1、课时作业( 七) 函数的极值与导数A 组 基础巩固1函数 f(x)x2cos x 在 上的极大值点为( )0，2A0 B.6C. D.3 2解析：f(x) 12sinx ，令 f(x)0 知 x .6当 0x 时，f(x) 0；6当 x 时，f(x)0.6 2当 x 时，f(x) 有极大值6答案：B2对于函数 f(x)x 33x 2，给出命题：f(x)是增函数，无极值；f(x)是减函数，无极值；f(x)的单调递增区间为(，0) ，(2，) ，单调递减区间为 (0,2)；f(0)0 是极大值，f(2) 4 是极小值其中正确的命题有( )A1 个 B2 个C3 个 D4 个解析：正确f(x )3x
2、 26x.令 f(x )3x 26x 0，得 x2 或 x0；令 f(x )3x 26x 0，得 0 x2，函数 f(x)在区间(，0)和(2，) 上单调递增，在区间(0,2)上单调递减当 x0 和 x2 时，函数分别取得极大值 0 和极小值4.答案：B3已知函数 y2x 3ax 236 x24 在 x2 处有极值，则该函数的一个递增区间是( )A(2,3) B(3 ，)C(2，) D(，3)解析：因为函数 y2x 3ax 236x24 在 x2 处有极值，所以有 f(2) 0，而 f( x)6x 22ax36，代入得 a 15.现令 f(x) 0，解得 x3 或 x2，所以函数的一个递增区间
3、是(3 ，)答案：B4已知函数 f(x)x 3px 2 qx 的图象与 x 轴切于(1,0)点，则 f(x)的( )A极大值为 ，极小值为 0427B最大值为 0，最小值为427C极小值为 ，极大值为 0427D最小值为 0，最大值为427解析：f(x) 3x 22px q.f(x)x 3px 2qx 的图象与 x 轴切于(1,0)点，f(1)32pq0，且 f(1)1pq0，p2，q1，f(x )3x 24x 1，f(x)x 32x 2x.令 f(x )0，得 x 或 x1.13当 x 时，f (x)0；13当 x1 时，f( x)0；13当 x1 时，f (x)0.f(x)x 32x 2x
4、 在 上递增，( ，13)在 上递减，在 (1，)上递增(13，1)当 x 时，f( x)极大值 ；13 127 29 13 427当 x1 时，f(x) 极小值 1210.答案：A5设函数 f(x)在 R 上可导，其导函数为 f(x) ，且函数 f(x)在 x2 处取得极小值，则函数 yxf(x )的图象可能是( )A BC D解析：由题意可得 f(2) 0，而且当 x(，2) 时，f(x) 0，此时 xf(x)0；当 x( 2，)时， f( x)0，此时若 x( 2,0)，xf(x) 0，若 x(0，)，xf (x) 0，所以函数 yxf( x)的图象可能是 C.答案：C6设 aR，若函数
5、 ye x ax(xR)有大于零的极值点，则 ( )Aa1 Ba1Ca Da1e 1e解析：ye xax ，y exa.令 ye xa0，则 exa，xln(a) 又x0，a1，即 a1.答案：A7若函数 yx 36x 2m 的极大值为 13，则实数 m 等于_解析：y3x 212x 3 x(x4) 由 y0，得 x0 或 4.且 x( ，0)(4，)时， y0；x(0,4)时，y0.x 4 时取到极大值故6496m13，解得 m19.答案：198若函数 yx 2x在 xx 0 时取极小值，则 x0_.解析：令 y2 xx2 xln22 x(1xln2)0，得 x .1ln2当 x 时， y0
6、，函数递增；1ln2当 x 时， y0，函数递减1ln2x 时取极小值1ln2答案：1ln29已知函数 f(x)ax 3bx 2 cx，其导函数 yf(x)的图象经过点(1,0)，(2,0) 如图，则下列说法中不正确的是_(填序号)当 x 时，函数取得最小值；f (x)有两个极值点； 当 x2 时函数值取得极小值；32当 x1 时函数取得极大值解析：由图象可知，x1,2 是函数的两极值点，正确；又 x( ，1)(2，)时， y0；x(1,2)时，y0，x1 是极大值点，x2 是极小值点，故正确答案：10设 a 为实数，函数 f(x)e x2x2a，xR，求 f(x)的单调区间与极值解析：由 f
