的成员，将变得更加绚丽多彩，更加便于应用.本章将与你一起认识负数，把数的范围扩充到有理数，并研究有理数的大小比较和运算.2.1 正数和负数我们知道，为了表示物体的个数或事物的顺序，产生了数1，2，3，.; 为了表示“没有” ，引入了数 0；有时分配、测量的结
4、果不是整数，需要用分数(小数)表示. 总之，数是为了满足生产和生活的需要而产生发展起来的.1. 相反意义的量在日常生活中，常会遇到这样的一些量：例 1 汽车向东行驶 3 公里和向西行驶 2 公里；例 2 温度是零上 10和零下 5；例 3 收入 500 元和支出 237 元; 例 4 水位升高 5.5 米和下降 3.6 米等等.这里出现的每一对量，虽然有着不同的具体内容，但有着一个共同特点，它们都是具有相反意义的量，向东和向西、零上和零下；收入和支出;升高和下降都具有相反的意义.这些例子中出现的每一对量，有什么共同特点?你能再举出几个日常生活中的具有相反意义的量吗?2. 正数与负数对于相反意义
5、的量, 只用原来的那些数很难区分量的相反意义. 例如,零上 5用 5 表示, 那么零下 5就不能仍用同一个数5 来表示.想一想怎样表示具有相反意义的量呢?能否从天气预报的电视屏幕上出现的标记中，得到一些启发呢?在天气预报的电视屏幕上我们发现，零下 5可以用-5来表示. 一般地，对于具有相反意义的量，我们可把其中一种意义的量规定为正的，用过去学过的数表示，把与它意义相反的量规定为负的，用过去学过的数(零除外)前面放上一个“-”(读作负)号来表示.就拿温度为例，通常规定零上为正，于是零下为负，零上10就用 10表示，零下 5用 -5来表示.在例 1 中，如果规定向东为正，那么向西为负.汽车向东行驶
6、3 公里记作 3 公里，向西 2 公里应记作-2 公里.在例 3 中，如果规定收入为正，收入 500 元记作 500 元，支出 237 元应记作什么?在例 4 中，如果升高 5.5 米记作 5.5 米,下降 3.6 米记作什么?在这些讨论中，出现了哪些新数?为了表示具有相反意义的量, 我们引进了象-5,-2,-237,-3.6这样的数, 这是一种新数,叫做负数(negative number). 过去学过的那些数(零除外),如 10,3,500,5.5 等,叫做正数(positive number). 正数前面有时也可放上一个“+“号, 如 5 可以写成+5, +5 和 5 是一样的. 注意:
7、 0 既不是正数,也不是负数.练习1. 将你所举出的具有相反意义的量用正数或负数来表示. 2.在中国地形图上，在珠穆朗 玛峰和吐鲁番盆地处都标有表明它们的高度的数，如图所示.这个数通常称为海拔高度，它是相对于海平面来说的.请说出图中所示的数8848 和-155 表示的实际意义。海平面的高度用什么数表示? 3.下列各数中,哪些是正数?哪些是负数?+6；-21；54；0； ；-3.14；0.001；-999724.“一个数，如果不是正数，必定就是负数.”这句话对不对?为什么?3. 有理数想一想引进了负数以后，我们学过的数有哪些?引进了负数以后，我们学过的数就有： 正整数，如1，2，3，.;零: 0
8、;负整数, 如-1,-2,-3,.;正分数, 如 , ,4.5(即 );72214负分数, 如- , ,-0.3(即 ), 1035正整数、零和负整数统称整数(integers)，正分数和负分数统称分数(fractions).整数和分数统称有理数(rational numbers).有如下分类表：把一些数放在一起，就组成一个数的集合，简称数集(set of numbers).所有的有理数组成的 数集叫做有理数集.类似地，所有的整数组成的数集叫做整数集，所有的正数组成的数集叫做正数集，所有的负数组成的数集叫做负数集，如此等等.例 5 把下列各数填入表示它所在的数集的圈子里： -18, , 3.1
9、416, 0, 2001, , -0.142857, 95%7253正整数 负整数整数集 有理数集解, 3.1416, -18, , 72 532001, 95% -0.142857正整数 负整数18，0，2001， -18, , 3.1416, 0, 722001, , -0.142857, 95% 53整数集 有理数集练习1. 请说出两个正整数, 两个负整数, 两个正分数,两个负分数.它们都是有理数吗?2. 有理数集中有没有这样的数,它既不是正数,也不是负数? 如有,这样的数有几个?3. 下面两个圆圈分别表示正数集合和整数集合,请在这两个圆圈内填入六个数,其中有三个数既在正数集合内, 又在
10、整数集合内.这三个数应填在哪里? 你能说出这两个圆圈的重叠部分表示什么数的集合吗?正数集 整数集习题 2.11. 下列各数,哪些是整数,哪些是分数? 哪些是正数,哪些是负数?1， -0.10， ，-789， 325， 0，-20， 10.10， 1000.1852.把下列各数填入表示它所在的数集的圈子里：, 0.618, -3.14, 260, -2001, , , -5%31763.0整数集 分数集负数集 有理数集3.下面的大括号表示一些数的集合,把第 1、2 两题中的各数填入相应的大括号里:正整数集: 负整数集: 正分数集: 负分数集: 4 观察下面依次排列的一列数，它的排列有什么规律?请
11、接着写出后面的三个数，你能说出第 100 个数、第 2000 个数、第 2001个数是什么吗?(1)1，-1，1，-1，1，-1，1，-1， ， ， ，；(2)1，-2，3，-4，5，-6，7，-8， ， ， ，；(3)-1, ,- , , , , , , , ,214167阅读材料中国人最早使用负数九章算术和我国古代的“正负术”九章算术是中国古典数学最重要的一部著作。这部著作的成书年代，根据现在的考证，至迟在公元前一世纪，但其中的数学内容，有些也可以追溯到周代。 九章算术采用问题集的形式，全书 246 个问题，分成方田、粟米、衰分、少广、商功、均输、赢不足、方程、勾股等九章，其中所包含的数学
12、成就是十分丰富的。引进和使用负数是九章算术的一项突出的贡献。在九章算术的“方程术”中，当用遍乘直除算法消元时，可能出现减数大于被减数的情形，为此，就需要引进负数九章算术在方程章中提出了如下的“正负术”： “同名相除，异名相益，正无入负之，负无入正之。其异名相除，同名相益，正无入正之，负无入负之。 ”这实际上就是正负术的加减运算法则。 “同名” 、 “异名”分别指同号、异号；“相益” 、 “相除”分别指两数的绝对值相加、相减。前四句说的是正负数和零的减法法则，后四句说的是正负数和零的加法法则。用符号表示，设 ab0，这八句话可以表示为： (a)(b)(ab)；(a)(b)(ab)；0a a；0(
13、a)a；(a)(b)(ab),(b)(a)(ab)；(a)(b)(ab)；0aa；0(a)a。不难看出，所有这些是与我们所学的有理数加减法法则是完全一致的。九章算术以后，魏晋时期的数学家刘徽对负数的出现就作了很自然的解释：“两算得失相反，要令正负以名之” ，并主张在筹算中用红筹代表正数，黑筹代表负数。在国外，负数的出现和使用要比我国迟好几百年，直到七世纪时印度数学家才开始使用负数。而在欧洲，直到十六世纪韦达的著作还拒绝使用负数。2.2 数轴1. 数轴我们在小学学习数学时，就能用直线上依次排列的点来表示自然数，它帮助我们认识了自然数的大小关系.想一想能不能用直线上的点表示正数、零和负数?从温度计
14、上能否得到一点启发?温度计上有刻度，可以方便地读出温度的度数，并且可以区分出是零上还是零下。与温度计相仿，我们可以在一条直线上规定一个正方向，就可以用这条直线上的点表示正数、零和负数.(图 2-2-1) 体做法如下：画一条直线(通常画成水平位置)，在这条直线上任取一点作为原点，用这点表示.规定直线 图 2-2-1 上从原点向右为正方向,画上箭头,那么相反方向为负方向. 再选取适当的长度作为单位长度，从原点向右每隔一个单位长度取一点，依次标上 1，2，3，；从原点向左，每隔一个单位长度取一点，依次标上-1，-2，-3，(图 2-2-2).图 2-2-2概括象这样规定了原点、正方向和单位长度的直线
15、叫做数轴 .在数轴上画出表示有理数的点，可以先由这个数的符号确定它在数轴上原点的哪一个方向，再在相应的方向上确定它与原点相距几个单位长度.例 1. 画出数轴，并在数轴上画出表示下列各数的点：4，-2，-4.5， ，0 .31解 如图 2-2-3 所示图 2-2-3练习1.下列各图表示数轴是否正确?为什么?2.指出数轴上点 A、B、C、D 分别表示什么数.3.画出数轴，并在数轴上画出表示下列各数的点：-1.8,0,-3.5, ,31026再按数轴上从左到右的顺序，将这些数重新排成一行.2.在数轴上比较数的大小观察画数轴时，我们从原点向右每隔一个单位长度取一点，依次标上数 1，2，3，.所以，在数