7、(x)e x2x2a，xR 知 f(x)e x2，xR.令 f(x )0，得 xln2.于是当 x 变化时，f( x)，f( x)的变化情况如下表：x ( ，ln2) ln2 (ln2，)f(x ) 0 f(x) 单调递减 2(1ln2a) 单调递增故 f(x)的单调递减区间是(，ln2)，单调递增区间是(ln2，)；且 f(x)在 xln2 处取得极小值极小值为 f(ln2)e ln22ln22a2(1ln2a)，无极大值B 组 能力提升11函数 f(x)ax 2bx 在 x 处有极值，则 b 的值为_1a解析：f(x) 2axb，函数 f(x)在 x 处有极值，1af 2a b0，即 b2
8、，(1a) 1a故答案为2.答案：212已知函数 yxf (x )的图象如图( 其中 f(x) 是函数 f(x)的导函数)，给出以下说法：函数 f(x)在区间(1，)上是增函数；函数 f(x)在区间(1,1)上单调递增；函数 f(x)在 x 处取得极大值；12函数 f(x)在 x1 处取得极小值其中正确的说法是_解析：中，由图象知，当 x(1，) 时，xf( x) 0，故 f(x )0，f(x )在(1，)上是增函数，故正确；中，当 x(1,0)时，xf( x) 0，故 f(x)0；当 x(0,1)时，xf( x)0，故 f(x )0.综上可知，当 x( 1,0)(0,1)时，f( x)0，故
9、 f(x)在区间(1,0)，(0,1)上是减函数，故不正确；中，f(x) 在区间(1,0)上单调递减，故 x 不是极值点；12中，f(x) 在区间(0,1) 上是减函数，在(1 ，)上是增函数，故 f(x)在 x1 处取得极小值，故正确答案：13如图，三次函数 f(x)x 3ax 2x 在区间 1,1上有极大值和极小值，求实数 a 的取值范围解析：f(x)3x 22ax 1 ，f (x)在1,1上有极大值与极小值，即 f(x )0 在区间1,1上有两个相异的实根，方程 3x22ax10 在区间1,1上有两个相异的实根，则Error!解得Error!2a 或 a2，即常数 a 的取值范围是2a
10、或 a2.3 3 3 314已知函数 f(x)x 2blnx 和 g(x) 的图象在 x4 处的切线互相平行x 9x 3(1)求 b 的值；(2)求 f(x)的极值解析：(1)对两个函数分别求导，得 f(x)2x ，g(x ) .bx x 3 x 9x 32 6x 32依题意，有 f(4)g(4)，即 8 6，b8.b4(2)显然 f(x)的定义域为 (0，)由(1)知 b8，f(x )2x .8x 2x2 8x令 f(x )0，解得 x2 或 x2(舍去)当 0x2 时，f( x)0，当 x2 时，f (x) 0.f(x)在(0,2)上是单调递减函数，在(2 ，)上是单调递增函数f(x)在
11、x2 时取得极小值，且极小值为 f(2)48ln2.15设 a 为实数，函数 f(x)x 3x 2x a.(1)求 f(x)的极值；(2)当 a 在什么范围内取值时，曲线 yf(x)与 x 轴仅有一个交点解析：(1)f( x)3x 22x1.令 f( x)0，即 3x22x10，x 或 x1.13当 x 变化时，f( x)，f( x)的变化情况如下表：x ( ， 13)13 ( 13，1) 1 (1，)f(x ) 0 0 f(x) 极大值 极小值 f(x)的极大值是 f a，( 13) 527极小值是 f(1)a1.(2)函数 f(x)x 3x 2x a(x1) 2(x1) a1，当 x时，f( x)；当 x时，f(x)，曲线 yf( x)与 x 轴至少有一个交点结合 f(x)的单调性可知，当 f(x)的极大值 a0，527即 a 时，它的极小值 a1 小于 0，527因此曲线 yf(x )与 x 轴仅有一个交点，它在 (1，)上；当 f(x)的极小值 a10，即 a1 时，它的极大值 a 也大于 0，527因此曲线 yf(x )与 x 轴仅有一个交点，它在 上，( ， 13)a (1 ，)时，( ， 527)曲线 yf(x) 与 x 轴仅有一个交点 .