16、轴正方向，越右边的点表示的数越大.根据数轴的画法，在数轴负方向，我们也有：越左边的点表示的数越小，就象温度计上刻度-2的温度低于-1，-3的温度低于-2，一样.概括我们发现，在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大.根据有理数在数轴上表示的相对位置，在应用中我们也常说：正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数.例 2 将有理数 3，0， ，-4 按从小到大顺序排列，用“”号651连接起来.解 正数 3，由正、负数大小比较法则，得651-40 3 .例 3 比较下列各数的大小：-1.3，0.3，-3，-5 .解 将这些数分别在数轴上表示出来(图 2-2-4)：图 2-2-4所以 -5-3-1
17、.30.3练习1.判断下列各式是否正确: 2.9-3.1； 0-14； -10-9； -5.4-4.52.用“”号或“”号填空： 3.6 2.5； -3 0； -16 -1.6； +1 -10； -2.1 +2.1； -9 -7习题 2.21. 指出数轴上 A、B、C、D 各点所表示的数：2. 分别画出数轴，并在数轴上画出表示下列各数的点： -2.1，-3，0.5， ；214 -50，250，0，-400 .3. 指出在数轴上表示下列各数的点分别位于原点的哪边，与原点距离多少个单位长度：-3，4.2，-1， .214. 一个点从数轴上原点开始，先向右移动 3 个单位长度，再向左移动 5 个单位
18、长度.可以看出，终点表示数-2.请同学参照上图，完成填空：已知 A、 B 是数轴上的点.(1)如果点 A 表示 数-3，将 A 向右移动 7 个单位长度，那么终点表示数 ；(2)如果点 A 表示数 3， 将 A 向左移动 7 个单位长度，再向右移动 5 个单位长度，那么终点表示数 ；(3)如果将点 B 向右移动 3 个单位长度，再向左移动 5 个单位长度，终点表示的数是 0，那么点 B 所表示的数是 .5. 比较下列每对数的大小：(1)-8，-6； (2)-5, 0.1；(3 ,0； (4)-4.2；-5.1；41(5) , ； (6) ,0 ； 32516. 画出数轴，把下列各组数分别在数轴
19、上表示出来，并按从小到大顺序排列，用“0.01，所以 -1”填 空：(1)因为 ,所以 ；3535(2)因为 |-10| |-100| ；所以 -10 -100 .2. 判断下列各式是否正确：(1) 32.0.(2) (3) 716(4) 233. 比较下列各对数的大小；(1) 与415(2) 与-0.61884. 回答下列问题：(1) 大于-4 的负整数有几个?(2) 小于 4 的正整数有几个?(3) 大于-4 且小于 4 的整数有几个?习题 2.5 1. 比较下列每对数的大小：(1) 与 ;6587(2)-9.1 与-9.099； (3)-8 与 |-8| ； (4)-|-3.2|与-(+
20、3.2).2. 将有理数 0，-3.14， ，2.7，-4，0.14 按 从小到大的72顺序排列，用“”号连接起来.3. 写出绝对值小于 5 的所有整数，并在数轴上表示出来.4. 回答下列问题：(1) 有没有最小的正数?有没有最大的负数?为什么?(2) 有没有绝对值最小的有理数?把它写出来.2.6 有理数的加法1. 有理数加法法则问题一位同学沿着一条东西向的跑道，先走了 20 米，又走了 30米，能否确定他现在位于原来位置的哪个方向，相距多少米?我们知道，求两次运动的总结果，可以用加法来解答.可是上述问题不能得到确定答案，因为问题中并未指出行走方向.试验我们必须把问题说得明确些，并规定向东为正
21、，向西为负.(1)若两次都是向东走，很明显，一共向东走 了 50 米，写成算式就是(+20)+(+30)=+50，即这位同学位于原来位置的东方 50 米处.这一运算在数轴上表示如图 2-6-1.图 2-6-1(2)若两次都是向西走，则他现在位于原来位 置的西方 50 米处，写成算式就是(-20)+(-30)=-50 .思考还有哪些可能情形?你能把问题补充完整吗?(3)若第一次向东走 20 米，第二次向西走 30 米，我们先在数轴上表示如图 2-6-2.图 2-6-2写成算式是(+20)+(-30)=-10，即这位同学位于原来位置的西方 10 米处.(4)若第一次向西走 20 米，第二次向东走
22、30 米，写成算式是(-20)+(+30)=( ).即这位同学位于原来位置的( )方( )米处.后两种情形中两个加数符号不同(通常可称异号)，所得和的符号似乎不能确定，让我们再试几次(下式中的加数不仿仍可看作运动的方向和路程)：你能发现和与两个加数的符号和绝对值之间有什么关系吗 ?(+4)+(-3)=( )； (+3)+(-10)=( )；(-5)+(+7)=( )；(-6)+ 2 = ( ).再看两种特殊情形：(5)第一次向西走了 30 米，第二次向东走了 30 米.写成算式是(-30)+(+30)=( ).(6)第一次向西走了 30 米，第二次没走.写成算式是(-30)+ 0 =( ).我
23、们不难得出它们的结果.概括综合以上情形，我们得到 有理数的加法法则：1. 同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；2. 绝对值不等的异号两数相加，取绝对值较大加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；3. 互为相反数的两个数相加得 0；4. 一个数同 0 相加，仍得这个数 .注意一个有理数由符号和绝对值两部分组成，所以进行加法运算时，必须分别确定和的符号和绝对值.这与小学阶段学习加法运算不同.例 1 计算：(1)(+2)+(-11);(2)(+20)+(+12);(3) ;321(4)(-3.4)+4.3解(1)(+2)+(-11)=-(11-2)=-9;(2)(+20)+(+12)=
24、+(20+12)=+32=32;(3) ;6124312321(4)(-3.4)+4.3=+(4.3-3.4)=0.9练习1. 填 表：2. 计算：(1)10+(-4);(2)(+9)+7;(3)(-15)+(-32);(4)(-9)+0;(5)100+(-199);(6)(-0.5)+4.4;(7) +(1.25);41(8) 623. 填 空：(1)( )+(-3)=-8； (2)( )+(-3)= 8； (3)(-3)+( )=-1；(4)(-3)+( )= 0 .4.两个有理数相加，和是否一定大于每个加数?2. 有理数加法的运算律根据有理数加法法则，我们可以知道，两个有理数相加，和只与
25、加数的符号及绝对值有关，而与加数的位置无关.例如(+3)+(-5)=(-5)+3；(-5)+(-3)=(-3)+(-5).也就是说在有理数加法中我们仍有： 加法交换律:两个数相加，交换加数的位置，和不变.即 a + b = b + a试一试试上几次，你能发现什么?计算+(-6)，9+两式所得结果相同吗?任意选择三个有理数，分别填入下列两个算式的不同记号内再试一试：( + )+ ， +( + ).概括我们发现在有理数加法中也有： 加法结合律 :三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变 .即 ( a + b )+ c = a + ( b + c )这样，多个有理数相加，可以任意交
26、换加数的位置，也可先把其中的几个数相加，使计算简化.例 2 计算：(1) (+26)+(-18)+5+(-16)(2) 2183417231解 (1)(+26)+(-18)+5+(-16)=(26+5)+(-18)+(-16)= 31+(-34)= -(34-31)= - 3 .(2) 218417231= 417281321=47= 1=4= 1= 43从几个例题中你能发现应用运算律时，通常将哪些加数结合在一起，可以使运算简便吗?例 3 10 筐苹果，以每筐 30 千克为准，超过的千克数记作正数，不足的千克数记作负数，记录如下：2，-4，2.5，3，-0.5，1.5，3，-1，0，-2.5.
27、求这 10 筐苹果的总重量.解 2+(-4)+2.5+3+(-0.5)+1.5+3+(-1)+0+(-2.5)= (2+3+3)+(-4)+2.5+(-2.5)+(-0.5)+(-1)+1.5=8+(-4)= 4 .3010 + 4 = 304 .答：10 筐苹果总重量是 304 千克.练习1. 计算：(1)(-7)+(+10)+(-11)+(-2);(2) 2+(-3)+(+4)+(-5)+6;(3) ;61231(4)532.05214.82. 利用有理数的加法计算：某天气温从早晨-3到中午升高了 5，到晚上降低了 3，到午夜又降低了 4.求午夜时的温度.习题 2.61. 计算：(1)(-
28、12)+(+3)； (2)(+15)+(-4)；(3)(-16)+(-8)； (4)(+23)+(+24)；(5)(-102)+132； (6)(-32)+(-11)；(7)(-35)+0； (8)78+(-85).2. 计算：(1)(-0.9)+(+1.5);(2)(+6.5)+3.7;(3)1.5+(-8.5);(4)(-4.1)+(-1.9);(5) ;613(6) ;24(7) ;315.(8) 2.43. 计算：(1)(+14)+(-4)+(-2)+(+26)+(-3);(2)(-83)+(+26)+(-41)+(+15);(3)(-1.8)+(+0.7)+(-0.9)+1.3+(-
29、0.2);(4) ;614312(5) 43123)5.(4. 列式并计算：(1)求+1.2 的相反数与-3.1 的绝对值的和；(2) 与 的和的相反数是多少? 32415. 利用有理数加法解下列各题：(1) 存折中原有 550 元，取出 260 元，又存入 150 元，现在存折中还有多少钱?(2) 潜水艇原停于海面下 800 米处，先上浮 150 米，又下潜 200米.这时潜水艇在海面下多少米处?(3) 仓库内原存某种原料 3500 千克，一周内存入和领出情况如如下(存入为正，单位千克)： 1500，-300，-650，600，-1800，-250，-200.问第七天末仓库内还存这种原料多少
30、千克?(4) 某公路养护小组乘车沿东西向公路巡视维护.某天早晨从 A 地出发，晚上到达 B 地.约定向东为正方向，行走记录如下(单位千米)：+18，-9，+7，-14，-6，+13，-6，-8.问 B 地在 A 地何方，相距多少千米?若汽车行驶每千米耗油 a 升，求该天自出发至回到 A 地共耗油多少?2.7 有理数的减法回忆我们知道，已知两个数的和与其中一个加数，求另一个加数的运算叫做减法.例如计算 (-8)-(-3)也就是求一个数?使( ? )+(-3)=-8.根据有理数加法运算，有(-5)+(-3)=-8，所以 (-8)-(-3)=-5. 减法运算的结果得到了.试一试再做一个填空：(-8)
31、+( )=-5，容易得到(-8)+(+3)=-5. 比较、两式，我们发现：-8“减去-3”与“加上+3”结果是相等的.再试一次：10-6=( 4 )， 10+(-6)=(4 )，得 10-6=10+(-6).概括上述两例启发我们可以将减法转换为加法来进行.有理数减法法则 :减去一个数，等于加上这个数的相反数 .例 1 计算：(1)(-32)-(+5)； (2)7.3-(-6.8)；(3)(-2)-(-25)； (4)12-21 .解 减号变加号(1)(-32) -(+5)=(-32)+(-5)=-37.减数变相反数减号变加号(2)7.3-(-6.8)=7.3 + 6.8 =14.1 .减数变相反数(注意：两处必须同时改变符号.)(3)(-2)-(-25)=(-2)+25=23 .(4)12-21 = 12+(-21)= -9 .
